最优控制习题答案

最优控制习题答案最优控制习题答案 1 设系统方程及初始条件为设系统方程及初始条件为 约束 约束 2 12 11 txtx tutxtx 0 0 1 2 1 x tx 若系统终态 若系统终态自由 利用连续系统极大值原理求自由 利用连续系统极大值原理求 5 1 tu f tx 性能指标 性能指标 取最小值 取最小值 tu 3 2 xJ 解 解 2 设一阶离散时间系统为设一阶离散时间系统为 初值 初值 性 性 1 kukxkx 2 0 x 能指标为能指标为 试用离散系统最小值原理求解最优控 试用离散系统最小值原理求解最优控 2 0 22 2 1 2 k kuxJ 制序列 制序列 使 使 J 取极小值 取极小值 2 1 0 uuu 解 解 3 软着落 空对空导弹的拦截问题 防空拦截问题 软着落 空对空导弹的拦截问题 防空拦截问题 解答 解答 4 设离散系统状态方程为设离散系统状态方程为 已知边 已知边 2 0 0 10 1 01 1 kukxkx 界条件界条件 试用离散系统最小值原理求最优控制 试用离散系统最小值原理求最优控制 0 1 0 x 0 0 1 x 序列 使性能指标序列 使性能指标取极小值 并求出最优的曲线序列 取极小值 并求出最优的曲线序列 1 0 2 03 0 k kuJ 解 属于控制无约束 解 属于控制无约束 N 不变 终端固定的离散最优控制问题 构不变 终端固定的离散最优控制问题 构 造离散哈密尔顿函数造离散哈密尔顿函数 2 0 1 1 0 1 03 0 22211 2 kukxkkxkxkkukH 其中其中为给定拉个朗日乘子序列 由伴随方程 为给定拉个朗日乘子序列 由伴随方程 1 1 21 kk 得得 1 1 1 1 k kx H k 1 1 1 0 21 2 2 kk kx H k 出出 由极值条件 由极值条件 2 2 1 0 1 2 1 1 1 1 0 0 1 0 21211 21211 极小极小可使可使 006 0 0 1 2 0 06 0 2 2 2 ku H kku ku H 1 3 10 2 kku 令 令 k 0 和和 k 1 的的 带入状态方带入状态方min kH 2 3 10 1 1 3 10 0 2 2 u u ku 程并令程并令 k 0 和和 1 得到 得到 5 求泛函求泛函满足边界条件满足边界条件dtxxxxJ 1 0 2 2 2 121 1 和约束条件和约束条件的的 3 0 0 0 3 3 0 2211 xxxx36 22 1 tx 极值曲线 极值曲线 解 应用拉格朗日乘子法 新目标函数为 解 应用拉格朗日乘子法 新目标函数为 令哈密尔顿函数为 令哈密尔顿函数为 dttxtxxJ 36 1 22 1 1 0 2 2 2 11 可以得到无约束条件新的泛函 可以得到无约束条件新的泛函 36 1 22 1 2 2 2 1 txxxH 的欧拉方程为的欧拉方程为 1 1 J0 1 2 2 2 2 1 1 11 11 xx x dt d x x H dt d x H 2 0 1 2 2 2 1 2 22 xx x dt d x H dt d x H 3 036 22 1 tx H dt dH 由由 2 得到得到 导出 导出 其中 其中 c xx x 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 12 2 1 1 1 2 2 xcx c c x 对约束条件求导 有 对约束条件求导 有带入带入 4 得得 1 1 2 1 c c c 2 2 2 1 36t t x 36 36 2 2 2 2 t cx 积分得出积分得出 其中 其中带入带入的边界条件得的边界条件得 432 6 arcsinc t cx 23 5 cc 2 x 出出 根据约束条件和 根据约束条件和的边界条件则的边界条件则 0 6 43 cc 1 x 2 1 36tx 所以极值曲线为所以极值曲线为 2 1 36tx 6 arcsin6 2 t x 6 求泛函求泛函的变分 的变分 dtxxxtxJ 2 2 2 0 2 解 解 0 2222 4422 xxxxxxxtxtxJJ xxxxx 42 7 Kuhn Tucher 定理求满足下列不等式约束定理求满足下列不等式约束 2 1 5 12 2 yxyx 求函数求函数的极小值 的极小值 yxxyxyxf 353 2 解 解 2 1 5 12 353 2 2 1 2 21 yxyxyxxyxyxL 根据定理得 根据定理得 其中 其中 0 5 0 0 5 12 215 2356 2 2 1 21 21 yx yx x y L xyx x L 5 0 5 12 0 0 2 21 yxyx 在两个约束条件范围内在两个约束条件范围内 得出得出此时此时解得 解得 将 将 5 0 5 12 2 yx yx 0 0 21 015 0356 x yx 25 9 5 1 y x 解代入不等式满足 则极小值解代入不等式满足 则极小值 25 12 min yxf 在两个约束条件上时在两个约束条件上时 得出得出或或然后代入方程看然后代入方程看 5 0 5 12 2 yx yx 2 143 2 142 y x 2 143 2 142 y x 1 是否大于零满足 是否大于零满足 2 在第一个约束条件上 第二个约束条件内在第一个约束条件上 第二个约束条件内 得得解得解得 x y 看是否满足条件看是否满足条件 5 0 5 12 2 yx yx 5 12 0215 02356 2 1 1 yx x xyx 1 自己计算自己计算 在第一个约束条件内 第二个约束条件上在第一个约束条件内 第二个约束条件上 得得解的解的 x y 看是否满足条件看是否满足条件 自自 5 0 5 12 2 yx yx 5 0 015 0356 2 2 yx x yx 2 己计算己计算 8 采用拉格朗日乘子法求二次型函数采用拉格朗日乘子法求二次型函数 求线 求线 RuuQxxuxJ TT 5 2 5 2 性方程约束性方程约束条件下 条件下 的极小值的极小值 0 CBuAxuxf uxJu 并证明极小值点 并证明极小值点 解 令解 令 由于 由于 5 2 5 2 CBuAxRuuQxxL TTT R u L u L xx L u Q x L BRu u L AQx x L TT 5 4 0 0 5 4 5 4 5 4 2 2 2 2 由拉格朗日乘子法充分条件有 由拉格朗日乘子法充分条件有 B u f A x f 由于由于 I BA R Q IAB TT 1 5 4 0 0 5 4 5 4 1 RBQAAB TT 为正定矩阵 知为正定矩阵 知取极小值 由取极小值 由RBQAAB TT 1 uxJ 解的 解出解的 解出 x u 0 0 0 L u L x L 9 设多元函数为设多元函数为 161588597 21332 2 3 2 2 2 1 xxxxxxxxxf 求求的极值点及极小值点 的极值点及极小值点 xf 解 解 0 解得 解得 自己解自己解 123 32 31 8810 15818 814 xxx xx xx dx df x 因为 因为 A 是正定矩阵 取极小值 代入上述是正定矩阵 取极小值 代入上述 A dx fd 1088 8180 8014 2 2 解解 min f 10 求求对向量对向量 b 的导数 的导数 bAYRbAYf T 解 解 bAY db RbAYd bAYR db bAYd db df TTT bAYRbAYR T bAYRR T 11 将标量函数将标量函数写成写成形式 形式 32 2 23121 2 1 76859yyyyyyyyf AYY T 求求 dY df 解 解 f A 所以 所以 AYY T 0 2 7 4 2 7 6 2 5 4 2 5 9 3 2 1 y y y y 所以 所以 AYYAAYY dY AdY AY dY dY dY AYdY dY df T TTTT 2 dY df Y 078 7125 8518 12 求泛函求泛函满足边界条件满足边界条件的极小值的极小值 dtxtxJ 1 0 2 13 2 1 0 0 xx 函数函数 并判断极值的性质 并判断极值的性质 tx 解 解 由欧拉公式 由欧拉公式 xF dt d xFtF xxx 2 2 13 0213 xtF dt d F xx 推出 推出 由边界条件 由边界条件得出得出 21 3 12 13 ctcttx 2 1 0 0 xx 故极值函数 故极值函数 0 12 11 21 cctttx 12 11 12 13 3 13 求给定的二次函数求给定的二次函数的极值点 的极值点 2 1 21 97 75 x x xxxf 解 解 0 得出得出 2 221 2 1 9145 xxxxxf 1418 1410 1221 xxxx dx xdf x 只能只能处 处 故是正定的 所 故是正定的 所 0 0 21 xx0 1814 1410 2 2 x dx xfd 以在以在处取极小值 处取极小值 0 0 21 xx 14 将标量函数将标量函数写成