有理数知识总结有用

1 冀教版有理数复习冀教版有理数复习 一 学习目标 一 学习目标 理解正负数的意义 掌握有理数的概念和分类 理解并会用有理数的加 减 乘 除和乘方五种运算法则进行有理数的运算 通过熟练运用法则进行计算的同时 能根据各种运算定律进行简便运算 通过本章的学习 还要学会借助数轴来理解绝对值 有理数比较大小等相关知识 二 重点难点 二 重点难点 有理数的相关概念 如 绝对值 相反数 有效数字 科学记数法等 有理数的运算 有理数运算法则尤其是加法法则的理解 有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简 便运算 三 学习策略 三 学习策略 先通过知识要点的小结与典型例题练习 然后进行检测 找出漏洞 再进行针对性练习 从而达到内容系统化和应用的灵活性 四 知识框架 四 知识框架 5 知识梳理知识梳理 1 知识点一 有理数的概念 知识点一 有理数的概念 一 有理数 一 有理数 1 整数与分数统称 按定义分类 按定义分类 有理数 按符号分类 按符号分类 2 有理数零 注 正数和零统称为 负数和零统称为 正整数和零统称为 负整数和零统称为 2 认识正数与负数 正数 像 1 1 1 2008 等大于 的数 叫做 17 5 负数 像 1 1 1 2008 等在正数前面加上 读作负 号的数 叫 注意注意 17 5 都大于零 都小于零 0 即不是 也不是 3 用正数 负数表示相反意义的量 如果用正数表示某种意义的量 那么负数表示其 意义的量 如果负数表示某种意义 的量 则正数表示其 意义的量 如 若 5 米表示向东走 5 米 则 3 米表示向 走 3 米 若 6 米表示上升 6 米 则 2 米表示 表示零上 7 C 7 C 则表示 7 C 4 有理数 0 的作用 作用举例 表示数的性质0 是自然数 是有理数 是整数 表示没有 3 个苹果用 3 表示 没有苹果用 0 表 示 表示某种状态表示冰点 0 0 C 表示正数与负数的 界点 0 非正非负 是一个中性数 二 数轴 二 数轴 1 概念 规定了 和 的直线 注 注 称为数轴的三要素 三者缺一不可 3 单位长度和长度单位是两个不同的概念 前者指所取度量单位的 后者指所取 度量单位的 即 是一条人为规定的代表 1 的线段 这条线段 按实际情况来规定 同一数轴上的单位长度一旦确定 则不能再改变 2 数轴的画法及常见错误分析 画一条水平的 在这条直线上适当位置取一实心点作为 确定向右的方向为 用 表示 选取适当的长度作单位长度 用细短线画出 并对应标注各数 同时要注意同一数轴的 要一致 数轴画法的常见错误举例 错例原因 不统 一 没有 3 有理数与数轴的关系 一切有理数都可以用数轴上的 表示出来 在数轴上 右边的点所对应的数总比左边的点 所对应的数 正数都大于 负数都小于 正数大于一切负数 注意注意 数轴上的点不都是有理数 如 三 相反数 三 相反数 1 相反数 只有 的两个数互称为相反数 特别地 0 的相反数是 若 则 反之亦然 a与b互为相反数 ab 2 相反数的性质 代数意义 只有 的两个数叫做互为相反数 特别地 O 的相反数是 0 相反数必 4 须 出现 不能单独存在 例如 5 和 互为相反数 或者说 5 是 的相反数 5 是 的相反数 而单独的一个数不能说是 另外 定义中的 只有 指除 以外 两个数 注意应与 只要符号不同 区分开 例如 3 与 3 互为相反数 而 3 与 2 虽然 不同 但它们不是相反数 几何意义 一对相反数在数轴上应分别位于 两侧 并且到原点的 相等 这两 点是关于 对称的 求任意一个数的相反数 只要在这个数的前面添上 号即可 一般地 数 a 的相 反数是 这里以 a 表示任意一个数 可以为 负数 也可以是 任意一个代数式 注意 a 不一定是 注意 注意 当 a 0 时 a 0 正数的相反数是 数 当 a 0 时 a O 0 的相反数是 当 a 0 时 a O 负数的相反数是 互为相反数的两个数的和为 即若 a 与 b 互为 则 a b 0 反之 若 a b O 则 a 与 b 互为 多重符号的化简 一个正数前面不管有多少个 号 都可以全部 一个正数 前面有 个 号 也可以把 号全部去掉 一个正数前面有 个 号 则化简 后只保留一个 号 即 负 正 其中 奇偶 是指正数前面的 号的个数 的 负正 是指化简的最后结果的 四 绝对值 四 绝对值 1 绝对值的代数意义及几何意义 绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是 一个负数的绝对值是它的 0 的绝对值是 绝对值的几何意义 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的 与 的距离 数 a 的绝对值记作 注意注意 取绝对值也是一种 这个 符号是 求一个数的绝对值 就是根据 5 性质 绝对值符号 绝对值具有 性 取绝对值的结果总是 任何一个有理数都是由 部分组成 和它的 如 5 符号是 绝对值是 2 字母 a 的绝对值的分类 或或 0 0 ao aa a 0 0 a a a 0 0 a a a 3 利用绝对值比较两个负有理数的大小 规则 两个负数 绝对值大的反而 步骤 计算两个负数的 比较这两个 的大小 写出正确的判断结果 如果若干个非负数的和为 0 那么这若干个非负数都必为 例如 若 0 abcabc 则 2 知识点二 有理数运算 知识点二 有理数运算 一 有理数比较大小 一 有理数比较大小 1 数轴上的数 右边的数总 左边的数 2 正数大于 0 负数小于 0 正数大于负数 3 两个负数 绝对值大的反而 4 两数比较大小 可按符号情况分类 0 同正 大的数大 两数同号 同负 大的反而小 比较大小两数异号 一正一负 大于 正数与0 大于0 其中有时 负数与0 小于0 二 二 有理数的加减法有理数的加减法 1 有理数加法法则 6 同号两数相加 取相同的 并把绝对值 绝对值不相等的异号两数相加 取 的加数的符号 并用较大的 减去较小的 一个数同 0 相加 仍得 2 有理数加法的运算步骤 法则是运算的依据 根据有理数加法的运算法则 可以得到加法的运算步骤 确定和的 求和的绝对值 即确定是两个加数的绝对值的 3 有理数加法的运算律 两个加数相加 交换加数的位置 不变 即 a b b a 加法 律 三个数相加 先把前两个数相加 或者先把后两个数相加 不变 即 a b c a b c 加法 律 4 有理数加法的运算技巧 分数与小数均有时 应先化为 形式 带分数可分为 与 两部分参与运算 多个加数相加时 若有互为相反数的两个数 可先结合 得 若有可以凑整的数 即相加得整数时 可先结合 若有同分母的分数或易通分的分数 应先结合在一起 相同的数可以先结合在一起 5 有理数减法法则 减去一个数 等于 即 a b a 6 有理数减法的运算步骤 把减号变为加号 改变运算符号 把减数变为它的相反数 改变性质符号 把减法转化为加法 按照加法运算的步骤进行运算 7 有理数加减混合运算的步骤 把算式中的减法转化为加法 7 省略加号与括号 利用运算律及技巧简便计算 求出结果 注意 注意 根据有理数减法法则 减去一个数等于加上 因此加减混合运算可以依据上述法则转 变为只有 的运算 即变为求几个正数 负数和 0 的和 这个和称为代数和 为了书写简便 可以把加号与每个加数外的括号均省略 写成省略加号和的形式 例如 3 0 15 9 5 11 3 0 15 9 5 11 它的含义是正 3 负 0 15 负 9 正 5 负 11 的 和 三 有理数的乘除法 三 有理数的乘除法 1 有理数乘法法则 两数相乘 同号得 异号得 并把 相乘 任何数同 相乘 都得 0 2 有理数乘法的运算律 两个数相乘 交换因数的位置 积相等 即 ab 乘法结合律 三个数相乘 先把前两个数相乘 或者先把后两个数相乘 积相等 即 abc 乘法结合律 一个数同两个数的和相乘 等于把这个数分别同这两个数相乘 再把积相加 即 a b c 乘法分配律 3 有理数乘法法则的推广 几个不等于 0 的数相乘 积的符号由 的个数决定 当 的个数是偶数时 积为 的个数是奇数时 积为 几个数相乘 如果有一个因数为 0 则积为 在进行乘法运算时 若有带分数 应先化为 便于约分 若有小数及分数 一般先 将小数化为 或凑整计算 利用乘法分配律及其逆用 也可简化计算 4 有理数除法法则 除以一个不等于 0 的数 等于乘这个数的 即 a b a b 0 两数相除 同号得 异号得 并把绝对值 除以任何一个 8 不等于 0 的数 都得 0 5 倒数及有理数除法 乘积为 的两个数互为倒数 倒数是 出现的 单独一个数不能称为倒数 互为倒数的两个数的乘积一定 没有倒数 求一个非零有理数的倒数 只要把它的分子和分母 即可 正整数可以看作分母为 1 的分数 注意注意 互为倒数 则 互为负倒数 则 反之亦然 a b ab a b ab 有理数除法的运算步骤 首先确定商的 然后再求出商的绝对值 四 有理数的乘方 四 有理数的乘方 1 概念 求个相同因数的积的运算 叫做 的结果叫做 n 在中 叫做 叫做 n aan 2 含义 中 为底数 为指数 即表示的个数 表示有 相 n aana n a 乘 例如 表示 3 3 3 3 3 3 表示 3 3 3 3 3 特别注意负数及分数 5 3 5 的乘方 应把底数加上括号 如 2 表示 相乘 而 2 则表示 7 个 2 相乘的积的 77 当 n 为奇数时 a 而当 n 为偶数时 a nn 注意 注意 负数的奇次幂是 负数的 幂是正数 正数的任何次幂都是 0 的任何次幂都是 任何不为 0 的数的 0 次幂都 是 3 奇负偶正 口诀的应用 口诀 奇负偶正 在多处知识点中均提到过 它具体的应用有如下几点 多重负号的化简 这里奇偶指的是 号的个数 例如 3 3 有理数乘法 当多个非零因数相乘时 这里奇偶指的是负因数的个数 正负指结果中积的符 号 例如 3 2 6 而 3 2 6 9 有理数乘方 这里奇偶指的是指数 当底数为负数时 指数为奇数 则幂为 指 数为偶数 则幂为 例如 3 3 23 4 有理数混合运算的运算顺序 先乘方 再乘除 最后加减 同级运算 从左到右进行 如有括号 先做括号内的运算 按小括号 中括号 大括号依次进行 加减法为一级运算 乘 除法为二级运算 乘方及开方 以后学 称为三级运算 同级运算 按从左到右的顺序进行 不同级 运算 应先算 级运算 然后 级 最后 级 如果有括号 先算括号里的 有多重括号时 应先算 括号里的 再算 括号里的 最后算 括号里的 以上运算顺序可以简记为 从左到右 从高 级 到低 级 从小 括号 到大 括号 6 经典例题经典例题 1 类型一 正数与负数的意义 类型一 正数与负数的意义 例例 1 一个物体沿着东西两个相反方向运动 如果把向东的方向规定为正 那么走 6km 走 4 5km 走 0km 的意义各是什么 思路点拨 思路点拨 正数与负数可表示具有相反意义的量 正数表示向东运动 则负数表示 运动 0 表示原地不动 0 表示正数与 的分界 在实际问题中也有确定的意义 解析 解析 总结 总结 举一反三 举一反三 变式 1 博然的父母 6 月份共收入 4800 元 可以将这笔收入记作 4800 元 由于天气炎热 博然 家用其中的 1600 元钱买了一台空调 又该怎样记录这笔支出呢 解析 解析 变式 2 某老师把某一小组五名同学的成绩简记为 10 5 0 8 3 又知记为 0 的 实际成绩表示 90 分 正数表示超过 90 分 则这五位同学的平均成绩为多少分 解析解析 2 类型二 有理数的分类 类型二 有理数的分类 10 例例 2 把下列各数填入相应的括号内 6 0 35 1 7 82 0 97 4 1 6 5 2 整数集合 非负集合 分数集合 负数集合 思路点拨 思路点拨 根据有理数的分类标准 将所给数进行分类 填整数集合时 不能漏掉 填集 合时 最后要加 非负数 不要仅理解为正数 既不是正数 也不是负数 属于 非负 范 围内的数 负数包括 和 解析 解析 举一反三 举一反三 变式 1 最小的正整数是 最大的负整数是 最小的整数是 最小的正数是 最大的负数是 最小的有理数 绝 对值最小的有理数是 2 一个数的相反数等于它本身 这个数是 一个数的绝对值等于它本身 这个 数是 一个数的绝对值等于它的相反数 这个数是 一个数的倒数等于 它本身 这个数是 一个数的平方等于它本身 这个数是 一个数的平 方等于它的绝对值 这个数是 一个数的平方等于它的相反数 这个数是 一个数的立方等于它本身 这个数是 解析 解析 3 类型三 多重符号的化简 类型三 多重符号的化简 例 3 化简下列各数 2 4 5 3 5 1 4 2 2 1 3 1 思路点拨 思路点拨 多重符号的化简是由 的个数来定 若 个数是 个时 化简结果为正 若 个数是奇数个时 化简结果为 解析 解析 举一反三 举一反三 11 变式 1 4 5 变式 2 说出下列各式的意义 然后化简 1 3 2 5 3 6 共 n 个负号 4 类型四 有理数的大小比较 类型四 有理数的大小比较 例例 4 在数轴上画出表示下列各数的点 并用 连接起来 2 4 1 1 0 2 1 2 2 1 1 4 3 1 3 思路点拨思路点拨 首先画出数轴 三要素要齐全 再把各数在数轴上的对应点找出来 然后根据这些数在 数轴上的位置顺序比较大小 再用 连接起来 解析 解析 举一反三 举一反三 变式 利用绝对值比较下列有理数的大小用 号连接 1 0 6 60 2 234 345 思路点拨 思路点拨 比较负数的大小 先求出各数的 关键是比较绝对值的大小 绝对值大的反而 比较分数大小 一般要化成同 的分数来比较 解析解析 5 类型五 绝对值的概念 类型五 绝对值的概念 例例 5 若 2b 5 0 计算 2a b 的值 3a 思路点拨思路点拨 从表面看条件比较复杂 但根据绝对值的非负性 可求出 a b 值 解析 解析 举一反三 举一反三 变式 1 若 化简 ab 15 baab 解析 解析 变式 2 代数式的最小值为 2 3 xx 12 解析解析 变式 3 a b 在数轴上的位置如图 1 化简 ab 1 b 2 比较大小 10a abab 解析 解析 5 类型六 相反数 倒数的概念 类型六 相反数 倒数的概念 例例 6 已知 a b 互为倒数 c d 互为相反数 且 那么0e 1e 的值为 200920082007 abcde 思路点拨思路点拨 根据相反数与倒数的意义可得 互为相反数的两数的和为 互为倒数的两数之积为 举一反三 变式 已知三个互不相等的有 理数 即可以表示为 1 a b a 的形 式 又可表示为 0 b 的形式 b a 且 x 的绝对值为 2 求的值 200820092 ababababx 解析解析 7 7 类型七 有理数的混合运算 类型七 有理数的混合运算 例 7 计算 8 1 16 7 3 4 1 5 2 1 4 6 5 1 22 思路点拨思路点拨 本题有五种运算 因为有括号 应先算括号里面的 括号里 面显然又要先算 接着算 法 再算 法 注意除法运算 要把除法转化为 解 解 13 总结升华 总结升华 举一反三 举一反三 变式 计算下列各式的值 1 22 1 33 3 3 3 2 1111 1111 2345 3 22 5117832 10 25 199 2 7148923 4 23 155115 1 2 299229 5 1023 0 25 2 解析 解析 8 类型八