2019高考数学二轮复习第9讲三角恒等变换与解三角形专题突破文.doc

第9讲三角恒等变换与解三角形1.(1)2015全国卷 已知a,b,c分别是abc内角a,b,c的对边,sin2b=2sin asin c.若a=b,求cos b; 若b=90,且a=, 求abc的面积.(2)2015全国卷 abc中,d是bc上的点,ad平分bac,bd=2dc.求;若bac=60,求b.试做_命题角度解三角形的问题(1)近五年的高考试题中,经常出现的题型有:正弦定理、余弦定理与三角变换的综合;正弦定理、余弦定理与三角形面积的综合;正弦定理、余弦定理与三角变换及三角形面积的综合.(2)解三角形问题的步骤:第一步,利用正、余弦定理进行边角转化;第二步,利用三角恒等变换求边与角;第三步,代入数据求值;第四步,转化过程中要注意转化的方向,审视结果的合理性.(3)解三角形问题的总体思路是转化思想和消元.解答1三角形基本量的求解1 在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且c-b=2bcos a.(1)若a=2,b=3,求边c的长;(2)若c=,求角b的大小.听课笔记 _2 在abc中,内角a,b,c所对的边分别是a,b,c,且2ccos b=2a-b.(1)求角c的大小;(2)当c=3时,求a+b的取值范围.听课笔记 _【考场点拨】求解三角形中的边和角等基本量,需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.第三步:求结果.解答2与三角形面积有关的问题3 在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且满足asin b+bcos(b+c)=0,a=.(1)求角a的大小;(2)若b=2,求abc的面积.听课笔记 _【考场点拨】高考中与三角形面积有关问题的解题策略:(1)三角形的面积问题,归根结底是解三角形问题,有时和其他知识综合考查,如求面积最大值(最小值)时,常与函数、基本不等式等结合考查.(2)在解与三角形面积有关的问题时,要熟记30,45,60等特殊角的三角函数值,以便在解题中应用.【自我检测】在abc中,内角a,b,c的对边分别是a,b,c,且acos c=(2b-c)cos a.(1)求角a的大小;(2)若a=2,求abc面积的最大值.解答3以平面几何为载体的解三角形问题4 如图m2-9-1,在四边形abcd中,dab=,adab=23,bd=,abbc.(1)求sinabd的值;(2)若bcd=,求cd的长.图m2-9-1听课笔记 _【考场点拨】以平面几何为载体的问题,主要注意以下几方面:一是充分用好平面几何图形的性质;二是出现多个三角形时从条件较多的三角形突破求解;三是四边形问题要转化为三角形问题去求;四是善于用好三角形中的不等关系如大边对大角,最大角一定大于或等于,从而可以确定角或边的范围.【自我检测】如图m2-9-2,在abc中,b=,bc=2.(1)若ac=3,求边ab的长.(2)若点d在边ab上,ad=dc,deac,e为垂足,ed=,求角a的大小.图m2-9-2模块二三角函数与平面向量第9讲三角恒等变换与解三角形 典型真题研析1.(1)解:由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,所以可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cos b=.由知b2=2ac.因为b=90,所以由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=,所以abc的面积为1.(2)解:由正弦定理得=,=.因为ad平分bac,bd=2dc,所以=.因为c=180-(bac+b),bac=60,所以sinc=sin(bac+b)=cosb+sinb.由知2sinb=sinc,所以tanb=,即b=30. 考点考法探究解答1 例1解:(1)由c-b=2bcos a及a2=b2+c2-2bccos a,得=,a2=b2+bc,代入a=2,b=3,得c=5.(2)由c-b=2bcos a及正弦定理,得sin c-sin b=2sin bcos a,c=,1-sin b=2sin bcos-b,即2sin2b+sin b-1=0,解得sin b=或sin b=-1(舍),又0b,b=. 例2解:(1)由正弦定理可得2sin ccos b=2sin a-sin b,又a=-(b+c),2sin ccos b=2sin(b+c)-sin b,即2sin ccos b=2sin bcos c+2cos bsin c-sin b,2sin bcos c=sin b,又sin b0,cos c=,又0c0.又bd=,dab=,由余弦定理得()2=(3k)2+(2k)2-23k2kcos,解得k=1,ad=2,ab=3.由正弦定理得sinabd=.(2)abbc,cosdbc=sinabd=,sindbc=,=,cd=.【自我检测】解:(1)设ab=x(x0),则由余弦定理得ac2=ab2+bc2-2abbccos b,即32=x2+22-2x2cos,解得x=+1(负值舍去),所以ab=+1.(2)因为ed=,所以ad=dc=.在bcd中,由正弦定理可得=,因为bdc=2a,所以=,所以cos a=,所以a=. 备选理由 用余弦定理判断三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形是重要的应用,备用例1就是利用余弦定理解决锐角三角形问题;有关三角形的面积问题,一般情况是求三角形的面积,或者是已知三角形的面积求其他元素,关于已知三角形面积之比求其他元素例2没有涉及,备用例2是对例2的补充和拓展,而且思维逻辑性更强.例1配例1使用 在abc中,ab=4,ac=6.(1)若16cos a=1,求bc的长及bc边上的高h;(2)若abc为锐角三角形,求abc的周长的取值范围.解:(1)16cos a=1,cos a=,sin a=.bc=7,由等面积法可得46sin a=7h,h=.(2)设bc=x(x0),abc为锐角三角形,角a,b,c均为锐角,又abac,c0,cos b0,于是得2x0),由=,得bd=x.在adc中,由余弦定理得ad2=ac2+dc2-2acdccos c,即ad2=2+x2-2x,整理得ad2=2+x2-x.在abd中,由余弦定理得ad2=ab2+db2-2abdbcos b,即ad2=+x2-2x,整理得ad2=+x2-x,联立得2x2-5x+4=0,解得x=或x=2.因为bcab+ac=,所以x,即x,所以x=,即dc=.方法二:由(1)知cos c=,所以cos b=cos 2c=2cos2c-1=22-1=,sin c=,sin b=sin