陕西省西安市2013届高三数学第三次模拟考试试题 理 新人教A版

陕西省西安市陕西省西安市 20132013 届高三数学第三次模拟考试试题届高三数学第三次模拟考试试题 理理 第第 卷卷 选择题 选择题 共共 5050 分 分 一 选择题 本大题共 10 题 每小题 5 分 共 50 分 1 若集合 0 1 x Ax x 2 2 Bx xx 则AB A 01 xx B 01 xx C 01 xx D 01 xx 2 若复数z满足 1 1 zzi 则复数z的共轭复数z A i B i C 1 i D 1 i 3 若三棱锥的三视图如右图所示 则该三棱锥的体积为 A 80 B 40 C 3 80 D 3 40 4 若ABC 的三个内角满足sin sin sin5 11 13ABC 则ABC A 一定是锐角三角形 B 一定是直角三角形 C 一定是钝角三角形 D 可能是锐角三角形 也可能是钝角三角形 5 函数 lg sin f xx 是 A 最小正周期为 的奇函数 B 最小正周期为2 的奇函数 C 最小正周期为 的偶函数 D 最小正周期为2 的偶函数 6 按右面的程序框图运行后 输出的S应为 A 26 B 35 C 40 D 57 7 若数列 n a满足15 1 a 且233 1 nn aa 则使0 1 kk aa 的k值为 A 22 B 21 C 24 D 23 i 5 否 开始 S 0 i 1 T 3i 1 S S T i i 1 是 输出 S 结束 8 1 a 是 直线 1 l 012 yax与 2 l 04 1 yax平行 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 9 设 1 F 2 F分别为双曲线 22 22 1 xy ab 0 0 ab 的左 右焦点 若在双曲线右支上存在一点P 满足 212 PFFF 且 2 F到直线 1 PF的距离等于双曲线的实轴长 则该双曲线的离心率为 A 3 4 B 3 5 C 4 5 D 4 41 10 一个赛跑机器人有如下特性 1 步长可以人为地设置成1 0米 2 0米 3 0米 8 1米或9 1米 2 发令后 机器人第一步立刻迈出设置的步长 且每一步的行走过程都在瞬时完成 3 当设置的步长为a米时 机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a秒 则这个机器人跑50米 允许超出50米 所需的最少时间是 A 6 48秒 B 6 47秒 C 48秒 D 47秒 第第 卷卷 共 共 100100 分 分 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 在 6 42 xx 的展开式中 常数项为 12 若向量 cos sin a 3 1 b 则 2 ab 的最大值为 13 若实数yx 满足14xy 且23xy 则yxp32 的取值范围是 14 若曲线 2 1 xy在点 1 2 m m 处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18 则 m 15 请考生从以下三个小题中任选一个作答 若多选 则按所选的第一题计分 A A 不等式选讲不等式选讲 若实数cba 满足4 222 cba 则cba543 的最大值为 B B 几何证明选讲几何证明选讲 以Rt ABC 的直角边AB为直径的圆O交AC边于点E 点D在BC上 且DE与圆 O相切 若 56A 则 BDE C C 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 在极坐标系中 曲线 3 cos 4 与直线1 6 sin 的两个交点之间的距 离为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 16 本题本题 1212 分分 某同学在一次研究性学习中发现 以下五个式子的值都等于同一个常数a 17cos13sin17cos13sin 22 15cos15sin15cos15sin 22 12cos18sin12cos18sin 22 48cos 18sin 48cos 18 sin 22 55cos 25sin 55cos 25 sin 22 1 从上述五个式子中选择一个 求出常数a 2 根据 1 的计算结果 将该同学的发现推广为一 个三角恒等式 并证明你的结论 17 本题本题 1212 分分 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 1 1 2 ADAAAB 点E在棱AB上 1 求异面直线 1 D E与 1 AD所成的角 2 若二面角 1 DECD 的大小为45 求点B到面 1 D EC的距离 18 本题本题 1212 分分 某校设计了一个实验考查方案 考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题 按照题目要求 独立完成全部实验操作 规定 至少正确完成其中2道题的便可通过 已知6道备选题中考生甲有4道题能正 确完成 2道题不能完成 考生乙每题正确完成的概率都是 3 1 且每题正确完成与否互不影响 1 求甲 乙两考生正确完成题数的概率分布列 并计算其数学期望 2 请分析比较甲 乙两考生的实验操作能力 19 本题本题 1212 分分 在数列 n a中 1 2 3 a 且对任意的 Nn 都有 1 2 1 n n n a a a 1 求证 1 1 n a 是等比数列 2 若对任意的 Nn 都有 1nn apa 求实数p的取值范围 20 本题本题 1313 分分 已知椭圆C 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba的离心率为 3 6 过右焦点F且斜率为1的直线交椭 圆C于BA 两点 N为弦AB的中点 O为坐标原点 1 求直线ON的斜率 ON k 2 求证 对于椭圆C上的任意一点M 都存在 2 0 使得OBOAOM sincos 成立 21 本题本题 1414 分分 设函数 1ln 2 xaxxf有两个极值点 21 x x 且 21 xx 1 求实数a的取值范围 2 讨论函数 xf的单调性 3 若对任意的 1 xx 都有mxf 成立 求实数m的取值范围 高高 20132013 届第三次五校联考数学届第三次五校联考数学 理理 参考答案参考答案 一 选择题 本大题共 10 题 每小题 5 分 共 50 分 题号 12345678910 答案 A AB BD DC CC CC CD DA AB BA A 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 15 12 4 13 3 8 14 64 15 A A 210 B B 68 C C 32 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 16 本题本题 1212 分分 某同学在一次研究性学习中发现 以下五个式子的值都等于同一个常数a 17cos13sin17cos13sin 22 15cos15sin15cos15sin 22 12cos18sin12cos18sin 22 48cos 18sin 48cos 18 sin 22 55cos 25sin 55cos 25 sin 22 1 试从上述五个式子中选择一个 求出常数a 2 根据 1 的计算结果 将该同学的发现推广为一个三角恒等式 并证明你的结论 解 1 选择 式计算 4 3 30sin 2 1 115cos15sin15cos15sin 22 a 4 分 2 猜想的三角恒等式为 4 3 30cos sin 30 cossin 22 6 分 证明 30cos sin 30 cossin 22 22 sin cos30 cossin30 sin sin cos30 cossin30 sin 2222 33131 sincossincossinsincossin 42422 22 333 sincos 444 12 分 17 本题本题 1212 分分 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 1 1 2 ADAAAB 点E在棱AB上 1 求异 面直线 1 D E与 1 AD所成的角 2 若二面角 1 DECD 的大小为45 求点B到平面 1 D EC的距离 解法一 1 连结 1 AD 由 11 AAD D是正方形知 11 ADAD AB 平面 11 AAD D 1 AD是 1 D E在平面 11 AAD D内的射影 根据三垂线定理得 11 ADD E 则异面直线 1 D E与 1 AD所成的角为90 5 分 2 作DFCE 垂足为F 连结 1 D F 则 1 CED F 所以 1 DFD 为二面角 1 DECD 的平面角 1 45DFD 于是 11 1 2DFDDD F 易得RtRtBCECDF 所以2CECD 又1BC 所以3BE 设点B到平面 1 D EC的距离为h 则由于 1 B CEDD BCE VV 即 11 1 11 1 3 23 2 CE D F hBE BC DD 因此有 11 CE D F hBE BC DD 即2 23h 6 4 h 12 分 解法二 如图 分别以 1 DDDCDA为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 1 由 1 1 0 1 A 得 1 1 0 1 DA 设 1 0 Ea 又 1 0 0 1 D 则 1 1 1 D Ea 11 1 0 10DA D E 11 DAD E 则异面直线 1 D E与 1 AD所成的角为90 5 分 2 0 0 1 m为面DEC的法向量 设 x y z n为面 1 CED的法向量 则 x y z n 222 2 cos cos45 2 z xyz m n m n mn 222 zxy 由 0 2 0 C 得 1 0 2 1 DC 则 1 DC n 即 1 0DC n 20yz 由 可取 3 1 2 n 又 1 0 0 CB 所以点B到平面 1 D EC的距离 36 42 2 CB d n n 12 分 18 本题本题 1212 分分 某校设计了一个实验考查方案 考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题 按照题目要求 独立完成全部实验操作 规定 至少正确完成其中2道题的便可通过 已知6道备选题中考生甲有4道题能正 确完成 2道题不能完成 考生乙每题正确完成的概率都是 3 1 且每题正确完成与否互不影响 1 求甲 乙两考生正确完成题数的概率分布列 并计算其数学期望 2 请分析比较甲 乙两考生的实验操作能力 解 1 设甲 乙正确完成实验操作的题数分别为 则 取值分别为3 2 1 取值分别为3 2 1 0 5 1 1 3 6 2 2 1 4 C CC P 5 3 2 3 6 1 2 2 4 C CC P 5 1 3 3 6 0 2 3 4 C CC P 考生甲正确完成题数的概率分布列为 2 5 1 3 5 3 2 5 1 1 E 3 分 0 P 27 1 3 2 1 30 3 C 同理 27 6 1 P 27 12 2 P 27 8 3 P 考生乙正确完成题数的概率分布列为 2 27 8 3 27 12 2 27 6 1 27 1 0 E 7 分 2 5 2 5 1 32 5 3 22 5 1 12 222 D 3 2 27 8 32 27 12 22 27 6 12 27 1 02 2222 D 或 3 2 npqD DD 8 0 5 1 5 3 2 P 74 0 27 8 27 12 2 P 2 2 PP 10 分 从做对题数的数学期望考察 两人水平相当 从做对题数的方差考察 甲较稳定 从至少完成2道题的 概率考察 甲获得通过的可能性大 因此可以判断甲的实验操作能力较强 12 分 说明 只根据数学期望与方差得出结论 也给分 19 本题本题 1212 分分 在数列 n a中 1 2 3 a 且对任意的 Nn 都有 1 2 1 n n n a a a 1 求证 1 1 n a 是等比数 列 2 若对任意的 Nn 都有 1nn apa 求实数p的取值范围 证 1 由 1 2 1 n n n a a a 得 1 11111 11 1 222 nn nnnn aa aaaa 123 p 5 1 5 3 5 1 0123 p 27 1 27 6 27 12 27 8 又由 1 2 3 a 得 1 11 10 2a 因此 1 1 n a 是以 1 11 1 2a 为首项 以 1 2 为公比的等比数列 5 分 解 2 由 1 可得 1 1111 1 222 n n n a 即 2 21 n n n a 1 1 1 2 21 n n n a 于是所求的问题 对任意的nN 都有 1nn apa 成立 可以等价于问题 对任意的 Nn 都 有 11 1 111 221221 1 2122121 nnn n nnnn n a p a 成立 若记 1 1 1 21 n f n 则 f n显然是单调递减的 故 1 1 16 1 1 215 f nf 所以 实数p的取值范围为 6 5 p 12 分 20 本题本题 1313 分分 已知椭圆C 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba的离心率为 3 6 过右焦点F且斜率为1的直线交椭 圆C于BA 两点 N为弦AB的中点 1 求直线ON O为坐标原点 的斜率 ON k 2 求证 对于椭圆C上的任意一点M 都存在 2 0 使得OBOAOM sincos 成立 解 1 设椭圆的焦距为c2 因为 3 6 a c 所以有 3 2 2 22 a ba 故有 22 3ba 从而椭圆C的方程可化为 222 33byx 易知右焦点F的坐标为 0 2b 据题意有AB所在的直线方程为 bxy2 由 有 03264 22 bbxx 设 2211 yxByxA 弦AB的中点 00 yxN 由 及韦达定理有 4 2 2 4 23 2 00 21 0 bbxy bxx x 所以 3 1 0 0 x y kON 即为所求 5 分 2 显然OA与OB可作为平面向量的一组基底 由平面向量基本定理 对于这一平面内的向量OM 有且只 有一对实数 使得等式OBOAOM 成立 设 yxM 由 1 中各点的坐标有 2211 yxyxyx 故 2121 yyyxxx 7 分 又因为点M在椭圆C上 所以有 22 21 2 21 3 3 byyxx 整理可得 2 2121 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 3 2 3 3 byyxxyxyx 由 有 4 3 2 23 2 2121 b xx b xx 所以 0693 6 234 2 2 33 222 2 212121212121 bbb bxxbxxbxbxxxyyxx 又点BA 在 椭圆C上 故有 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 3 3 3 byxbyx 将 代入 可得 1 22 11 分 所以 对于椭圆上的每一个点M 总存在一对实数 使等式OBOAOM 成立 且1 22 所以存在 2 0 使得 sin cos 也就是 对于椭圆C上任意一点M 总存在 2 0 使得等式OBOAOM sincos 成立 13 分 21 本题本题 1414 分分 设函数 1ln 2 xaxxf有两个极值点 21 x x 且 21 xx 1 求实数a的取值范围 2 讨论函数 xf的单调性 3