高中数学《函数的单调性》学案4 新人教B版必修1

用心 爱心 专心1 函数的单调性函数的单调性 学习目标 1 结合一次函数 二次函数 反比例函数的图象 形象地理解函数的单调性 2 通过取值 描点 分析函数值的变化规律 体会函数值的变化趋势 并会作出判断 3 理解增函数 减函数的概念 掌握判断某些函数增减性的方法 4 培养利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合的思想 提高辩证思维的能力 学法指导 考察函数的单调性 可以从函数的图像 函数值的变化情况 增 减 函数的定义等多方 面进行 但函数单调性的证明必须根据增 减 函数的定义加以证明 自学合作探究 1 画一画 画出函数的图象 2 2 2 yx yx yx 2 想一想 上面画出的图象从左到右是上升的还是下降的 1 函数的图象从左到右是 2yx 2 函数的图象从左到右是 2yx 3 函数的图象从左到右 在区间 是 在区间 是 2 yx 3 算一算 若函数 请填写下表 2f xx 2g xx 2 h xx x4 3 2 1 01234 f x x4 3 2 1 01234 g x x4 3 2 1 01234 x y x y x y 用心 爱心 专心2 h x 并思考 当自变量从小变大时 函数值是怎样变化的 1 当自变量在实数集从小变大时 函数的值 2f xx 2 当自变量实数集从小变大时 函数的值 2g xx 3 当自变量从小变大时 函数的值 在区间 是 在区间 2 h xx 是 4 议一议 结合函数 我们怎样用数学符号语言来刻画函数的增 减性质 2 f xx 在函数的图像上任取两个点 记 yf x 1122 A x yB xy 212121 xxxyf xf xyy 1 在区间 任意取两个值 当改变量 则 0 12 x x 21 0 xxx 0 21 yf xf x 填 或 2 在区间 任意取两个值 当改变量 则 0 12 x x 21 0 xxx 0 21 yf xf x 填 或 5 说一说 根据上面的分析 请同学们给出增函数和减函数的定义 一般地 设函数的定义域为 A 区间 yf x MA 如果取区间 M 中的 两个值 改变量 则 12 x x 21 0 xxx 当时 就称函数在区间 M 上是增函数 21 0yf xf x yf x 当时 就称函数在区间 M 上是减函数 21 0yf xf x yf x 辨一辨 判断下列结论是否正确 1 函数在实数集上是减函数 1 f x x 注 函数的单调性是在研究函数在定义域的子 集 注意包括定义域本身 上的性质 2 若函数的定义域为 满足 2 6 则函数在区间 2 6 ff yf x 上是增函数 2 6 注 取区间 M 中的任意两个值中的 任意 两个字绝不能去掉 更不能用两个特殊 12 x x 值代替 6 单调性和单调区间的定义 如果一个函数在某个区间 M 上是增函数或减函数 就 说这个函数在这个区间 M 上具有单调性 其中区间 M 称为函数的单调区间 思考 函数在上具有单调性吗 2 yx 展示点拨 例 1 下图是定义在区间 5 5 上的函数 y f x 请根据图象说出函数的单调区间 1 x x 2 x y 用心 爱心 专心3 以及在每一个区间上 函数是增函数还是减函数 变式练习 1 已知函数y f x 的图象 包括端点 根据图象说出函数的单调区间 yg x 以及在每一个区间上 函数是增函数还是减函数 例2 证明函数在上是增函数 21 f xx 小结 证明函数单调性的步骤 练习 判断函数在区间和上的单调性 并证明你的结论 1 f x x 0 0 思考 能否说 在它的定义域上是减函数 为什么 1 f x x 例 3 判断在的单调性 并证明 3 xy 用心 爱心 专心4 练习 判断函数在区间 0 上的单调性 并证明你的结论 yx 例 4 画出下列函数的图象 并指出它们的单调区间 1 2 1yx 1 yx 变式 研究下列函数的单调区间并分别画出它们的图象 1 2 1 1 y x 1 y x 目标检测 A 级 1 下列函数中 1 f x x 2 21f xxx f xx 1f xx 其中 在区间 0 2 上是递增函数的序号有 2 函数的递增区间是 yx x 3 函数的单调递增区间为 2 2yxx 4 函数的递减区间是 2 23yxx 5 函数 y 2k 1 x b 在 上是减函数 则k取值范围 6 已知函数在上是减函数 在上是增函数 则 2 45f xxmx 2 2 1 f 7 若二次函数在区间上单调递增 则的取值范围 4 2 axxxf 1 a 8 已知函数在定义域 R 上是单调减函数 且 则实数 a 的取 yf x 1 2 f afa 值范围 9 已知下列命题 定义在上的函数满足 则函数是上的增函数 R f x 2 1 ff f xR 1 用心 爱心 专心5 定义在上的函数满足 则函数在上不是减函数 R f x 2 1 ff f xR 定义在上的函数在区间上是增函数 在区间上也是增函数 则R f x 0 0 函数在上是增函数 f xR 定义在上的函数在区间上是增函数 在区间上也是增函数 则R f x 0 0 函数在上是增函数 f xR 如果函数是 R 上的增函数 则时 在 R 上也是增函数 yf x 0k kf x 其中正确命题的序号有 B 级 1 求证 函数在区间和上都是单调递增函数 21 1 x f x x 1 1 2 已知函数在区间上是增函数 求实数 a 的取值范围 1 2 ax f x x 2 增 求a的取值范围 C 级 1 函数对一切实数都有 且 xfyx yfxfyxf