微分几何教案 第七讲

1 具体如下 具体如下 取取上的向量场上的向量场 对给定的 对给定的有有MX Mx 于是 于是为关于为关于的的MTxX x MTx x X 齐次线性函数 有齐次线性函数 有 MxxXxxX 对对和和 有有 MCgf MXYX YgXfgYfX 下面设下面设 即 即 1 形式 形式 MT p 1 为为上的向量场 上的向量场 P XX 1 M det 1 1 1 1 1 1 1 11 ji ipi ii S ip p i S d pp X XX XXXX p p p 其中其中是是的置换群 即的置换群 即 p p 2 1 是是 的逆序数 的逆序数 1 SpiiS pp 一般地 设一般地 设 2 11 1 11 1 11 pi ii iiip i ii iii XXaXX a p p p p p p 并且 设并且 设 和和 分别为分别为上的上的形式和形式和形形 M p q 式 则式 则 1 11 1 qppp ii qp ii S qp XXXX XX 设设是是上上 处的两个坐标邻域 它们处的两个坐标邻域 它们 UU Mx 的局部坐标分别为的局部坐标分别为和和 设 设上的上的 i x j x M 形式形式在这两个局部坐标系中分别表在这两个局部坐标系中分别表 p x 示为示为 1 11 1 11 p p p p p p j jj jjj i ii iii dxdxxb dxdxxax 则有坐标变换公式 则有坐标变换公式 1 1 1 1 1 xa xx xx xb p p p p p ii ii jj ii jj 三 外微分三 外微分 3 对流形对流形上的上的 0 形式形式 即函数 即函数 Mf MCf 由函数的微分 有由函数的微分 有 n i i i dx x f xdf 1 为为上的上的 1 形式 上式表明 形式 上式表明 是是dfM d 到到的映射 下面将的映射 下面将推广为推广为 0 MF 1 MF d 到到的映射 的映射 MF p 1 MF p 定义 定义 设设 为流形为流形上含上含 的坐标邻域 局的坐标邻域 局UMx 部坐标为部坐标为 如果 如果上的上的形式在形式在 中写中写 i xM pU 成成 1 11p p p i ii iii dxdxxax 则定义外微分如下 则定义外微分如下 1 1 1 1 11 1 p p p p p p i ii i n j j j ii i ii iii d dxdxdx x xa dxdxxdad d MFMFd pp 1 性质 性质 4 对对有有RMF p 21 2121 ddd 对对有有 MFMF qp 1 ddd p 即即都有都有 0 dd MF r 0 dd 当当时 对时 对必有必有np MF p 0 d 例例 考虑考虑 取它的直角坐标系 取它的直角坐标系则则 3 R zyx 上所有微分形式为上所有微分形式为 3 R 形式 形式 0 30 RCfzyxf 形式 形式 1 31 RCcbacdzbdyadx 形式 形式 2 32 RCcbadycdxdxbdzdzady 形式 形式 3 33 RCadzdyadx 5 分别求它们的外微分 分别求它们的外微分 庞卡莱引理及逆命题庞卡莱引理及逆命题 定义 定义 设设是是 维微分流形 维微分流形 Mn MF p 如果如果则称则称 为为闭微分形式 简称闭形闭微分形式 简称闭形 0 d 式 式 如果存在 如果存在使得使得则称则称 1 MF p d 为为恰当微分形式 简称恰当形式 恰当微分形式 简称恰当形式 显然 显然 有有 定理 定理 引理 引理 设设 是是上的上的形式形式ePoincar M p 且是恰当的 则且是恰当的 则 必是闭形式 必是闭形式 定理 定理 引理的逆命题 引理的逆命题 ePoincar 设开集设开集可收缩为一点 可收缩为一点 是是 上的上的MU U 形式 若形式 若 是闭的 则是闭的 则 是恰当的 是恰当的 p 对偶映射对偶映射 定义 定义 设设分别为分别为 维和维和 维微分流形 维微分流形 NM mn 是是映射 定义映射映射 定义映射NMF C 0 F npMFNFF PP 使得对任何使得对任何有有MTXXMx xp 1 PP XxFXxFxFXXxF 1 1 6 其中其中即即 是 是 的微分 的微分 称为映射称为映射的的 FdFF F F 对偶映射 对偶映射 性质 性质 是线性的 即对是线性的 即对 有 有 F 21 NFP 2 21 12211 FFF 对对 NF p 有有 FFF 即对 即对有有dFFd NF p dFFd 若若 是是的 则的 则PNGNMF C GFFG 局部地 设局部地 设和和分别为分别为和和上包上包 U VMN 含含 和和的坐标图 的坐标图 局部坐标局部坐标x xFy VUF 分别为分别为和和 i x j y 如果设如果设 1 11p p p i ii iii dydyyay 则则 7 1 1 1 1 1 1 p p p p p p jj jj ii jj ii ii dxdx xx yy xFaxF 5 8 5 8 流形上的积分流形上的积分 一 一 体积元与可定向流形体积元与可定向流形 设设 是是的一个直角坐标系的一个直角坐标系 n xx 1 n R 为为 方向的单位向量构成的一个有方向的单位向量构成的一个有 1 n ee i x 序标准正交基 取序标准正交基 取的一个的一个形式 形式 n R n 1n dxdx 显然显然 1 det 1 jin edxee 它给出以它给出以为边构成的为边构成的 维正立方体 维正立方体 1 n ee n 一般地 若一般地 若是是的任一个有序基 的任一个有序基 n ee 1 n R 则则 n j jiji eae 1 于是于是 det det 111 ijji nnn aedx eedxdxee 可将之视为以可将之视为以为边的平行多面体的为边的平行多面体的 1n ee 8 有向体积有向体积 若 若则称基底则称基底 0 0 det ij a 与标准基与标准基的的 定向相同 相定向相同 相 n ee 1 1 n ee 反 反 称为称为的标准体积元 的标准体积元 n dxdx 1 n R 如如上 取上 取 如图示 如图示 2 R 1 0 0 1 21 ee 0 1 det 01 10 2121 1221 ij a eeee eeee 一般地 在一般地 在 维实向量空间维实向量空间 上任取两组基上任取两组基nV 及及 它们的关系为 它们的关系为 n ee 1 1n ee 1 njeae iijj 或或 11ijnn aeeee 定义等价关系 定义等价关系 n ee 1 1n ee 0 det ij a 这样就可将这样就可将 的所有有序基分为两个类 称的所有有序基分为两个类 称V 之为之为 的的定向定向 同一等价类中各元的定向相 同一等价类中各元的定向相V 同 不同的等价类的元之间的定向相反 同 不同的等价类的元之间的定向相反 如如 中 中 代表的右手系习惯称为正代表的右手系习惯称为正 3 Rkji 定向 而定向 而 代表的左手系为反定向 代表的左手系为反定向 jki 又如又如中中确定它的一个标准定向流确定它的一个标准定向流 n R n 1 形的定向 形的定向 9 定义定义 设 设是是 维微分流形 维微分流形 是是Mn U 的一个图集 若该图集能确定的一个图集 若该图集能确定的切的切MMx 空间空间的定向 则称的定向 则称是是可定向的可定向的 MTxM 可定向可定向处雅可比行列式处雅可比行列式M UUx 0 det 1 1 x n n x i j xx xx x x 并非所有的流形都可定向 如并非所有的流形都可定向 如带 带 Mobius 定义 定义 设设 是是上的一个上的一个 形式 若对形式 若对 Mn 都有 都有 则称 则称 为流形为流形的一的一Mx 0 x M 个个体形式 体积元 体形式 体积元 可以证明 可以证明 可定向可定向上有一个体积元 上有一个体积元 MM 设设 点处局部坐标系点处局部坐标系 则 则有自然有自然x n xx 1 MTx 基基 若对 若对都有都有 n xx 1 Mx 则则 确定了流形确定了流形的正向 的正向 0 1 n xx x M 否则反向 否则反向 定义 设定义 设 是两个已定向的是两个已定向的 维微分流维微分流MNn 形 其定向分别由形 其定向分别由和和确定 确定 MF n NF n 为为映射 若微分形式映射 若微分形式与与 的的NM C 10 定向相同 则称定向相同 则称 是是保定向的保定向的 否则称 否则称 是是 反定向的反定向的 命题 设映射命题 设映射流形流形和和 xyxNM M 分别由分别由 形式形式和和Nn n dxdx 1 所定向 则所定向 则 n dydy 1 保定向保定向 0 1 1 n n xx yy 流形上的积分流形上的积分 首先考虑首先考虑中开集中开集 为为的整体坐标的整体坐标 n RU i x n R 系 取切空间的基系 取切空间的基确定确定U的正方的正方 n xx 1 向 于是向 于是成为一定向流形 成为一定向流形 n R 设设 为为 上一个可积函数 上一个可积函数 fU 1n dxdxxf 11 1 nUn d nUU dxdxxxf dxdxxf 下面考虑下面考虑 维可定向的微分流形维可定向的微分流形 nM 设设 是是上的一个图册 局部坐标为上的一个图册 局部坐标为 UM 下面用切空间上的自然基 下面用切空间上的自然基 n xx 1 确定确定的定向 的定向 n xx 1 M 取取的开覆盖的开覆盖的一个单位分解的一个单位分解 即 即M U f 11 存在存在上的上的函数族函数族 满足 满足M C f 对任何对任何 及及 有 有且当且当 Mx 1 0 xf 时 时 Ux 0 xf 对对 仅有有限个 仅有有限个 Mx 0 xf 对对 Mx 1 xf 设设 是是上的一个上的一个形式 且其形式 且其支集支集 M n 0 xMxSupp d 是一个紧子集 如果对某个是一个紧子集 如果对某个 有有 则则 有有上可表示为上可表示为 USupp U 1n dxdxxa 定义 定义 11 1 nUn d nUU dxdxxxa dxdxxa 一般地 由于一般地 由于Supp是紧致的 可选有限个邻是紧致的 可选有限个邻 域域覆盖覆盖 即有 即有 m UU 1 Supp 1 j m j USupp 由单位分解由单位分解可知可知 且 且 f m j j f 1 1 njUfSupp ji 12 于是 于是 定义 定义 形式形式 在已定向流形在已定向流形上的积分上的积分 n M 为为 11 1 1 n m j m j UjUj m j Mj d M dxdxxaxfff jjj 可以证明 有如下性质 可以证明 有如下性质 设设 是已定向的是已定向的 维流形维流形上的有紧上的有紧 21 nM 支集的支集的形式 则形式 则 n 2121 MMM R MM MM 若若 为为上的体积元 它确定上的体积元 它确定的正向 的正向 MM 为为上的连续实函数 则上的连续实函数 则0 xgM 0 Mg 当且仅当当且仅当上式取等号 上式取等号 0 g 若若为为的不相交开集 的不相交开集 21 M MM 且且的定向与的定向与一致 一致 21 MMM 21 M MM 则则 21 MMM 13 变量置换公式 变量置换公式 设设是已定向的是已定向的 维微分流形 维