高二数学文圆锥曲线与直线的位置关系人教实验A版知识精讲

用心 爱心 专心 高二数学文圆锥曲线与直线的位置关系人教实验高二数学文圆锥曲线与直线的位置关系人教实验 A 版知识精讲版知识精讲 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 圆锥曲线与直线的位置关系 二 学习目标 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法 能够正确熟练地解决与直线和圆锥曲线 的位置关系相关的一些问题 这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点 线 段的中点 弦长 垂直问题 因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式 及韦达定理联系去解决 三 考点分析 1 判断直线 与圆锥曲线的位置关系时 通常将直线 的方程 lrl A B 不同时为 0 代入圆锥曲线的方程 消去 也可 0 CByAx r 0 yxFy 以消去 得到一个关于变量 或者变量 的一元二次方程 xx y 即 消去后的 0 0 yxF CByAx y 0 2 cbxax 1 当时 则有 直线 与曲线相交 直线 与曲线相切 0 a0 lr0 lr 直线 与曲线相离 0 lr 2 当时 即得到一个一次方程 则 与相交 且只有一个交点 此时 若 0 alr 为双曲线 则直线 与双曲线的渐近线是平行 若为抛物线 则直线 与抛物线的对称 rlrl 轴的位置关系是平行 2 连结圆锥曲线上的两点的线段称为圆锥曲线的弦 直线 曲线 与的两个不同的交点 A B l 0 yxf r 0 yxF lr 则 是方程组的两组解 方程组消 11 yxA 22 yxB 11 yx 22 yx 0 0 yxF yxf 元后化为关于 或者 的一元二次方程 判别式 x y 0 2 CBxAx0 A 应有 所以 是方程的解 由根与系数的 ACB4 2 0 1 x 2 x 0 2 CBxAx 关系 韦达定理 求出 所以 A B 两点间距离为 A B xx 21 A C xx 21 即弦长公式 也可以写成关于 21 2 21 2 21 2 4 11xxxxkxxkAB 的形式 其弦长公式为 y 2 21 1 1 k yyAB 3 已知弦 AB 的中点 研究 AB 的斜率和方程 1 AB 是椭圆 的一条弦 中点 M 坐标为 则 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 00 yx AB 的斜率为 运用点差法求 AB 的斜率 设 A B 都在 0 2 0 2 ya xb 11 yxA 22 yxB 椭圆上 用心 爱心 专心 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 b y a x b y a x 两式相减得 0 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 b yy a xx 0 2 2121 2 2121 b yyyy a xxxx 即 故 0 2 0 2 21 2 21 2 21 21 ya xb yya xxb xx yy 0 2 0 2 ya xb kAB 2 运用类比的手法可以推出 已知 AB 是双曲线的弦 中点 1 2 2 2 2 b y a x 则 00 yxM 0 2 0 2 ya xb kAB 3 已知抛物线 的弦 AB 的中点 则 pxy2 2 0 p 00 yxM 0 0 2 y px kAB 4 椭圆 双曲线的通径 最短弦 为 焦准距为 p 抛物线的通径为 2p 焦准 a b22 c b2 距为 p 双曲线 a 0 b 0 的焦点到渐近线的距离为 b 1 2 2 2 2 b y a x 5 抛物线 y2 2px p 0 的焦点弦 过焦点的弦 为 AB A x1 y1 B x2 y2 则有如下 结论 1 x1 x2 p 2 y1y2 p2 x1x2 AB 4 2 p 6 过椭圆 a b 0 左焦点的焦点弦为 AB 则 过 1 2 2 2 2 b y a x 2 21 xxeaAB 右焦点的弦 2 21 xxeaAB 典型例题典型例题 例 1 已知椭圆 及直线 1 当 为何值时 直线与椭圆有公共点 2 若直线被椭圆截得的弦长为 求直线的方程 分析 分析 直线与椭圆有公共点 等价于它们的方程组成的方程组有解 因此 只须考虑 方程组消元后所得的一元二次方程的根的判别式 已知弦长 由弦长公式就可求出 解 解 1 把直线方程 代入椭圆方程 得 即 用心 爱心 专心 解得 2 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 由 1 得 根据弦长公式得 解得 因此 所求直线的方程为 说明 说明 处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题 采用的方法与处理直线 和圆的有所区别 这里解决直线与椭圆的交点问题 一般考虑判别式 解决弦长问题 一般应用弦长公式 用弦长公式 若能合理运用韦达定理 即根与系数的关系 可大大 简化运算过程 例 2 直线 与双曲线 相交于 两点 当 为何值时 以 为直径的圆经过坐标原点 解 解 由方程组 得 因为直线与双曲线交于 两点 解得 设 则 而以 为直径的圆过原点 则 于是 即 解得 满足条件 故当 时 以 为直径的圆过原点 例 3 斜率为 1 的直线经过抛物线 的焦点 与抛物线相交于两点 求线 段 的长 解 解 由抛物线的标准方程可知 焦点 准线方程 由题设 直线 的方程为 代入抛物线方程 整理得 解法一 解法一 解上述方程得 分别代入直线方程得 用心 爱心 专心 即 坐标分别为 解法二 解法二 设 则 8 解法三 解法三 设 B x2 y2 由抛物线定义可知 等于点 到准线 的距离 即 同理 点拨 点拨 1 解法一利用传统的基本方法求出 两点坐标 再利用两点间距离公 式求出 的长 解法二没有利用直线求出 坐标 而是利用韦达定理找到 与 的关系 利用直线截二次曲线的弦长公式 求得 这是典型的设而 不求思想方法比解法一先进 解法三充分利用抛物线的定义 把过焦点的这一特殊的弦分 成两个半径的和 转化为准线的距离 这是思维质的飞跃 2 抛物线 上一点 到焦点 的距离 这就是抛物线的焦半径公式 焦点弦长 例 4 若直线 与抛物线 交于 A B 两点 且 AB 中点的横坐标为 2 求此直线方程 分析 分析 由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k 的方程求解 另由于已知与直线斜率 及弦中点坐标有关 故也可利用 作差法 求 k 解法一 解法一 设 则由 可得 直线与抛物线相交 且 则 用心 爱心 专心 AB 中点横坐标为 解得 或 舍去 故所求直线方程为 解法二 解法二 设 则有 两式作差解 即 故 或 舍去 则所求直线方程为 例 5 1 设抛物线 被直线 截得的弦长为 求 k 值 2 以 1 中的弦为底边 以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形 当三角形的面积为 9 时 求 P 点坐标 分析 分析 1 题可利用弦长公式求 k 2 题可利用面积求高 再用点到直线距离求 P 点坐标 解 解 1 由 得 设直线与抛物线交于 与 两点 则有 即 2 底边长为 三角形高 点 P 在 x 轴上 设 P 点坐标是 则点 P 到直线 的距离就等于 h 即 或 即所求 P 点坐标是 1 0 或 5 0 模拟试题模拟试题 答题时间 60 分钟 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 用心 爱心 专心 1 设双曲线 的左准线与 轴的交点是 则过点 与双曲线 有 且只有一个交点的直线共有 A 2 条 B 3 条 C 4 条 D 无数条 2 过抛物线的焦点作直线交抛物线于 A B 若 yx 2 4 x1y1x2y2 则 AB 的中点 C 到抛物线准线的距离为 xx 12 6 A 5 B 4 C 3 D 2 3 已知 是抛物线上两点 为原点 若 且 AB 0 2 2 ppxy O OBOA 的重心恰为抛物线的焦点 则的直线方程为 OAB AB A B C D px px3 px 2 3 px 4 3 4 若 AB 为抛物线 的焦点弦 是抛物线的准线 则以 AB 为直径 pxy2 2 0 p l 的圆与 的公共点的个数是 l A 0 B 1 C 2 D 0 或 1 或 2 5 抛物线到直线距离最近的点的坐标为 2 xy 42 yx A B C D 4 5 2 3 1 1 4 9 2 3 4 2 6 曲线与直线有两个交点时 实数 a 的 yxx 1422 2 ya x 24 取值范围是 A B 5 12 3 4 a 5 12 a C D 1 3 3 4 a0 5 12 a 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 7 若 则方程的解的个数是 个 2 1 0 k kxx 1 8 设双曲线的半焦距为 直线过两点 x a y b ab 2 2 2 2 10 cl ab 00 已知原点到直线的距离为 则双曲线的离心率为 l 3 4 c 9 过 A 1 0 且与抛物线仅有一个公共点的直线方程为 yx 1 4 2 10 过双曲线的右焦点作倾斜角为 45 的直线 它们的交点为 xy 22 916 1 F2 l A B 则线段 AB 的长度为 三 解答题 本大题共 4 题 共 50 分 11 求与椭圆 相交于 两点 并且线段 的中点为 的直 用心 爱心 专心 线方程 12 已知椭圆 的焦点分别是 过中心 作直线与椭圆相交于 两点 若要使 的面积是 20 求该直线方程 13 以椭圆 的焦点为焦点 过直线 上一点 作椭圆 要 使所作椭圆的长轴最短 点 应在何处 并求出此时的椭圆方程 14 椭圆 上不同三点 与焦点 的距离成等差数列 1 求证 2 若线段 的垂直平分线与 轴的交点为 求直线 的斜率 试题答案试题答案 1 C 2 B3 D 4 B 相切 AB 2 1 BBAA 2 1 MM 5 B6 A 7 3 由 xy 1 1 1 1 1 1 1 2 1 xx xx xy k 12时 0 8 2 提示 提示 lbxayab ab ba c 0 3 4 22 又a bc 222 用心 爱心 专心 43 163 1613 2 2224 24 abc acac ee e24 4 3 或 又 e b a 22 12 故e e 2 42 9 xyyx 101或或 10 解 解 lyx xy xx 又 5 916 1 7903690 22 2 xx 12 90 7 xx 12 369 7 由 xx 12 0 则 A B 分别在双曲线两支上 ABAFBF a c x ex a c e ae xx 22 2 12 2 12 2 6 5 3 90 7 192 7 也可 ABxxx x 24 192 7 12 2 12 11 设 的坐标分别为 点 都在椭圆上 得 的中点为 即直线 的斜率为 所求直线方程为 即 12 易求得 设直线 方程为 代入椭圆方程得 用心 爱心 专心 即 由 得 直线 的方程为 即 13 解 椭圆 的焦点为 点 关于直线 的对称点 的坐标为