排列组合二项式定理概率统计(教师）.doc

排列组合二项式定理概率统计（理科适用）1某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为()A85B86 C91 D90解析：由题意，可分三类考虑：(1)男生甲入选，女生乙不入选：CCCCC31；(2)男生甲不入选，女生乙入选：CCCCC34；(3)男生甲入选，女生乙入选：CCCC21，共有入选方法种数为31342186.答案：B2将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A12种 B18种 C36种 D54种解析：将标号为1,2的卡片放入1个信封，有C3种方法，将剩下的4张卡片放入剩下的2个信封中，有CC6种方法，共有CCC3618种答案：B3从5张100元，3张200元，2张300元的运动会门票中任选3张，则选取的3张中至少有2张价格相同的不同的选法共有()A70种 B80种 C90种 D100种解析：基本事件的总数是C，在三种价格的门票中各自选取1张的方法数是CCC，故其对立事件“选取的3张中至少有2张价格相同”的不同的选法共有CCCC90种答案：C42012年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有()A1 440种 B1 360种 C1 282种 D1 128种解析：采取对丙和甲进行捆绑的方法：如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：AA1 440种，如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：CAAA192种，若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：A120种则不同的安排方案共有1 4401921201 128(种)答案：D5霓虹灯的一个部位由7个小灯泡并排组成，每个灯泡均可以亮出红色或黄色，现设计每次变换只闪亮其中的三个灯泡，且相邻的两个灯泡不同时亮，则一共可以呈现出不同的变换形式的种数为()A20 B30 C50 D80解析：按照三个灯泡同色、三个灯泡两红一黄、三个灯泡一红两黄将问题分为三类：第一类：三个灯泡同色时，可以呈现出不同的变换形式的种数为C220种；第二类：三个灯泡两红一黄时，可以呈现出不同的变换形式的种数为CC30种；第三类：三个灯泡一红两黄时，可以呈现出不同的变换形式的种数为CC30种故呈现出满足条件的不同的变换形式的种数为20303080.答案：D二、填空题6(2012本溪模拟)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有_种(以数字作答)解析： 只有1名老队员的排法有CCA36种有2名老队员的排法有CCCA12种；所以共48种答案：487(2012北京模拟)三个人坐在一排八个座位上，若每个人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为_解析：法一：根据题意，两端的座位要空着中间六个座位坐三个人，再空三个座位，这三个座位之间产生四个空，可以认为是坐后产生的空，故共有A24种法二：让人占座位之间的空，因有五个座位，它们之间四个空，人去插空，共有A24种答案：24三、解答题8将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法共有多少种？解：先选1空盒：C，将4白、5黑、6红分别放入其余三个盒中，每盒1个，剩1个白球有3种放法，剩2个黑球有3C6种放法，剩3个红球有31A10种放法，由分步乘法原理，得C6310720种9某中学高三年级共有12个班级，在即将进行的月考中，拟安排12个班主任老师监考数学，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任老师监考，则不同的监考安排方案共有多少种？解：先从12个班主任中任意选出8个到自己的班级监考，有C种安排方案，设余下的班主任为A、B、C、D，自己的班级分别为1、2、3、4，安排班主任A有三种方法，假定安排在2班监考，再安排班主任B有三种方法，假定安排在3班监考，再安排班主任C、D有一种方法，因此安排余下的4个班主任共有9种方法，所以安排方案共有C94 455种10某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？(4)医疗队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C816种；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C8 568种；(3)分两类：甲、乙中有一人参加；甲、乙都参加共有CCC6 936种；(4)法一：(直接法)：至少一名内科一名外科的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有CCCCCCCC14 656种法二：(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C(CC)14 656种1甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件那么()A甲是乙的充分但不必要条件B甲是乙的必要但不充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：由互斥、对立事件的含义知选B答案：B2从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在160,175的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为()A0.2B0.3 C0.7 D0.8解析：因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm的概率为10.20.50.3.答案：B3(2012皖南八校联考)某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是()A.B. C. D.解析： 记4听合格的饮料分别为A1、A2、A3、A4,2听不合格的饮料分别为B1、B2，则从中随机抽取2听有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15种不同取法，而至少有一听不合格饮料有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共9种，故所求概率为P.答案：B4先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为()A. B. C. D.解析：由题意可知，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为.答案：C5(2012合肥模拟)在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A30，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是()A. B. C. D.解析：要使ABC有两个解，需满足的条件是因为A30，所以满足此条件的a，b的值有b3，a2；b4，a3；b5，a3；b5，a4；b6，a4；b6，a5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是.答案：A二、填空题6现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为_答案：7甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为_解析：P10.20.250.95.答案：0.95三、解答题8已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止(1)求检验次数为3的概率；(2)求检验次数为5的概率解：(1)设“在3次检验中，前2次检验中有1次检到次品，第3次检验到次品”为事件A，则检验次数为3的概率为P(A).(2)记“在5次检验中，前4次检验中有1次检到次品，第5次检验到次品”为事件B，记“在5次检验中，没有检到次品”为事件C，则检验次数为5的概率为PP(B)P(C).9已知向量a(x、y)，b(1，2)，从6张大小相同、分别标有号码1、2、3、4、5、6的卡片中，有放回地抽取两张，x、y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码(1)求满足ab1的概率；(2)求满足ab0的概率解：(1)设(x，y)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,1)、(2,2)、(6,5)、(6,6)，共36个用A表示事件“ab1”，即x2y1，则A包含的基本事件有(1,1)、(3,2)、(5,3)，共3个，P(A).(2)ab0，即x2y0，在(1)中的36个基本事件中，满足x2y0的事件有(3,1)、(4,1)、(5,1)、(6,1)、(5,2)、(6,2)，共6个，所以所求概率P.10某次会议有6名代表参加，A、B两名代表来自甲单位，C、D两名代表来自乙单位，E、F两名代表来自丙单位，现随机选出两名代表发言，问：(1)代表A被选中的概率是多少？(2)选出的两名代表“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”的概率是多少？解：(1)从这6名代表中随机选出2名，共有15种不同的选法，分别为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)其中代表A被选中的选法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，共5种，则代表A被选中的概率为.(2)法一：随机选出的2名代表“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”的结果有9种，分别是 (A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)则“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”这一事件的概率为.法二：随机选出的2名代表“恰有1名来自乙单位”的结果有8种，概率为；随机选出的2名代表“都来自丙单位”的结果有1种，概率为.则“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”这一事件的概率为.1下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是() A.X012P0.30.40.5B.X012P0.30.10.8 C.X1234P0.20.50.30 D.X012P解析：利用离散型随机变量的分布列的性质检验即可答案：C2袋中装有10个红球、5个黑球每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止若抽取的次数为，则表示“放回5个红球”事件的是()A4 B5 C6 D5解析：由条件知“放回5个红球”事件对应的为6.答案：C3离散型随机变量X的概率分布规律为P(Xn)(n1,2,3,4)，其中a是常数，则P(X)的值为()A. B. C. D.解析：由()a1.知a1a.故P(X)P(1)P(2).答案：D4(2012福州模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X4)的值为()A. B. C. D.解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X4).答案：C5一只袋内装有m个白球，nm个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，下列概率等于的是()AP(3) BP(2)CP(3) DP(2)解析：由超几何分布知P(2)答案：D二、填空题6随机变量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|1)_.解析：a，b，c成等差数列，2bac.又abc1，b，P(|X|1)ac.答案：7设随机变量X只能取5、6、7、16这12个值，且取每个值的概率相同，则P(X8)_，P(6X14)_.解析：P(X8)，P(6X14).答案：三、解答题8(2012扬州模拟)口袋中有n(nN*)个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球记取球的次数为X.若P(X2)，求：(1)n的值；(2)X的分布列解：(1)由P(X2)知， 90n7(n2)(n3)n7.(2)X1,2,3,4 且P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).X的分布列为X1234P9一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是，试验不成功的概率都是.甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，且每次试验相互独立(1)求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率；(2)记3次试验中，都选择了第一套方案并试验成功的次数为X，求X的分布列解：(1)记事件“一次试验中，选择第i套方案并试验成功”为Ai，i1,2，则P(Ai).3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率 PP(A1A1A1A2A2A2)33.(2)由题意知X的可能取值为0,1,2,3，则XB(3，)，P(Xk)C3kk，k0,1,2,3.X的分布列为X0123P10在某射击比赛中，比赛规则如下：每位选手最多射击3次，射击过程中若击中目标，方可进行下一次射击，否则停止射击；同时规定第i(i1,2,3)次射击时击中目标得4i分，否则该次射击得0分已知选手甲每次射击击中目标的概率为0.8，且其各次射击结果互不影响(1)求甲恰好射击两次的概率；(2)设选手甲停止射击时的得分总数为，求随机变量的分布列解：(1)记“选手甲第i次击中目标的事件”为Ai(i1,2,3)，则P(Ai)0.8，P(i)0.2，依题意可知：Ai与Aj(i，j1,2,3，ij)相互独立，所求的概率为P(A12)P(A1)P(2)0.80.20.16.(2)的可能取值为0,3,5,6.P(0)0.2，P(3)0.80.20.16，P(5)0.820.20.128，P(6)0.830.512.所以的分布列为：0356P0.20.160.1280.5121若随机变量X的分布列如下表，则E(X)等于()X012345P2x3x7x2x3xxA.B. C. D.解析：由分布列的性质可得2x3x7x2x3xx1，x.E(X)02x13x27x32x43x5x40x.答案：C2(2012潍坊模拟)设X为随机变量，XB，若随机变量X的数学期望E(X)2，则P(X2)等于()A. B. C. D.解析：XB，E(X)2.n6.P(X2)C24.答案：D3已知随机变量XB(6，)，则P(2X5.5)()A. B. C. D.解析：依题意，P(2X5.5)P(X0,1,2,3,4,5)1P(X6)1C()6.答案：A4已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴在y轴的左侧其中a，b，c3，2，1,0,1,2,3，在这些抛物线中，若随机变量X|ab|的取值，则X的数学期望E(X)()A. B. C. D.解析：对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有2CCC126条，X的可能取值有0,1,2.P(X0)，P(X1)，P(X2)，E(X).答案：A5一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，a、b、c(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为()A. B. C. D.解析：依题意得3a2b0c1，a0，b0，3a2b2，即21，ab.当且仅当3a2b即a，b时等式成立答案：B二、填空题6某射手射击所得环数的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望E()8.9，则y的值为_解析：依题意得即由此解得y0.4.答案：0.47某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E(X)_(结果用最简分数表示)解析：首先X0,1,2P(X0)，P(X1)，P(X2).E(X)012.答案：三、解答题8某品牌汽车的4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，且4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元用表示经销一辆汽车的利润.付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数4020a10b(1)若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分3期付款”的概率P(A)；(2)求的分布列及其数学期望E()解：(1)由题意可知“购买该品牌汽车的3位顾客中有1位采用分3期付款”的概率为0.2，所以P(A)0.83C0.2(10.2)20.896.(2)由0.2得a20，4020a10b100，b10.记分期付款的期数为，依题意得：P(1)0.4，P(2)0.2，P(3)0.2，P(4)0.1，P(5)0.1.由题意知的可能取值为：1,1.5,2(单位：万元)P(1)P(1)0.4，P(1.5)P(2)P(3)0.4；P(2)P(4)P(5)0.10.10.2.的分布列为：11.52P0.40.40.2的数学期望E()10.41.50.420.21.4(万元)9(2012广州调研)某商店储存的50个灯泡中，甲厂生产的灯泡占60%，乙厂生产的灯泡占40%，甲厂生产的灯泡的一等品率是90%，乙厂生产的灯泡的一等品率是80%.(1)若从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等)，则它是甲厂生产的一等品的概率是多少？(2)若从这50个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等)，这两个灯泡中是甲厂生产的一等品的个数记为，求E()的值解：(1)法一：设事件A表示“甲厂生产的灯泡”，事件B表示“灯泡为一等品”，依题意有P(A)0.6，P(B|A)0.9，根据条件概率计算公式得P(AB)P(A)P(B|A)0.60.90.54.法二：该商店储存的50个灯泡中，甲厂生产的灯泡有5060%30个，乙厂生产的灯泡有5040%20个，其中是甲厂生产的一等品有3090%27个，故从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡，它是甲厂生产的一等品的概率为0.54.(2)依题意，的取值为0,1,2，P(0)，P(1)，P(2)，的分布列为012PE()0121.08.10(2012冀州模拟)今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量例如：家居用电的碳排放量(千克)耗电度数0.785，汽车的碳排放量(千克)油耗公升数0.785等某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：A小区低碳族非低碳族比例PB小区低碳族非低碳族比例P(1)如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；(2)A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的