高数极限与连续

第一单元复习 主要内容 函数部分 复合函数 反函数 分段函数 函数记号 的运算及基本初等函数与图象 这部分内容贯穿全书 不 另行复习 极限 极限的概念 性质 极限存在的条件以及求极 限 求极限的方法 利用运算法则及幂指数运算法则 无穷小与有无穷小与有 界必为无穷小界必为无穷小 利用函数的连续性 利用变量替换与两个重要极限两个重要极限 利用等价无穷小因子替换利用等价无穷小因子替换 利用洛必达法则利用洛必达法则 分别求左右极限 数列极限转化成函数极限 利用适当放大与缩小法 利用夹逼定理 对递归数列先证明极限存在 常用 单调有界 必有极限 准则 再利用递归关系求出极限 利用导数定义求极限 无穷小及其阶 会比较无穷小的阶及确定无穷小阶的 方法 连续函数的性质 会判断函数的连续性及间断 能说能说 出间断点的类型出间断点的类型 特别是分段函数的在连接点处的连分段函数的在连接点处的连 续性续性 闭区间上的连续函数的性质 有界性 最值定理 介 值定理 特别会用零点定理证明方程有根的方法会用零点定理证明方程有根的方法 一 选择题 函数 是 2 log 1 a yxx A 偶函数 B 奇函数 C 非奇非偶函数 D 既是奇函数又是偶函数 2 若函数 f ex x 1 则 f x A ex 1 B x 1 C ln x 1 D lnx 1 3 当时 arctanx 的极限 x 不存在 但有界 2 2 下列等式中成立的是 e n n n 2 1lime n n n 2 1 1lime n n n 2 1 1lim e n n n 2 1 1lim 无穷小量是 比 0 稍大一点的一个数 一个很小很小的 以 0 为极限的一个变量 数 0 2 2 1 sin 1 lim 1 2 x x xx 0 1313 23 设数列 满足 有 则 n a n b n c NNnN nnn abc d A 和都收敛时 收敛 B 和 n a n c n b n a 都发散时 发散 下端 n b n c C 有界时 和都有界 下限 D 以 n c n a n b 上都不对 下列极限存在的是 A A B B 有界但不存在 C C x x e 1 0 lim x x 1 sinlim 0 D D x x x cos 1 lim x x arctanlim 当时 下列函数与等价无穷小的是 1 xx 1 A B C 3 1 2 1 x x 1 2 1 2 1 2 1 x D x 1 0 若在处连续 则 取值为 2 0 sin 0 x ex f x ax x x 0 x a A B C 1 ae 2 ae 1a D 2a 11 设在处连续 则 2 ln cos 0 0 xxx f x ax 0 x a A 0 B C 1 D 2 1 12 在 x 0 时 下面说法中错误的是 A 是无穷小 B 是无穷小 C 是无穷sinxx 1 sinx x 11 sin xx 大 D 是无穷大 x 1 13 设 当时 是 x 的几阶无穷小 cos xxx f xee 0 x xf A 1 阶 B 2 阶 C 3 阶 D 4 阶 14 设 则当时 有 232 xx xf0 x A 与 是等价无穷小 B 与 xfx xf 同阶非等价无穷小x C 是比 高阶的无穷小 D 是比 xfx xf 低阶的无穷小x 15 当时 是的 总体的平方0 x 2 sinsin4 2x x 3 x A 同阶但不是等价无穷小 B 高阶无穷小 C 低阶无穷小 D 等价无 16 函数 则点是的 E 的无穷 1 1 1 1 x x e f x e 0 x f x 次分情况讨论 A 可去间断点 B 跳跃间断点 C 无穷间 断点 D 振荡间断点 17 函数 在处 2 0 0 xx f x xx 0 x A 极限存在 但不连续 B 连续但不可导 C 可 导 D 导函数连续 18 设 则是函数的 1 1 0 00 x x f x x x 0 x f x A 可去间断点 B 无穷间断点 C 连续 点 D 跳跃间断点 19 函数极限 B LN 1 1 X 1 Xlim ln 1 ln x xxx A 1 B 1 C D 不存在但非 20 B B 2 0 4 0 sin d lim x x t t x A A 0 B B C C 2 1 3 1 D D 1 21 的值为 2 0 1 sin lim sin x x x x A 1 B C 不存在 D 0 22 下列极限计算正确的是 A B C D e 1 1 lim 0 x x x e 1 lim 1 x x x1 1 sinlim x x x 1 sin lim x x x 23 设 0 2 0 1 sin 1 xa xax x ax xf x 在0 x连续 则a A ln3 B ln2 C 3 D 2 24 已知 则 2 1 21ln cos1 tan lim 2 0 xx edxc xbxa 0 22 ca A B C D ca4 ca4 db4 db4 25 设当时 是比高阶的无穷小 而0 x 1ln cos1 2 xx n xxsin 是比高阶的无穷小 则正整数 等于 B n xxsin 1 2 x en A 1 B 2 C 3 D 4 26 设 11 0 1ln x dttxf1 xexg x 则当时 是的 0 x xf xg A 等价无穷小 B 同阶但非等价无穷小 C 低阶无穷小 D 高阶无穷小 27 方程至少有一个根的区间是 4 10 xx A B C D 0 1 2 1 2 1 2 3 1 2 28 若 2 3 211 lim 169 x f xx x 则 f x A x 1 B x 5 C 13 x D 6x 二 填空题 1 设函数 的可去间断点为 则定义 2 1 1 x f x x 1x 时 在处连续 1 2f xf 2 设函数 则定义 时 函数在 cot 1 x f xx 0 f 1 e xf 处连续 0 x 3 3 设点是什么类型的间断点 跳跃 0 1 1ln 0 1 1 xx xe xf x 1x 4 设函数 则是的第 二 类 23 1 2 2 xx x xf2 x f x 间断点 5 已知时 与是等价无穷小 则常数0 x1 1 3 1 2 axxcos1 a 2 3 6 是同阶无穷小 5 时设 0 x kxxx xee 2 cos 与 k 则 7 设 当时 是的同阶无穷小 1 0 cosx f x sintdt 0 x xf k x 则 4 k 已知 在所定义的区间上连续 则 a 1 1 1 arctan 10 0 11 x x xbax x x ax xf b 9 设 则 3 e 2 1 lim kx x x k 10 已知4 lim x x cx cx C 11 已知 则 2 5 lim2 32 n abn n a b 12 函数的间断点是 xf 1ln x x 三 计算下列极限 1 100 7030 95 32 1 lim x xx x 2 0 lim sin x x x 3 极限 1 1 1 lim x x x 4 cos lim sin x xx xx 5 22 lim x xxxx 6 求极限 1 1 ln 1 lim 1 xx x 7 求极限 2 0 2 arctan lim 1 x x tdt x 8 求极限 2 0 1 3sincos lim ln 1 x xx x x 9 求极限 12 lim 545 xxx x 10 求极限 2 0 02 0 ln 1 3 lim 1 cos 1 x x xt ttdt t edt 11 计算 2 2 2 0 0 0 1 lim ln 1 x t x x edt tt dt 2 xx xx x sin63 cos5 lim 2 2 13 1 1 2 0 x xx x tanln sin lim 14 x x xx cot2 0 32sin1 lim 四 求参数 已知 在点可导 求 1110 0 01 xxx f xcx axbx 0 x a b c的值 连续可导 研究函数 在处的连续性与可 1 sin 0 x f xx 0 0 x x 0 x 导性 为常数 14 已知函数 在处连续 求 0 sin 0 0 1 1 x bx ax xe xax xf x 0 x a b 的值 已知 求常数 和 1 1 1 lim 2 3 bax x x x ab 已知 求的值 2 20 0 lim1 sin x x t dt bxxat a