天津南开中学2008届高三理科数学校模拟试卷(答案).doc

天津南开中学2008届高三数学理科模拟试卷参考答案 2008.05.05天津南开中学2008届高三数学理科模拟试卷参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）12345678910DADDBCBBCA二、填空题：(本大题共6小题，每小题4分，共24分.)11. 某校有名教职工，其中教师名，行政人员名，后勤人员名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见。现采取分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，其中后勤人员应抽人数为 _.12. 若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为_.13. 已知圆和直线相交于两点,若,则的值为 _.14. 设，则的值为 _.15. 对正整数，记曲线处的切线与轴交点的纵坐标为，设，则 _.16. 在平面斜坐标系中，平面上任一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与轴、轴同方向的单位向量，则点斜坐标为那么以为圆心，为半径的圆在斜坐标系中的方程为 _.三、解答题：本大题共6小题，共76分其中17 20小题每题12分，2122小题每题14分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知的三个内角分别为、，向量与向量 夹角的余弦值为.（1）求角的大小； （2）求的取值范围.解：（1），且， . 即 解得（舍）， 6分 （2）由（1）可知， . ， , . 即. 12分18. 盒内有大小相同的个球，其中个红色球，个白色球，个黑色球. 规定取出个红色球得分；取出个白色球得分；取出个黑色球得分. 现从盒内任取个球.（1）求取出的个球颜色互不相同的概率；（2）求取出的个球得分之和恰为分的概率；（3）设为取出的个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望.解：（1）记 “从盒中取出1个红色球，1个白色球，1个黑色球”为事件， 则. 3分（2）记 “从盒中取出1个红色球，2个白色球”为事件，“从盒中取出2个红色球， 1个黑色球”为事件，事件与事件为互斥事件.则. 6分（3）可能的取值为. ， ， . 的分布列为:0123 的数学期望. 12分19. 已知在正方体中，分别是的中点，在棱上，且 （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值； （3）求二面角的大小（用反三角函数表示）（1）证明：连接，因为分别是的中点， 所以 在正方体中，面，为在平面内的射影，且， 根据三垂线定理，所以 3分（2）延长到，使，连接. 显然，因为，所以和所成的角为与所成的角.设正方体的边长为，则，,在三角形中，,与所成角的余弦值为. 7分（3）取的中点，连接，作，垂足为因为为中点，所以，所以平面，在平面内的射影是,根据三垂线定理可知，的邻补角为二面角的平面角.在正方形中，计算得，因为，所以，所以二面角的大小为12分20. 已知函数.（1）求的最小值；（2）若对所有，都有，求实数的取值范围.解：（1）的定义域为， 的导数. 令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增. 所以，当时，取得极小值，亦为最小值. 6分（2）解法一：依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立 . 令， 则. 当时，因为， 故是上的增函数，所以在上的最小值是， 从而的取值范围是. 12分解法二：令，则， 若，当时，故在上为增函数，所以，时，即. 若，方程的根为 ，此时，若，则，故在该区间为减函数.所以，时，即，与题设相矛盾.综上，满足条件的的取值范围是. 12分21. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，其左准线与轴相交于点，并且满足.设、是上半椭圆上满足的两点，其中. （1）求此椭圆的方程； （2）求直线的斜率的取值范围； （3）过、两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点，求证：点在一条定直线上，并求点的纵坐标的取值范围.解：（1）由于， 解得，从而所求椭圆的方程为. 4分 （2）三点共线，点的坐标为.显然直线存在斜率，设为，设直线的方程为，依条件知.由 消去得 ， 即 .根据条件可知 解得.设，则根据韦达定理，得又由 从而 消去, 则. 由，有，即，解得.而, ,因此直线的斜率的取值范围是. 9分（3）设点的坐标为，上半椭圆的方程为 ，求导可得 ,所以两条切线的斜率分别为 切线的方程是又，从而切线的方程为 .同理可得切线的方程为 .由 可解得点的坐标 再由 . 又由（1）知 ，.因此点在定直线上，并且点的纵坐标的取值范围是. 14分22. 已知，数列满足，且 （1）求数列的通项公式；（2）当取何值时，取最大值，并求出最大值；（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围解：（1），即 且，设，其中，.且为中的的最小值，则.由，且，有，与矛盾.故对任何，所以，是以为首项，公比为 的等比数列 （）， （） 5分 （2）由（1），可知，由 解得 当或时，取最大值，最大值为 9分（3）由，得（*）依题意，