高考数学复习点拨 两种回归方程的求解策略

用心 爱心 专心 两种回归方程的求解策略两种回归方程的求解策略 准确确定回归直线方程 有利与进一步加强数学应用意识 培养运用所学知识解决实 际问题的能力 正确的求出回归直线方程也是本节的重点 一 线性回归方程的确定策略 线性回归方程的确定主要策略有 通过散点图来描述出变量间的图形 或利用样本相关 关系数 r 来判断两个变量之间是否具有线性相关关系时 可以依据 r 0 75 时 我们认为 有很强的线性相关关系 可以求回归直线方程 例 1 10 名同学在高一和高二的数学成绩如下表 x 74 71 72 68 76 73 67 70 65 74 Y 76 75 71 70 76 79 65 77 62 72 其中 x 为高一数学成绩 y 为高二数学成绩 1 y 与 x 是否具有相关关系 2 如果 y 与 x 是相关关系 求回归直线方程 解 1 由已知表格中的数据 利用计算器进行计算得 710 10 1 i i x723 10 1 i i y71 x 3 72 y51467 10 1 i iiy x 50520 10 1 2 i i x52541 10 1 2 i i y r 780297 0 3 721052541 711050520 10 3 727151467 10 10 10 22 10 1 10 1 2 2 2 2 10 1 ii ii i ii yyxx yxyx 由于 由 0 780 297 0 75 知 有很大的把握认为 x 与 y 之间具有线性相关780297 0 r 关系 2 y 与 x 具有线性相关关系 设回归直线方程 a bx 则 y b22 1 711050520 3 72711051467 10 10 210 1 2 2 10 1 i i i ii xx yxyx 72 3 1 22 71 14 32 xbya 所以 y 关于 x 的回归直线方程为 1 22x 14 32 y 二 非线性回归方程的确定策略 两变量之间不光有线性回归关系 还有非线性回归关系 非线性回归问题有时并不给 出经验公式 这时我们可以画出已知数据的散点图 把它与学过的各种函数 幂函数 指 用心 爱心 专心 数函数 对数函数等 图象作比较 挑选一种跟这些散点拟合的最好的函数 然后 采用 适当的变量置换 把问题化为线性回归分析问题 使其得到解决 残差分析是对回归方程 有效性进行检测 是回归思想的主要内容 例 2 如下表所示 某地区一段时间内观察到的大于或等于某震级 x 的地震个数为 N 试建立回归方程表述二者之间的关系 震级 x 33 23 43 63 844 24 44 64 85 0 地震 数 N 28381203801479510695764155023842269819191356973 震级 x 5 25 45 65 866 26 46 66 87 地震 数 N 74660643527420614898574125 解 由表中数据得散点图如下 从散点图中可以看出 震级 x 与大于该震级的地震次数 N 之间不呈线性相关关系 随 着 x 的减少 所考查的地震数 N 近似地以指数形式增长 做变换 得到的数据如Nylg 下表所示 x33 23 43 63 844 24 44 64 85 0 y4 4534 3094 1704 0293 8833 7413 5853 4313 2833 1322 988 x5 25 45 65 866 26 46 66 87 y2 8732 7812 6382 4382 3142 1701 9911 7561 6131 398 x 和 y 的散点图如下 从这个散点图中可以看出 x 和 y 之间有很强的线性相关关系 因此可以用线性回归模 型拟和它们之间的关系 根据截距和斜率的最小二乘计算公式 得 用心 爱心 专心 故线性回归方程为741 0 704 6 ba 704 6 741 0