微专题：构造函数法解选填压轴题

1 微专题 构造函数法解选填压轴题 高考中要取得高分 关键在于选准选好的解题方法 才能省时省力又有效果 近几年各地高考数学 试卷中 许多方面尤其涉及函数题目 采用构造函数法解答是一个不错的选择 所谓构造函数法构造函数法是指通 过一定方式 设计并构造一个与有待解答问题相关函数 并对其进行观察分析 借助函数本身性质如单 调性或利用运算结果 解决原问题方法 简而言之就是构造函数解答问题 怎样合理的构造函数合理的构造函数就是问 题的关键 这里我们来一起探讨一下这方面问题 几种导数的常见构造 1 对于 构造 xgxf xgxfxh 若遇到 则可构 0 aaxf axxfxh 2 对于 构造 0 xgxf xgxfxh 3 对于 构造 0fxf x xfexh x 4 对于 或 构造 fxf x 0fxf x x f x h x e 5 对于 构造 0 xfxxf xxfxh 6 对于 构造 0 xfxxf x xf xh 一 构造函数法比较大小 例 1 已知函数 yf x 的图象关于 y 轴对称 且当 0 0 xf xxfx 成立 则的大小关系是 0 20 2 2 2 af Alog 3 log 3 bf A 33 log 9 log 9 cf A a b c Aabc B acb C cba Dbac 解析 因为函数 yf x 关于y轴对称 所以函数 yxf x 为奇函数 因为 xf xf xxfx 所以当 0 x 时 0 xf xf xxfx 函数 yxf x 单调递减 当 0 x 时 函数 yxf x 单调递减 因为 0 2 122 0131og 3 192og 所以 0 2 3 013219ogog 所以bac 选 D 变式 已知定义域为的奇函数的导函数为 当时 R f x fx0 x 0 f x fx x 若 则下列关于的大小关系正确的是 D 111 2 2 ln ln2 222 afbfcf a b c Aabc B acb C cba Dbac 例 2 已知为上的可导函数 且 均有 则有 f xRxR f xfx 2 A B 2016 2016 0 eff 2016 2016 0 fef 2016 2016 0 eff 2016 2016 0 fef C D 2016 2016 0 eff 2016 2016 0 fef 2016 2016 0 eff 2016 2016 0 fef 解析 构造函数则 x f x g x e 2 xx xx fx eef xfxf x g x ee 因为均有并且 所以 故函数在 R 上单调递减 x R f xfx 0 x e 0g x x f x g x e 所以 即 2016 0 2016 0 gggg 20162016 2016 2016 0 0 ff ff ee 也就是 故选 D 20162016 2016 0 2016 0 efffef 变式 已知函数为定义在上的可导函数 且对于任意恒成立 为自然 f xR f xfx xR e 对数的底数 则 C 2016 1 0 2016 0 A fe ffef 2016 1 0 2016 0 B fe ffef 2016 1 0 2016 0 C fe ffef 2016 1 0 2016 0 D fe ffef 例 3 在数列中 则数列中的最大项为 n a 1 n 1 n n anN n a A B C D 不存在 2 3 3 5 5 解析 由已知 1 2a 3 2 3a 4 3 42a 5 4 5a 易得 猜想当时 是递减数列 12234 aa aaa 2n n a 又由知 令 1 1 n n an ln 1 ln 1 n n a n ln x f x x 则 22 1 ln 1 ln xx x x fx xx 当时 则 即 3x ln1x 1 ln0 x 0fx 在内为单调递减函数 f x 3 时 是递减数列 即是递减数列2n ln n a n a 又 数列中的最大项为 故选 B 12 aa n a 3 2 3a 3 练习 1 已知函数对任意的满足 则 A xfy 22 x cos sin0fxxf xx B C D 4 2 0 ff 3 2 0 ff 4 3 2 ff 4 3 2 ff 提示 构造函数 选 D cos f x g x x 二 构造函数法解恒成立问题 例 1 若函数y 在R上可导且满足不等式恒成立 对任意正数 若 xf 0 xfxf x ab 则必有 ab A B C D af bbf a bf aaf b af abf b bf baf a 解析 由已知 构造函数 0 xfxf x xxfxF 则 从而在R上为增函数 F x 0 xfxf x xF 即 故选 C ab F aF b af abf b 例 2 已知是定义在 0 上的非负可导函数 且满足 0 对任意正数 xf xfxf x a 若 则必有 bab A B C D af bbf a bf aaf b af abf b bf baf a 解析 故在 0 上是减函数 x xf xF 0 2 x xfxxf xF x xf xF 由 有 即 故选 A ba b bf a af af bbf a 变式 1 设是上的可导函数 分别为的导函数 且满足 f xg x R fxg x f xg x 则当时 有 C 0fx g xf x g x axb A f x g bf b g x B f x g af a g x C f x g xf b g b D f x g xf b g a 变式 2 设函数 时 有 C bxaxgxfbaxgxf 则当且上均可导在 A B xgxf xgxf C D afxgagxf bfxgbgxf 例 3 设函数在 R 上的导函数为 且 下面不等式恒成立的是 f x fx 2 2 f xxfxx 4 A B C D 0 xf0 xfxxf xxf 解析 由已知 首先令得 排除 B D 0 x0 xf 令令 则 2 g xx f x 2 g xxf xxfx 当时 有 0 x 2 2 0 g x f xxfxxg x x 所以函数单调递增 所以当时 从而 g x0 x 0 0g xg 0 xf 当时 有 0 x 2 2 0 g x f xxfxxg x x 所以函数单调递减 所以当时 从而 g x0 x 0 0g xg 0 xf 综上 故选 A 0 xf 例例 4 如果 那么下面的不等式恒成立的是 22 1 1 1xxyy A B C D 0 xy 0 xy 0 xy 0 xy 解析 构造函数 易证在 R 上是奇函数且单调递增 2 lg 1 f xxxxR f x 22 1 1 1xxyy 2 lg 1 f xf yxx 2 lg 1 yy lg1 0 22 lg 1 1 xxyy 即 f xf y f xfy 又是增函数 即 故选 B f xxy 0 xy 练习 1 已知 则实数的关系是 D yx yx 5 0 log 5 0 log 3 1 3 1 3 1 3 1 yx A B C D 0 yx0 yx0 yx0 xy 解析 构造函数 是增函数 又 故选 D 1 3 3 log 2 xf xx f x f xfy 0 xy 练习 2 已知函数是R上的可导函数 当时 有 则函数的 xfy 0 x0 x xf xf x xxfxF 1 零点个数是 B A 0 B 1 C 2 D 3 解析 由 得 构造函数 x xxfxF 1 1 xf x x g xxf x 则 当时 有 当时 g xf xx f x 0 x0 x xf xf0 x 0 xfxf x x 即当时 此时函数单调递增 此时0 x g 0 xf xx f x g x 5 g g 0 0 x 当时 此时函数单调递减 此时 0 x g 0 xf xx f x g xg g 0 0 x 作出函数和函数的图象 直线只代表单调性和取值范围 由图象可知函数g x 1 y x 的零点个数为 1 个 故选 B x xxfxF 1 三 构造函数法解不等式 例例 1 1 函数 f x 的定义域为 R f 1 2 对任意 x R 则 f x 2x 4 的解集为 2fx A 1 1 B 1 C 1 D 解析 构造函数 G x f x 2x 4 所以 由于对任意 x R 2G xfx 2fx 所以 0 恒成立 所以 G x f x 2x 4 是 R 上的增函数 2G xfx 又由于 G 1 f 1 2 1 4 0 所以 G x f x 2x 4 0 即 f x 2x 4 的解集为 1 故选 B 变式 1 已知函数满足 且 则的解集为 Rxxf 1 1 f 2 1 xf 2 1 2 x xf A B C D 11 xx 1 xx 11 xxx或 1 xx 解析 构造新函数 则 1 22 x F xf x 11 1 1 1 10 22 Ff 对任意 有 即函数在 R 上单调递减 1 2 F xfx xR 1 0 2 F xfx F x 所以的解集为 即的解集为 选 D 0F x 1 2 1 2 x xf 1 变式 2 定义在R上的函数 f x 其导函数满足 且 23f 则关于x的不等式 fx 1fx 1f xx 的解集为 2 变式 3 已知函数为定义在上的可导函数 且对于任意恒成立 且 f xR f xfx xR 1 fe 则的解集为 1 x f x e 1 变式 4 函数的定义域是 对任意 则不等式 xfR2 0 fRx 1f xfx 的解集为 A 1 xx exfe A B C D 0 xx0 xx 1 x 1xx 或 101 xxx或 例例 2 设是定义在 R 上的奇函数 且 当时 有恒成立 则不等 f x 2 0f 0 x 2 0 xfxf x x 式的解集是 2 0 x f x 解 因为当 x 0 时 有恒成立 即 0 恒成立 2 0 xfxf x x f x x 6 所以在内单调递减 f x x 0 因为 所以在 0 2 内恒有 在内恒有 2 0f 0f x 2 0f x 又因为是定义在 R 上的奇函数 f x 所以在内恒有 在内恒有 2 0f x 2 0 0f x 又不等式的解集 即不等式的解集 所以答案为 0 2 2 0 x f x 0f x 2 变式变式 1 1 已知定义在上的可导函数 其导函数为 且有 则不等式 0 fx 2 2 f xxfxx 的解集为 C C 0 2 4 2014 2014 2 fxfx A B C D 2012 02012 2016 02016 变式变式 2 2 函数的定义域为 R 对任意 x R 都有成立 则不等式 f x 2 2016f 2fxx 的解集为 C C 2 2012f xx A B C D 2 2 2 2 变式 3 设是定义在上的函数 其导函数为 若 则 xfy R fx 1f xfx 0 2017f 不等式的解集为 D 2016 xx f x ee A B C D 2016 0 2016 0 0 0 变式 4 函数是定义在上的偶偶函数 且时 则不等式 xfR0 2 f0 x 0f xxfx 的解集是解集是 提示 构造的为奇函数 0 xxf 2 0 2 g xxf x 0 0f 例例 4 设是上的可导函数 则不等式 f xg x R 0fx g xf x g x 3 0g 的解集为 0f x g x 3 变式变式 1 1 设分别是定义在上的奇函数 偶函数 当时 f xg x R0 x 则不等式的解集为 0fx g xf x g x 3 0g 0f x g x 3 0 3 变式变式 2 2 已知上的函数满足 且 若R f xg x x f x a g x fx g xf x g x 则关于的不等式的解集为 1 1 5 1 1 2 ff gg xlog1 a x 1 0 2 变式 3 设奇奇函数定义在上 xf 0 0 7 其导函数为 且 当时 则关于的不等式 fx 0 2 f x0 sincos0fxxf xx x 的解集为 f x 2sin 6 fx 0 66 提示 构造的为偶函数 sin f x g x x 四 构造函数法求值 例例 1 设是上的可导函数 且 则的值为 f xR fxf x 0 1f 2 1 2 f e 1 f 提示 由得 所以 即 fxf x 0fxf x 0 xx e fxe f x 0 x e f x 设函数 则此时有此时有 x F xe f x 1 2 0 1FF 故 1 x F xe f x 1 1 f e 变式变式 已知的导函数为 当时 且 若存在 使 f x fx0 x 2 f xxfx 1 1f xR 则的值为 1 提示 构造 2 f xx x 2 f x g x x 例例 2 已知定义在上的函数满足 且 R f xg x x f x a g x fx g xf x g x 若有穷数列的前项和等于 则等于 5 1 1 5 1 1 2 ff gg f n nN g n n 31 32 n 解 fx g xf x g x 2 g g 0 f xfxxf xx g xgx 即函数单调递减 0 a 1 又 x f x a g x 1 1 5 1 1 2 ff gg 即 解得或 a 2 舍去 15 2 a a 1 2 a 即 1 2 x f x g x n 1 n 2 n f g 数列是首项为 公比的等比数列 1 2 n 1 1 2 a 1 2 q 由 解得 n 5 1 1 2 n n S 131 1 232 n n S 变式变式 1 1 已知 都是定义在 R 上的函数 且 xf xg0 xg fxg xf x g x 8 xgaxf x 且 若数列的前项和大于 62 则的最小值为 A 0 a1 a 2 5 1 1 1 1 g f g f ng nf nn A 8 B 7 C 6 D 5 变式 2 已知 都是定义在 R 上的函数 f x g x 0fx g xf x g x x f x g xa 在区间上随机取一个数 的值介于 4 到 8 之间的概率 5 1 1 1 1 2 fgfg 3 0 x f x g x 是 A B