高三数学第一轮复习单元讲座 第26讲 平面向量的数量积及应用教案 新人教版

专心 爱心 用心1 普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书 数学数学 人教版人教版 高三新数学第一轮复习教案 讲座高三新数学第一轮复习教案 讲座 2626 平面向量的数量积及平面向量的数量积及 应用应用 一 课标要求 一 课标要求 1 平面向量的数量积 通过物理中 功 等实例 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 体会平面向量的数量积与向量投影的关系 掌握数量积的坐标表达式 会进行平面向量数量积的运算 能运用数量积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 2 向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题 力学问题与其他一些实际问题的过 程 体会向量是一种处理几何问题 物理问题等的工具 发展运算能力和解决实际问题 的能力 二 命题走向二 命题走向 本讲以选择题 填空题考察本章的基本概念和性质 重点考察平面向量的数量积的 概念及应用 重点体会向量为代数几何的结合体 此类题难度不大 分值 5 9 分 平面向量的综合问题是 新热点 题型 其形式为与直线 圆锥曲线 三角函数等 联系 解决角度 垂直 共线等问题 以解答题为主 预测 07 年高考 1 一道选择题和填空题 重点考察平行 垂直关系的判定或夹角 长度问题 属于中档题目 2 一道解答题 可能以三角 数列 解析几何为载体 考察向量的运算和性质 三 要点精讲三 要点精讲 1 向量的数量积 1 两个非零向量的夹角 已知非零向量a与a 作 则 A A 叫与OAaOBba 的夹角 b 说明 1 当 时 与同向 ab 2 当 时 与反向 ab 3 当 时 与垂直 记 2 abab 专心 爱心 用心2 4 注意在两向量的夹角定义 两向量必须是同起点的 范围 0 180 2 数量积的概念 已知两个非零向量与 它们的夹角为 则 cos叫做a b a b a b 与的数量积 或内积 规定 a b 00a 向量的投影 cos R 称为向量在方向上的投影 投影的绝对b a b a b a 值称为射影 3 数量积的几何意义 等于的长度与在方向上的投影的乘积 a b a b a 4 向量数量积的性质 向量的模与平方的关系 22 a aaa 乘法公式成立 2 2 22 abababab 2 22 2abaa bb 2 2 2aa bb 平面向量数量积的运算律 交换律成立 a bb a 对实数的结合律成立 aba babR 分配律成立 abca cb c cab 向量的夹角 cos cos a b a b ab 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx 当且仅当两个非零向量与同方向时 00 当且仅当与反方向时a b a b C 专心 爱心 用心3 1800 同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 0 5 两个向量的数量积的坐标运算 已知两个向量 则 1122 ax ybxy a b 1212 x xy y 6 垂直 如果与的夹角为 900则称与垂直 记作 a b a b a b 两个非零向量垂直的充要条件 O 平面向a b a b 0 2121 yyxx 量数量积的性质 7 平面内两点间的距离公式 设 则或 yxa 222 yxa 22 yxa 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为 那么a 11 yx 22 yx 平面内两点间的距离公式 2 21 2 21 yyxxa 2 向量的应用 1 向量在几何中的应用 2 向量在物理中的应用 四 典例解析四 典例解析 题型 1 数量积的概念 例 1 判断下列各命题正确与否 1 00a 2 00a 3 若 则 0 aa ba c bc 4 若 则当且仅当时成立 a ba c bc 0a 5 对任意向量都成立 a bcab c a b c 6 对任意向量 有 a 2 2 aa 解析 1 错 2 对 3 错 4 错 5 错 6 对 点评 通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系 重点清楚 为零向量 而为零 a 0a 0 专心 爱心 用心4 例 2 1 2002 上海春 13 若 为任意向量 m R R 则下列等式不一定abc 成立的是 A B cbacba cbcacba C m m m D ba ab cbacba 2 2000 江西 山西 天津理 4 设 是任意的非零平面向量 且相互abc 不共线 则 abccab 0ababbca 不与垂直cabc 3 2 3 2 9 2 4 2中 是真命题的有 ababab A B C D 解析 1 答案 D 因为 而cbacba cos 而方向与方向不一定同向 acbcba cos ca 2 答案 D 平面向量的数量积不满足结合律 故 假 由向量的减法运算可 知 恰为一个三角形的三条边长 由 两边之差小于第三边 故 abab 真 因为 bcacab 0 所以垂直 故 假 3 2 cbcaccabcab 3 2 9 4 9 2 4 2成立 故 真 abaabbab 点评 本题考查平面向量的数量积及运算律 向量的数量积运算不满足结合律 题型 2 向量的夹角 例 3 1 06 全国 1 文 1 已知向量 满足 且 ab1 a4 b2 ba 则与的夹角为 ab A B C D 6 4 3 2 专心 爱心 用心5 2 06 北京文 12 已知向量 cos sin cos sin 且a b a 那么与的夹角的大小是 bba ba 3 已知两单位向量与的夹角为 若 试求与a b 0 1202 3cab dba c 的夹角 d 4 2005 北京 3 1 2 且 则向量与的夹角abcabcaab 为 A 30 B 60 C 120 D 150 解析 1 C 2 2 3 由题意 且与的夹角为 1ab a b 0 120 所以 0 1 cos120 2 a ba b 2 cc c 2 2 abab 22 447aa bb 7c 同理可得 13d 而 c d 22 17 2 3 732 2 abbaa bba 设为与的夹角 c d 则 182 9117 1372 17 cos 4 C 设所求两向量的夹角为 cabca 2 0c aab aaa b 即 2 cosaab 2 1 cos 2 aa abb 所以120 o 专心 爱心 用心6 点评 解决向量的夹角问题时要借助于公式 要掌握向量坐标形式的 cos ba ba 运算 向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑 对于这个公 cosa bab 式的变形应用应该做到熟练 另外向量垂直 平行 的充要条件必需掌握 例 4 1 06 全国 1 理 9 设平面向量 的和 如 1 a 2 a 3 a0 3 21 aaa 果向量 满足 且顺时针旋转后与同向 其中 1 b 2 b 3 b 2 i i ab i a30o i b 则 1 2 3i A B 1 b 2 b 3 b0 1 b 2 b 3 b0 C D 1 b 2 b 3 b0 1 b 2 b 3 b0 2 06 湖南理 5 已知 且关于的方程有 0 2 bax0 2 baxax 实根 则与的夹角的取值范围是 ab A B C D 6 0 3 3 2 3 6 解析 1 D 2 B 点评 对于平面向量的数量积要学会技巧性应用 解决好实际问题 题型 3 向量的模 例 5 1 06 福建文 9 已知向量与的夹角为 则a b 120o3 13 aab 等于 b A 5 B 4 C 3 D 1 2 06 浙江文 5 设向量满足 则 a b c 0abc 1 2ab ab 2 c A 1 B 2 C 4 D 5 解析 1 B 2 D 点评 掌握向量数量积的逆运算 以及 Qb ba a cos 2 2 aa 专心 爱心 用心7 例 6 已知 3 4 4 3 求x y的值使 x y 且 x ya b a b a a 1 b 解析 由 3 4 4 3 有x y 3x 4y 4x 3y a b a b 又 x y x y 3 3x 4y 4 4x 3y 0 a b a a b a 即 25x 24y 又 x y 1 x y a b a b x 4y x 3y 整理得 25x 48xy 25y 即x 25x 24y 24xy 25y 由 有 24xy 25y 将 变形代入 可得 y 7 5 再代回 得 7 5 35 24 7 5 35 24 y x y x 和 点评 这里两个条件互相制约 注意体现方程组思想 题型 4 向量垂直 平行的判定 例 7 2005 广东 12 已知向量 且 则 3 2 a 6 xb ba x 解析 ba 1221 yxyx x362 4 x 例 8 已知 按下列条件求实数 4 3a 1 2b mab 2nab 的值 1 2 mn mn 3 mn 解析 4 32 mab 27 8nab 1 mn 082374 9 52 2 mn 072384 2 1 专心 爱心 用心8 3 mn 0884587234 222 22 5 1122 点评 此例展示了向量在坐标形式下的平行 垂直 模的基本运算 题型 5 平面向量在代数中的应用 例 9 已知 abcdacbd 2222 111 求证 分析 可以看作向量的模的平abcd 2222 11 dcybax 方 而则是 的数量积 从而运用数量积的性质证出该不等式 acbd xy 证明 设 dcybax 则 2222 dcybaxbdacyx 1 2222 dcbabdac yxyx 点评 在向量这部分内容的学习过程中 我们接触了不少含不等式结构的式子 如 等 ababababa ba ba b 例 10 已知 其中 ab cossincossin 0 1 求证 与互相垂直 ab ab 2 若与 的长度相等 求 k ab k ab k 0 解析 1 因为 ababaabbab 22 abab 22 222222 110 cossincossin 所以与互相垂直 ab ab 2 k abkk coscossinsin 专心 爱心 用心9 k abkk coscossinsin 所以 cosk abkk 2 21 cosk abkk 2 21 因为 k abk ab 所以 kkkk 22 2121 coscos 有 22kkcoscos 因为 故 k 0 cos 0 又因为 00 所以 2 点评 平面向量与三角函数在 角 之间存在着密切的联系 如果在平面向量与三 角函数的交汇处设计考题 其形式多样 解法灵活 极富思维性和挑战性 若根据所给 的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理 可使解题过程得到简化 从而提高解题 的速度 题型 6 平面向量在几何图形中的应用 例 11 2002 年高考题 已知两点 且点 P x y 使得 01 01 NM 成公差小于零的等差数列 MNMP NPNMPNPM 1 求证 0 3 22 xyx 2 若点 P 的坐标为 记与的夹角为 求 00 yx PM PN tan 解析 1 略解 由直接法得1 22 yxPNPM 0 3 22 xyx 2 当 P 不在 x 轴上时 专心 爱心 用心10 2 1 tan 2 1 sin 2 1 0 yMN PNPM PNPMS PMN 而2 21 1 1 2 0 2 00000 MNyxyxyxPMPN 所以 当 P 在 x 轴上时 上式仍成立 tan 0 y 0tan0 0 y y P M O N x 图 1 点评 由正弦面积公式 得到了三角形面积与数量积 tan 2 1 tancos 2 1 sin 2 1 bababaS 之间的关系 由面积相等法建立等量关系 例 12 用向量法证明 直径所对的圆周角是直角 已知 如图 AB 是 O 的直径 点 P 是 O 上任一点 不与 A B 重合 求证 APB 90 证明 联结 OP 设向量 则且 bOPaOA aOB baOPOAPA baOPOBPB 专心 爱心 用心11 0 a b abPBPA 2222 即 APB 90 PBPA 点评 平面向量是一个解决数学问题的很好工具 它具有良好的运算和清晰的几何 意义 在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用 题型 7 平面向量在物理中的应用 例 13 如图所示 正六边形 PABCDE 的边长为 b 有五个力 PDPCPBPA 作用于同一点 P 求五个力的合力 PE 解析 所求五个力的合力为 如图 3 所示 以 PA PE 为 PEPDPCPBPA 边作平行四边形 PAOE 则 由正六边形的性质可知 PEPAPOb PA PO 且 O 点在 PC 上 以 PB PD 为边作平行四边形 PBFD 则 由正六边形的 PDPBPF 性质可知 且 F 点在 PC 的延长线上 b3 PF 由正六边形的性质还可求得b2 PC 故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为 方向与的b6b3b2b PC 方向相同 五 思维总结五 思维总结 1 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1 两个向量的数量积是一个实数 不是向量 符号由 cos 的符号所决定 2 两个向量的数量积称为内积 写成 今后要学到两个向量的外积ab 专心 爱心 用心12 而 是两个向量的数量的积 书写时要严格区分 符号 在向量运算中aba b 不是乘号 既不能省略 也不能用 代替 3 在实数中 若a 0 且a b 0 则b 0 但是在数量积中 若 0 且a 0 不能推出 因为其中 cos 有可能为 0 a bb 0 4 已知实数a b c b 0 则ab bc a c 但是 a bb c ca 如右图 cos OA c c cos OA a ba bbbbba b 但 b cac 5 在实数中 有 但是 显然 这a b cab ca b cab c 是因为左端是与c共线的向量 而右端是与共线的向量 而一般与c不共线 aa 2 平面向量数量积的运算律 特别注意 1 结合律不成立 ab ca bc 2 消去律不成立不能得到 a ba c bc 3 0 不能得到 或 a b a 0 b 0 3 向量知识 向量观点在数学 物理等学科的很多分支有着广泛的应用 而它具有 代数形式和几何形式的 双重身份 能融数形于一体 能与中学数学教学内容的许多主 干知识综合