高中数学 第四章 二倍角的正弦 余弦 正切（3）教案

用心 爱心 专心1 二倍角的正弦 余弦 正切 二倍角的正弦 余弦 正切 3 3 教学目的 教学目的 要求学生能较熟练地运用公式进行化简 求值 证明 增强学生灵活运用 数学知识和逻辑推理能力 教学重点 教学重点 二倍角公式的应用 教学难点 教学难点 灵活应用和 差 倍角公式进行三角式化简 求值 证明恒等式 授课类型 授课类型 新授课 课时安排 课时安排 1 课时 教教 具具 多媒体 实物投影仪 教学过程教学过程 一 复习引入 一 复习引入 二倍角公式 cossin22sin 2 S 22 sincos2cos 2 C 2 tan1 tan2 2tan 2 T 1cos22cos 2 2 sin212cos 2 C 2 2cos1 sin 2 2cos1 cos 22 二 讲解新课 二 讲解新课 1 积化和差公式的推导 sin sin 2sin cos sin cos 2 1 sin sin sin sin 2cos sin cos sin 2 1 sin sin cos cos 2cos cos cos cos 2 1 cos cos cos cos 2sin sin 用心 爱心 专心2 sin sin 2 1 cos cos 2 和差化积公式的推导 若令 则 2 2 代入得 sin sin 2 1 22 sin 22 sin 2 1 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin2sinsin 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 sin2coscos 3 半角公式 cos1 cos1 2 tan 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin sin cos1 cos1 sin 2 tan 证 1 在 2 sin212cos 中 以 代 2 2 代 即得 2 sin21cos 2 2 cos1 2 sin 2 2 在 1cos22cos 2 中 以 代 2 2 代 即得 1 2 cos2cos 2 2 cos1 2 cos2 3 以上结果相除得 cos1 cos1 2 tan 2 4 2 tan 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin2 2 sin21 1 sin cos1 2 2 tan 2 cos 2 sin 1 2 cos21 2 cos 2 sin2 cos1 sin 2 用心 爱心 专心3 4 万能公式 2 tan1 2 tan2 tan 2 tan1 2 tan1 cos 2 tan1 2 tan2 sin 22 2 2 证 1 2 tan1 2 tan2 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin2 1 sin sin 222 2 2 tan1 2 tan1 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 1 cos cos 2 2 22 22 3 2 tan1 2 tan2 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin2 cos sin tan 222 三 讲解范例 三 讲解范例 例例 1 1 已知5 cos3sin cossin2 求 3cos 2 4sin 2 的值 解 5 cos3sin cossin2 cos 0 否则 2 5 5 3tan 1tan2 解之得 tan 2 原式 5 7 21 224 21 21 3 tan1 tan24 tan1 tan1 3 22 2 22 2 例例 2 2 已知 2 0 tan 3 1 tan 7 1 求 2 解 4 3 tan1 tan2 2tan 2 1 tan2tan1 tan2tan 2tan 又 tan2 0 tan 0 22 2 3 0 2 22 2 4 7 用心 爱心 专心4 例例 3 3 已知 sin cos 2 1 2 求 2 tan 和 tan 的值 解 sin cos 2 1 2 1 2 tan1 2 tan1 2 tan1 2 tan2 2 2 2 化简得 03 2 tan4 2 tan 2 72 2 12164 2 tan 2 22 0 2 tan 即72 2 tan 3 74 725 72 7410 724 72 1 72 2 2 tan1 2 tan2 tan 2 2 例例 4 4 已知 cos cos 2 1 sin sin 3 1 求 sin 的值 解 cos cos 2 1 2 1 2 sin 2 sin2 sin sin 3 1 3 1 2 sin 2 cos2 0 2 sin 2 3 2 tan 2 3 2 tan 13 12 4 9 1 2 3 2 2 tan1 2 tan2 sin 2 例例 5 5 求证 sin3 sin3 cos3 cos3 cos32 证 左边 sin3 sin sin2 cos3 cos cos2 2 1 cos4 cos2 sin2 2 1 cos4 cos2 cos2 2 1 cos4 sin2 2 1 cos2 sin2 2 1 cos4 cos2 用心 爱心 专心5 2 1 cos2 cos2 2 1 cos4 cos2 2 1 cos2 2 1 cos2 cos4 1 2 1 cos2 2cos22 cos32 右边 原式得证 四 课堂练习四 课堂练习 1 已知 为锐角 且 3sin2 2sin2 1 3sin2 2sin2 0 求证 2 2 证法 1 由已知得 3sin2 cos2 3sin2 2sin2 得 tan 2 2 tan 2 2 cos 2 2 sin 2sin 2cos 为锐角 0 2 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 证法 2 由已知可得 3sin2 cos2 3sin2 2sin2 cos 2 cos cos2 sin sin2 cos 3sin2 sin 2 3 sin2 3sin2 cos sin 3sin cos 0 又由 2 0 2 3 2 2 证法 3 由已知可得 2sin2sin3 2cossin3 2 2 用心 爱心 专心6 sin 2 sin cos2 cos sin2 sin 3sin2 2 3 cos sin2 3sin sin2 cos2 3sin 又由 得 3sin cos sin2 2 2 得 9sin4 9sin2 cos2 1 sin 3 1 即 sin 2 1 又 0 2 2 3 2 2 评述 一般地 若所求角在 0 上 则一般取此角的余弦较为简便 若所求角在 2 2 上 则一般取此角的正弦较为简便 当然 若已知条 件与正切函数关系比较密切 也可考虑取此角的正切 2 在 ABC中 sinA是 cos B C 与 cos B C 的等差中项 试求 1 tanB tanC的值 2 证明 tanB 1 tanC cot 45 C 1 解 ABC中 sinA sin B C 2sin B C cos B C cos B C 2sinBcosC 2cosBsinC 2cosBcosC cosBcosC 0 tanB tanC 1 2 证明 又由上 tan 1 tanC 1 tanC C C tan1 tan1 1 tanC tan 45 C 1 tanC cot 45 C 3 求值 140cos40cos2 40cos21 40sin 2 解 原式 40cos80cos 80sin40sin 40cos80cos 40cos40sin240sin 360tan 20cos60cos2 20cos60sin2 五 小结五 小结 通过这节课的学习 要掌握推导积化和差 和差化积公式 不 要求记 半角公式和万能公式的方法 要知道它们的互化关系另外 要注意半角公式的推导与正确使用 六 课后作业六 课后作业 1 如果 cos 5 1 2 5 3 则 sin 2 的值等于 用心 爱心 专心7 5 15 D 5 15 C 5 10 B 5 10 A 2 设 5 6 且 cos 2 a 则 sin 4 等于 2 1 D 2 1 C 2 1 B 2 1 A aaaa 3 已知 tan76 4 则 tan7 的值约为 15 8 D 17 8 C 417B 417A 4tan 12 cot 12 的值等于 5 已知 sinA cosA 1 0 则 tan 6 A 6 已知 tan tan 是方程 7 2 8 1 0 的两根 则 tan 2 7 设 25sin2 sin 24 0 且 是第二象限角 求 tan 2 x 8 已知 cos2 3 2 求 sin4 cos4 的值 9 求证 2 tan cos1 cos 2cos1 2cos 4cos1 4sinx x x x x x x 参考答案 1C 2D 3A 4 23 52 3 6 2 2 1