数学专业外文文献翻译

共 19 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业资料翻译 第 1 页 第 3 章 最小均方算法 3 1 引言 最小均方 least mean square 算法是一种搜索算法 它通过对目标函数进行适当LMS 的调整 1 2 简化了对梯度向量的计算 由于其计算简单性 算法和其他与之相LMS 关的算法已经广泛应用于白适应滤波的各种应用中 3 7 为了确定保证稳定性的收敛因 子范围 本章考察了算法的收敛特征 研究表明 算法的收敛速度依赖于输LMSLMS 入信号相关矩阵的特征值扩展 2 6 在本章中 讨论了算法的几个特性 包括在LMS 乎稳和非平稳环境下的失调 2 9 和跟踪性能 10 12 本章通过大量仿真举例对分析结 果进行了证实 在附录 B 的 B 1 节中 通过对算法中的有限字长效应进行分析 LMS 对本章内容做了补充 算法是自适应滤波理论中应用最广泛的算法 这有多方面的原因 算法LMSLMS 的主要特征包括低计算复杂度 在乎稳环境中的收敛性 其均值无俯地收敛到维纳解以及 利用有限精度算法实现时的稳定特性等 3 2 LMS 算法 在第 2 章中 我们利用线性组合器实现自适应滤波器 并导出了其参数的最优解 这 对应于多个输入信号的情形 该解导致在估计参考信号以时的最小均方误差 最优d k 维纳 解由下式给出 1 0 wR p 3 1 其中 且 假设和联合广义平稳过程 R E x T x kkp E d x kkd kx k 如果可以得到矩阵 R 和向量 p 的较好估计 分别记为和 则可以利用如 R k p k 下最陡下降算法搜索式 3 1 的维纳解 w 1 w g w kkk w w kp kR kk 3 2 其中 k 0 1 2 表示目标函数相对于滤波器系数的梯度向量估计值 g w k 共 19 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业资料翻译 第 2 页 一种可能的解是通过利用R和p的瞬时估计值来估计梯度向量 即 x x T R kkk x p kd kk 3 3 得到的梯度估计值为 2 x 2x x T w gkd kkkk w k 2x x T kd kk w k 2 x e kk 3 4 注意 如果目标函数用瞬时平方误差而不是MSE代替 则上面的梯度估计值代表了 2 e k 真实梯度向量 因为 2 010 2 2 2 T e ke ke ke k e ke ke k ww kw kw k 2 x e kk w gk 3 5 由于得到的梯度算法使平方误差的均值最小化 因此它被称为算法 其更新方程为LMS 1 2 x w kw ke kk 3 6 其中 收敛因子应该在一个范围内取值 以保证收敛性 图3 1表示了对延迟线输入的LMS算法实现 典型情况是 算法的每次迭x kLMS 代需要N 2次乘法 用于滤波器系数的更新 而且还需要N 1次乘法 用于产生误差信号 算法的详细描述见算法3 1LMS 共 19 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业资料翻译 第 3 页 图3 1 自适应RH滤波器LMS 算法 3 1 LMS 算法 Initialization x 0 0 000 Tw Do for 0k x T e kd kk w k 1 2 x w kw ke kk 需要指出的是 初始化并不一定要像在算法 3 1 小那样将白适应滤波器的系数被创始 化为零 比如 如果知道最优系数的粗略值 则可以利用这些值构成 w 0 这样可以减少 到达的邻域所需的迭代次数 0 w 共 19 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业资料翻译 第 4 页 3 3 LMS 算法的一些特性 在本节中 描述丁在平稳环境下与算法收敛特性相关的主要特性 这里给出的LMS 信息对于理解收敛因子对算法的各个收敛方面的影响是很重要的 LMS 3 3 1 梯度特性 正如第2章中所指出的 见式 2 79 在MSE曲面上完成搜索最优系数向量解的理想梯 度方向为 2 x x x T w gkEkk w kE d kk 2 Rw kp 3 7 在LMS算法中 利用R和p的瞬时估计值确定搜索方向 即 2 x x x T w gkkk w kd kk 3 8 正如所期望的 由式 3 8 所确定的方向与式 3 7 所确定的方向很不同 因此 当通过利 用算法计算更加有效的梯度方向时 收敛特性与最陡下降算法的收敛特性并不相同 LMS 从平均的意义上讲 可以说梯度方向具有接近理想梯度方向的趋势 因为对于LMS 固定购系数向量w 有 2 x x x T w E gkEkk wE d kk w g 3 9 因此 向量可以解释为的无偏瞬时估计值 在具有遍历件的环境中 如果对于g w k w g 一个固定的w 利用大量的输入和参考信号来计算向量 则平均方向趋近于 g w k w g 即 1 1 lim M ww M i gkig M 3 10 3 3 2 系数向量的收敛特性 假设一个系数向量为w 的未知FIR滤波器 被一个具备相同阶数的白适应FIR滤波器 利用算法进行辨识 在未知系统输出令附加了测量白噪声n k 其均值为零 方差LMS 为 2 n 共 19 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业资料翻译 第 5 页 在每一次迭代中 自适应滤波器系数相对于理想系数向量 的误差由 N 1 维向量 0 w 描述 0 w kw kw 3 11 利用这种定义 算法也可以另外描述为LMS 1 2 x w kw ke kk 0 2 x x x TT w kkk wk w k 0 2 x x T w kk ekw k 0 2 x x 2 x T Ikkw ke kk 3 12 其中 为最优输出误差 它由下式给出 0 e k 00 x T e kd kwk 00 x x TT wkn kwk n k 3 13 于是 系数向量中的期望误差为 0 1 2 x x 2 x T Ew kEIkkw kE e kk 3 14 假设的元素与和的元素统计独立 则式 314 可以简化为x k w k 0 e k 1 2 x x T Ew kIEkkEw k 2 IR Ew k 3 15 如果我们假设参数的偏差只依赖于以前的输入信号向量 则第一个假设成立 而在第二个 假设中 我们也考虑了最优解对应的误差信号与输入信号向量的元素正交 由上述表达式 可得 1 1 2 0 k Ew kIREw 3 16 如果将式 3 15 左乘 其中 Q 为通过一个相似变换使 R 对角化的酉矩阵 则可以得到QT 1 2 TTT E Qw kIQ RQ E Qw k 1 Ew k 2 IEw k 共 19 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业资料翻译 第 6 页 0 1 1 200 01 2 001 2 N Ew k 3 17 其中 为旋转系数误差向量 应用旋转可以得到一个产生对角 1 1 T w kQw k 矩阵的方程 从而更加易于分析方程的动态特性 另外 上述关系可以表示为 1 1 2 0 k Ew kIEw 1 0 1 1 1 1 2 00 0 1 2 0 00 1 2 k k k N Ew 3 18 该方程说明 为了保证系数在平均意义上收敛 LMS 算法的收敛因子必须在如下范围内 选取 max 1 0 3 19 其中 为 R 的最大持征值 在该范围内的值保证了当时 式 3 18 中对角 max k 矩阵的所有元素趋近于零 这是因为对于 0 l N 有 因此 i1 1 2 1 i 对于较大的 k 值 趋近于零 1 Ew k 按照上述方法选取的值确保了系数向量的平均值接近于员优系数向量比该指出 0 w 的是 如果矩阵 R 具有大的特征值扩展 则建议选择远小于上界值 因此 系数的收 敛速度将主要取决于最小特征值 它对应于式 3 18 中的最慢模式 上述分析中的关键假设是所谓的独立件理论 4 它考虑了当0 1 k 时 所i 有向量均为统计独立的情况 这个假设允许我们考虑在式 3 14 中独立于 x i w k 尽管在由延迟线元素组成时 这个假设并不是非常有效 但是由它得 x T x kkx k 到的理论结果与实验结果能够很好地吻合 3 3 3 系数误差向量协方差矩阵 在本节中 我们将推导得出自适应滤波器系数误差的二阶统计量表达式 由于对于大 的值 的平均值为零 因此系数误差向量的协方差的定义为k w k 共 19 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业资料翻译 第 7 页 00 cov TT w kEw kwkEw kww kw 3 20 将式 3 12 代人式 3 20 可以得到 cov 1 2 x x 2 x x TTTT w kEIkkw kwkIkk 0 2 x x 2 x TT Ikkw ke kk 0 2 x 2 x x TTTT e kkwkIkk 22 0 4 x x T ekkk 3 21 考虑到独立于且正交于 因此上式中右边第二项和第三项可以消除 0 e k w k x k 可以通过描述被消除的矩阵的每一个元素来说明这种简化的详细过程 在这种情况下 cov 1 cov 2 x x TT w kw kEkkw kwk 2 x x TT w kwkkk 2 4x x TT kkw kwk 22 0 4 x x T ekkk 3 22 另外 假设独立于 则式 3 22 可以重新写为 w k x k cov 1 cov 2 x x TT w kw kEkk Ew kwk 2 x x TT Ew kwk Ekk 2 4E x x TT kkw kwk 22 0 4 x x T E ekkk cov 2cov w kRw k 222 2 cov 44 n w k RAR 3 23 计算式包括了四阶矩 对于联合高斯输人E x x x x TTT Akk Ew kwkkk 信号样值 可以采用文献 4 13 中描述的方法 通过将算子中的矩阵展开而得到结E 果 其结果是 2 cov cov ARw k RRtr Rw k 3 24 其中 表示的迹 为了计算采用 LMS 算法时梯度燥声估计所引起的额外 式tr MSE 3 23 是必要的 由于式 3 23 中最后一项为动态矩阵方程提供了激励 因此当 共 19 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业资料翻译 第 8 页 时 不会趋近于零 k cov 1 w k 式 3 23 的更加有用的形式可以通过对其分别左乘和右乘 Q 来得到 于是有QT cov 1 cov TT Qw kQQw k Q 2cov TT Q RQQw k Q 2cov TT Qw k QQ RQ 2 8cov TTT Q RQQw k QQ RQ 2 4 cov TTT Q RQQ tr RQQw kQ 22 4 T nQ RQ 3 25 其中 利用了恒等式根据对于任意 B 成立的事实 Q Q QQ TT I Q tr B Q tr Q BQ I TT 有 cov 1 cov 2cov 2 cov w kw kw kw k 2 2 22 8cov 4 cov 4 n w ktrw k 3 26 其中 cov TT w kE Qw kwk Q 正如将要在 3 3 6 节中证明的 在 LMS 算法中 只有对角元素对额 cov w k 外有贡献 如果定义为其元素由的对角元素组成的向量 且MSE v k cov w k 为 R 的特征值组成的向量 则根据上述方程可以导出如下关系 222 22 1 484 4 T n v kIv k 22 4 n Bv k 3 27 其中 B 的元素为 2222 2 1 484 4 iii ij ij forij b forij 3 28 收敛因于必须在保证收敛朗某个范围内取值 由于矩阵 B 是对称的 因此它只具 v k 有非负特征值 另外 由于 B 的所有元素也是非负值 因此 B 的任意行元素之和的最大 值代表了 B 的最大特征值的上界 参见文献 14 第 63 页 其结果是 保证收敛的充分条 件是迫使 B 的任意行元素和保持在范围以内 因为 0 01 N jij b 共 19 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业资料翻译 第 9 页 2222 00 1 484 NN ijiiij jj b 3 29 所以的关键值的选取必须使上式接近于 1 因为对于任意 该表达式总是为正 这只 有在式 3 29 中最后三项接近于零时才会发生 也就是说 222 0 4840 N iiij j 经过简单的处理 可以得到如下稳定性条件 max 00 111 0 2 NN jj jj tr R 3 30 其中 最后一个比较简单的表达式是在实际中应用得比较广泛的 我们将在后面的式 3 47 中指出 控制厂 MSE 的收敛速度 从实际的观点来看 这里得到的的上界是很重要的 因为它给出了为实现系数收敛 应该选用的的最大值 然而 应该提醒读者的是 这里给出的上界在某种程度上讲是比 较乐观的 因为在推导过程中利用了一些近似关系和假设 在大多数情况下 值的选取 不应该接近于上界 3 3 4 误差信号的特性 本节在考虑了未知系统模型为无限冲激响应且存在测量噪声的情况下 计算了自适应 滤波器输出误差信号的均值 当考虑了加性测量噪声以后 误差信号出下式结出 x T e kd kwkkn k 3 31 其中 为没有测量噪声时的期望信号 对于给定的已知输入向量 误差信 d kx k 号的期望 x T E e kE d kE wkkE n k 0 x T E d kwkE n k 3 32 其中 是最优解 即系数向量的维纳解 注意 在上式中假设输入信号向量是已知的 0 w 这是为了便于在自适应滤波器收敛到最优解时 揭示出我们所期望的内容 如果是 d k 通过一个无限冲激响应系统产生的 则由于采用了不充分模型 自适应 FIR 滤波器采用的 系数数目不充足 因此减去前面两项后存在着残留误差 即 共 19 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业资料翻译 第 10 页 1 i N E e kEh i x kiE n k 3 33 在上式中 其中 为产生没有被自适应滤波器辨识出的部分的 h i1 iN d k 随机过程的系数 如果输入信号和 n k 具有零均值 则 0E e k 3 3 5 最小均方误差 在本节中 针对不充分模型 undermodeling 情形 在加性噪声环境下计算了最小均方 误差 minimum mean square error 对于系统辨识问题 假设仍然考虑自适应滤波MSE 器的系数少于未知系统系数这种不充分模型情况 此时可以写出 x T d khkn k 0 x x T T k whn k k 3 34 其中 为包含未知系统冲激响应的前面 N 1 个系数的向量 则包含了 h 的剩余向量 0 w h 具有 N 1 个系数的自适应滤波锯的输出信号出下式给出 x T y kwkk 在这种情况下 具有如下表达形式 MSE 2 0 2x x 2 x T TTT E dkwk wkkh xk wkk 2 2 x x TT wkk n kwkk 2 0 x x 2 0 x T TTT k k E dkwkwh xk k 2 2 x x TT wkk n kwkk 0 2 2 0 TTT w E dkwkRwk Rw k h 3 35 其中 x T T k RExkxk xk 共 19 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业资料翻译 第 11 页 且是元素全部为零的无限长向量 通过计算相对于自适应滤波器系数的导数 可以0 得到 参见式 2 79 和式 2 125 的推导过程 0 11 001 1 N N w w wR trunc pR trunc R h 1 1 NR trunc R h 3 36 其中 表示由 a 的前面 N 1 个元素产生的向量 应该注意的是 式 3 35 和 1 Ntrunc a 式 3 36 的结果与算法无关 当假设输入信号是与加性噪声信号无关的白噪声时 可以根据式 3 35 得到 MSE 即 2222 minmin 1 i N E e kh i E xkiE n k 222 1 Xn i N h i 3 37 当假设自适应滤波器乘积系数固定于其最优值时 可以实现最小误差 参考式 2 125 中 的类似讨论 在自适应滤波器具有充分阶数 可以模拟产生的过程的情况下 能够 d k 实现的最小等于加性噪声的方差 即 读者应该注意的是 本小节中所讨论的MSE 2 n 非充分模型的影响会产生相对于的额外 2 n MSE 3 3 6 额外 MSE 和失调 上一节的结果假设了自适应滤波器系数收敛到其最优值 但实际上并不是这样 尽管 系数向量平均收敛到 但由噪声梯度估计引起的瞬时偏差会产生额 0 w 0 w kw kw 外 额外可以利用本节巾描述的方法进行度量 在第时刻的输出误差为MSEMSEk 0 x TT e kd kwkwk x k 0 T e kwk x k 3 38 于是 22 0 TT e kekwk x kwk x kw k 3 39 所谓的独立性理论假设向量对于所有值都是统计独立的 允许对 LMS 算法进行简x kk 共 19 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业资料翻译 第 12 页 单的数学处理 正如前面提到的 这个假设通常是不成立的 对由延迟线几素组成x k 的情形来说尤为如此 然而 即使在这种情况下 分析和实验结果的一致也可以说明采用 独立性假设是合理的 在独立性假设条件下 可以考虑是独立于的 因为在 w k x k 确定时只包含了以前的输入向量 利用这个假设 并对式 3 39 应用期望值运算 w k 有 2 kE e k min0 2 x x x TTT Ewk E e kkEwkkkw k min0 2 x x x TTT Ewk E e kkE trwkkkw k min0 2 x x x TTT Ewk E e kkE trkkw kwk 3 40 在上面的第四个等式中 利用了特性 上式中最后一项可以重新写为tr A B tr B A x x TT tr Ekk Ew kwk 因为 且由正交原理有 因此上式可以简化为R E x T x kk 0 E 0e k x k min T kEwk R w k 3 41 于是额外为MSE min T kkEwk R w k T E tr R w kwk T tr E R w kwk 3 42 通过利用的事实 可以得到如下关系 Q Q I T TTTT ktr E QQ RQQw kwk QQ cov T tr Qw k Q 3 43 因此 cov ktrw k 3 44 根据式 3 27 可以证明 0 N T ii i kv kv k 3 45 共 19 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业资料翻译 第 13 页 因为 22 2 22 1 0 1 48 4 4 N iiiiijjni j vkv kvk 3 46 且对于大的 k 值 有 可以对上式进行求和处理 以便得到 1 ii v kv k 22 00 0 0 2 1 NN N niii ii jjN j i i v k vk 2 0 0 1 N ni i N i i 2 1 ntr R tr R 3 47 其中 与分子的剩余部分相比是很小的 该假设不太容易证明 但它对 2 0 2 N jii v k 于较小的值是有效的 于是 额外 MSE 可以表示为 2 lim 1 n exc k tr R k tr R 3 48 对于小的值 上式可以近似为 222 1 excnnx tr RN 3 49 其中为输人信号方差 为加性噪声方差 2 x 2 n 失调 M 的定义为和最小之间的比值 该参数常常用于比较不同自适应信号 exc MSE 处理算法 对于 LMS 算法 失调由下式给出 min 1 exc tr R M tr R 3 50 3 3 7 瞬态特性 算法在达到稳态特性以前 已在瞬态部分耗去了很多次迭代 在这段时间里 LMS 自适应滤波器系数和输出误差从其韧始值变比到接近于对应的最优解值 对于白适应滤波器系数 平均收敛将遵循比值为的 N l 几何衰减曲线 1 2 uii r 共 19 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业资料翻译 第 14 页 每一条曲线都可以由一个时间常数为的指数包络近似如下 见式 3 18 wi 1 2 11 1 2 wi r wi wiwi re 3 51 其中 对于每次迭代 指数包络中的衰减等于原始几何曲线中的衰减 通常情况下 比 1 略小 尤其是对对应于小的和的慢衰减模式来说 因此 uc r i 1 1 2 1 wii wi r 3 52 于是 1 2 wi i 对于成立 注意 为了保证抽头系数在平均意义上收敛 必须在范围0 1 iN 见式 3 19 内取值 max 01 按照式 3 30 对于的收敛 的取值范围是 考虑到MSE 01 tr R 项相对于矩阵 B 的剩余项很小 可以根据式 3 27 中的矩阵 B 计算出对应的时问常 2 数 在这种情况下 几何衰减曲线的比值为 它可以与具有如下时间常数 1 4 eii r 的指数包络相匹配 1 4 ei i 3 53 其中 误差和系数收敛所需的时间取决于输入信号相关矩阵持特征值的比0 1 iN 值 回到抽头系数的情形 如果选取的值与接近 则对应的系数的时间常数为 max 1 maxmax min 22 wi i 3 54 由于具有最大时间常数的模式需要更长时间才能达到收敛 因此收敛速率是由根据 确定的最慢模式决定的 假设当最慢模式提供的衰减为 100 时 可认 max maxmin 2 w 为实现了收敛 即 max 0 01 k e 共 19 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业资料翻译 第 15 页 这需要经过如下多次迭代以后才能达到收敛 max min 4 6 2 k 因为选取的值较高 所以上述情形是比较乐观的 正如前面所提到的 实际上我们选择 的值应该比上界小得多 对于特征值扩展近似为 1 的情况 按照式 3 30 选择的 值应该小于 在这种情况下 算法将至少需要 max 1 3 N LMS max min 3 4 62 3 3 2 N kN 次迭代才能实现系数的收敛 本节给出的分析结果对于平稳环境是有效的 算法也可以在非平稳环境下工LMS 作 这将在下节个进行讨论 3 4 非平稳环境下的 LMS 算法特性 在实际情形下 自适应滤波器所处的环境可能是非平稳的 此时 输入信号白相关矩 阵和 或 互相关向量 分别记为 R k 和 p k 将是随时间变化的 因此 系数向量的最优解 也是一个时变向量 用表示 0 w k 由于最优系数向量不是固定的 因此分析算法是否能够跟踪的变化是很LMS 0 w k 重要的 知道由给出的系数的跟踪误差将如何影响输出 也是很有 0 E w kw k 意义的 后面将会指出 跟踪时引起的额外可以与测量噪声引起的额外 0 w kMSE 分离 因此 为不失一般性 在后面的分析中将考虑加性噪声为零的情形 MSE 在算法中 系数向量的更新可以写为如下形式 LMS 1 2 x w kw kk e k 2 x x T w kk d kk w k 3 55 因为 0 x T d kk w k 3 56 因此系数的更新可以表示为 0 1 2 x x x TT w kw kkk w kk w k 3 57 现在假设已经建立了非平稳自适应辨识过程的全体 ensemble 其中每一次实验中的输入 信号都是从相同的随机过程中取出的 我们认为输入信号是平稳的 并义是退出过程 这 共 19 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业资料翻译 第 16 页 个假设将导致固定的 R 矩阵 而且非平稳性是由输入信号应用到时变系统后产生的期望 信号所引起的 根据这些假设 对全体应用期望值计算 每次实验中的系数更新由式 3 59 给出 并且假设 w k 是独立于 x k 的 则得到 0 1 2 x x 2 x x TT E w kE w kEkk w kEkk E w k 0 2 E w kR w kE w k 3 58 如果将系数向量中的滞后定义为 0 lw kE w kw k 3 59 则式 3 60 可以重新写为 00 1 2 1 lw kIR lw kw kw k 3 60 为了简化分析 对上式左乘 得到一个去耦合的方程组QT 00 1 2 1 l w kIl w kwkwk 3 61 其中 带有上标的向量为投影到变换空间中的原始向量 正如所看到的 滞后误差向量的 每 个元素是由如下关系确定的 1 2 1 iiioioi l w kIl kwkwk 3 62 其中 为的第 i 个元素 通过正确地解释上述方程 我们可以说滞后是通过将 l k w lk 变换后的瞬时最优系数应用到一阶离散滤波器而产生的 该滤波器称为滞后滤波器 记为 即 i L z 1 12 ioiioi i z L zwzL z Wz z 3 63 离散滤波器瞬时响应以指数包络的时间常数收敛 由下式给出 1 2 i i 3 64 当然 对于每个抽头系数而言 其时间常数是不同的 因此 算法中系数的跟踪能LMS 力依赖于输入信号相关矩阵的特征值 自适应滤波器系数的滞后 延迟 将导致额外 为了计算出额外 假设最优MSEMSE 系数向量的每一个元素都用一个一阶马尔可夫过程来建模 这种非平稳情形可以视为真实 情形的某种程度的简化 然而 这种情形便于在保留复杂情形的本质的基础上进行数学分 析 一阶马尔可夫过程可以描述为 共 19 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业资料翻译 第 17 页 1 owow w kw knk 3 65 其中 是一个向量 其元素是零均值 方差为的白噪声过程 并且 w nk 2 w 注意 因为最优系数值的变化 当时 必须比自1 w 0 1 iN 1 2 1 iw 适应滤波器的跟踪速度更慢 即时 当时 这个模型不能代表一个 11 21 w 1 w 真实系统 因为如果不是准确的零均值过程 则的元素将是无界的 更 w nk 0 cov w k 加现实的模型应该包括一个因子 其中 将该因子与相乘以保证 2 1 p w 1p w nk 是有界的 c 在后面的讨论中 将不会考虑这种情况 因为对应的结果很容易 0 cov w k 导出 见习题 10 根据式 3 64 和式 3 65 可以推断出滞后误差向量元素是通过对未知系统系数向 量应用一阶离散系统而产生的 两者都在变换空间中 另一方面 未知系统的系数是通过 将噪声向量 的每个元素应用到一个一阶全极点滤波器而产生的 其极点位于 w nk w 对于采用上述模型的未知系数向量 滞后误差向量的元素可以通过将变换后的噪声向量 的每个元素应用到一个离散滤波器而产生 滤波器的传输函数为 Q T ww nknk 1 12 i iw zz H z zz 3 66 这个传输函数是由滞后滤波器和表示一阶马尔可夫过程的全极点滤波器的级联组成 i L z 的 如图 3 2 所示 利用逆 变换 则可以通过下式计算出向量的元素的方差 w lk 2121 1 2 iiiw E l w kH z H zz dz j A 11 12 12 11 iw wiwiwiw 3 67 如果认为的值很接近于 1 则可以将上式简化为 w 2 2 4 1 w i ii E l w k 3 68 共 19 页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业资料翻译 第 18 页 i w nk i Lz w z z i lk 图 3 2 非平稳环境下的滞后模型 自适应滤波器系数向量相对于最优系数滤波器的任何误差都会产生额外 见式MSE 3 43 由于滞后是自适应滤波器系数的一种误差源 因此由于滞后产生的额外为MSE T