4-3-3圆与扇形.题库教师版

DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 quati 研究圆 扇形 弓形与三角形 矩形 平行四边形 梯形等图形组合而成的不规则图形 通过变动图形的位 置或对图形进行分割 旋转 拼补 使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积 圆的面积 扇形的面积 2 r 2 360 n r 圆的周长 扇形的弧长 2 r 2 360 n r 一 跟曲线有关的图形元素 扇形 扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形 扇形是圆的一部分 我们经常说 的圆 圆 圆等等其实都是扇形 而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几 1 2 1 4 1 6 分之几 那么一般的求法是什么呢 关键是 360 n 比如 扇形的面积所在圆的面积 360 n 扇形中的弧长部分所在圆的周长 360 n 扇形的周长所在圆的周长2半径 易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长 360 n 弓形 弓形一般不要求周长 主要求面积 一般来说 弓形面积扇形面积 三角形面积 除了半圆 弯角 如图 弯角的面积正方形 扇形 谷子 如图 谷子 的面积弓形面积 2 EMBED DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 二 常用的思想方法 转化思想 复杂转化为简单 不熟悉的转化为熟悉的 等积变形 割补 平移 旋转等 借来还去 加减法 外围入手 从会求的图形或者能求的图形入手 看与要求的部分之间的 关系 板块一 平移 旋转 割补 对称在曲线型面积中的应用 例例 1 下图中每一个小正方形的面积是下图中每一个小正方形的面积是 1 平方厘米 那么格线部分的面积是多少平方厘米 平方厘米 那么格线部分的面积是多少平方厘米 解析 割补法 如右图 格线部分的面积是 36 平方厘米 巩固巩固 下图中每一个小正方形的面积是下图中每一个小正方形的面积是 1 平方厘米 那么格线部分的面积是多少平方厘米 平方厘米 那么格线部分的面积是多少平方厘米 解析 割补法 如右图 格线部分的面积是 36 平方厘米 例例 2 如图 在如图 在 188 的方格纸上 画有的方格纸上 画有 1 9 9 8 四个数字 那么 图中的阴影面积占整个方格纸面四个数字 那么 图中的阴影面积占整个方格纸面 积的几分之几 积的几分之几 DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 解析 我们数出阴影部分中完整的小正方形有 8 15 15 1654 个 其中部分有 6 6 820 个 部分有 6 6 820 个 而 1 个 和 1 个 正好组成一个完整的小正方形 所以阴影部分共包含 54 2074 个 完整小正方形 而整个方格纸包含 818144 个 完整小正方 形 所以图中阴影面积占整个方格纸面积的 即 74 144 37 72 巩固巩固 在在 4 7 的方格纸板上面有如阴影所示的的方格纸板上面有如阴影所示的 6 字 阴影边缘是线段或圆弧 问阴影面积占纸板面积字 阴影边缘是线段或圆弧 问阴影面积占纸板面积 的几分之几 的几分之几 解析 矩形纸板共 28 个小正方格 其中弧线都是圆周 非阴影部分有 3 个完整的小正方形 其余部分 1 4 可拼成 6 个小正方格 因此阴影部分共 28 6 3 19 个小正方格 所以 阴影面积占纸板面积的 19 28 例例 3 2007 年西城实验考题年西城实验考题 在一个边长为在一个边长为 2 厘米的正方形内 分别以它的三条边为直径向内作三个半厘米的正方形内 分别以它的三条边为直径向内作三个半 圆 则图中阴影部分的面积为圆 则图中阴影部分的面积为 平方厘米平方厘米 解析 采用割补法 如果将阴影半圆中的 2 个弓形移到下面的等腰直角三角形中 那么就形成两个相同的 等腰直角三角形 所以阴影部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积和 即正方形面积的一半 所以阴影部分的面积等于平方厘米 2 1 22 2 巩固巩固 如图 在一个边长为如图 在一个边长为 4 的正方形内 以正方形的三条边为直径向内作三个半圆 求阴影部分的面的正方形内 以正方形的三条边为直径向内作三个半圆 求阴影部分的面 积 积 DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 解析 阴影部分经过切割平移变成了一个面积为正方形一半的长方形 则阴影部分面积为 4428 例例 4 人大附中分班考试题人大附中分班考试题 如图 正方形边长为如图 正方形边长为 1 正方形的 正方形的 4 个顶点和个顶点和 4 条边分别为条边分别为 4 个圆的圆心和个圆的圆心和 半径 求阴影部分面积 半径 求阴影部分面积 取取 3 14 解析 把中间正方形里面的 4 个小阴影向外平移 得到如右图所示的图形 可见 阴影部分的面积等于四 个正方形面积与四个的扇形的面积之和 所以 90 22 1 4 4444 1 14 7 14SSSSS AA圆阴影 圆 例例 5 图中的图中的 4 个圆的圆心是正方形的个圆的圆心是正方形的 4 个顶点 它们的公共点是该正方形的中心 如果每个圆的半径都个顶点 它们的公共点是该正方形的中心 如果每个圆的半径都 是是 1 厘米 那么阴影部分的总面积是多少平方厘米 厘米 那么阴影部分的总面积是多少平方厘米 解析 如下图所示 可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形 每个正方形的面积为 平方厘1 1240 542 米 所以阴影部分的总面积为 平方厘米 248 DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 巩固巩固 如图所示 四个全等的圆每个半径均为如图所示 四个全等的圆每个半径均为 2m 阴影部分的面积是 阴影部分的面积是 2m 2m 或 2m 解析 我们虽没有学过圆或者圆弧的面积公式 但做一定的割补后我们发现其实我们并不需要知道这些公 式也可以求出阴影部分面积 如图 割补后阴影部分的面积与正方形的面积相等 等于 22 2216 m 例例 6 如右图 有如右图 有 8 个半径为个半径为 1 厘米的小圆 用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形 图中的黑点是这厘米的小圆 用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形 图中的黑点是这 些圆的圆心 则花瓣图形的面积是多少平方厘米 些圆的圆心 则花瓣图形的面积是多少平方厘米 取取 3 解析 本题直接计算不方便 可以利用分割移动凑成规则图形来求解 如右上图 连接顶角上的 4 个圆心 可得到一个边长为 4 的正方形 可以看出 与原图相比 正方 形的每一条边上都多了一个半圆 所以可以把原花瓣图形的每个角上分割出一个半圆来补在这些地 方 这样得到一个正方形 还剩下 4 个圆 合起来恰好是一个圆 所以花瓣图形的面积为 1 4 平方厘米 22 4 119 总结 在求不规则图形的面积时 我们一般要对原图进行切割 移动 补齐 使原图变成一个规则的图形 从而利用面积公式进行求解 这个切割 移动 补齐的过程实际上是整个解题过程的关键 我们需 要多多练习 这样才能快速找到切割拼补的方法 例例 7 如图中三个圆的半径都是如图中三个圆的半径都是 5 三个圆两两相交于圆心 求阴影部分的面积和 三个圆两两相交于圆心 求阴影部分的面积和 圆周率取圆周率取 cm3 14 DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 解析 将原图割补成如图 阴影部分正好是一个半圆 面积为 2 5 5 3 14239 25 cm 巩固巩固 如图 大圆半径为小圆的直径 已知图中阴影部分面积为如图 大圆半径为小圆的直径 已知图中阴影部分面积为 空白部分面积为 空白部分面积为 那么这两个部 那么这两个部 1 S 2 S 分的面积之比是多少 分的面积之比是多少 圆周率取圆周率取 3 14 解析 如图添加辅助线 小圆内部的阴影部分可以填到外侧来 这样 空白部分就是一个圆的内接正方 形 设大圆半径为 则 所以 r 2 2 2Sr 22 1 2Srr 12 3 142 257 100SS 移动图形是解这种题目的最好方法 一定要找出图形之间的关系 例例 8 计算图中阴影部分的面积计算图中阴影部分的面积 单位 分米单位 分米 5 10 AA 5 解析 将右边的扇形向左平移 如图所示 两个阴影部分拼成 个直角梯形 平方分米 5105275237 5 巩固巩固 如图 阴影部分的面积是多少 如图 阴影部分的面积是多少 2 2 2 4 解析 首先观察阴影部分 我们发现阴影部分形如一个号角 但是我们并没有学习过如何求号角的面积 DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 那么我们要怎么办呢 阴影部分我们找不到出路 那么我们不妨考虑下除了阴影部分之外的部分吧 观察发现 阴影部分左侧是一个扇形 而阴影部分右边的空白部分恰好与左边的扇形构成一个边长 为 4 的正方形 那么阴影部分的面积就等于大的矩形面积减去正方形面积 则阴影部分面积 222 4 22 48 例例 9 请计算图中阴影部分的面积 请计算图中阴影部分的面积 3 10 解析 法一 为了求得阴影部分的面积 可以从下图的整体面积中扣掉一个圆的面积 就是要求的面积了 要扣掉圆的面积 如果按照下图把圆切成两半后 从两端去扣掉也是一样 如此一来 就会出现一 个长方形的面积 10 3 因此 所求的面积为 2 10330 cm 法二 由于原来的月牙形很难直接计算 我们可以尝试构造下面的辅助图形 DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 如左上图所示 我们也可以这样来思考 让图形往右侧平移就会得到右上图中的组合图形 而3cm 这个组合图形中右端的月牙形正是我们要求的面积 显然图中右侧延伸出了多少面积 左侧就会缩进多少面积 因此 所求的面积是 2 10330 cm 例例 10 求图中阴影部分的面积 求图中阴影部分的面积 12 12 D CB A 12 12 D CB A 解析 如图 连接 可知阴影部分的面积与三角形的面积相等 即为 BDBCD 11 12 1236 22 例例 11 求如图中阴影部分的面积 求如图中阴影部分的面积 圆周率取圆周率取 3 14 4 4 解析 可将左下橄榄型的阴影部分剖开 两部分分别顺逆时针 则阴影部分转化为四分之一圆减去一90 个等腰直角三角形 所以阴影部分的面积为 2 11 4444 56 42 巩固巩固 如图 四分之一大圆的半径为如图 四分之一大圆的半径为 7 求阴影部分的面积 其中圆周率 求阴影部分的面积 其中圆周率取近似值取近似值 22 7 DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 解析 原题图中的左边部分可以割补至如右上图位置 这样只用先求出四分之一大圆的面积 再减去其内 的等腰直角三角形面积即为所求 因为四分之一大圆的半径为 7 所以其面积为 22 1122 7 738 5 447 四分之一大圆内的等腰直角三角形的面积为 所以阴影部分的面积为ABC 1 7724 5 2 38 524 514 例例 12 求下列各图中阴影部分的面积 求下列各图中阴影部分的面积 1 10 10 2 b a 解析 在图 1 中 阴影部分经过切割平移变成了一个底为 10 高为 5 的三角形 利用三角形面积公式可 以求得 110 1025 22 S 阴影 在图 2 中 阴影部分经过切割平移变成了一个长为b 宽为a的长方形 利用长方形面积公式可 以求得 Sabab 阴影 巩固巩固 求下列各图中阴影部分的面积求下列各图中阴影部分的面积 图中长度单位为图中长度单位为 圆周率按 圆周率按 3 计算计算 cm 3 4 DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 11 1 2 2 45 6 解析 4 54121 54 5 例例 13 如图 如图 是正方形 且是正方形 且 求阴影部分的面积 求阴影部分的面积 取取 ABCD1FAADDE 3 F ED CB A W N M F ED CB A 解析 方法一 两个分割开的阴影部分给我们求面积造成了很大的麻烦 那么我们把它们通过切割 移动 补齐 使两块阴影部分连接在一起 这个时候我们再来考虑 可能会有新的发现 由于对称性 我们可以发现 弓形BMF的面积和弓形BND的面积是相等的 因此 阴影部分面积就等于不规则图 形BDWC的面积 因为ABCD是正方形 且FAADDE1 则有CDDE 那么四边形BDEC为平行 四边形 且 E45 我们再在平行四边形BDEC中来讨论 可以发现不规则图形BDWC和扇形 WDE共同构成这个平行四边形 由此 我们可以知道阴影部分面积平行四边形BDEC 扇形DEW DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 2 455 1 1 1 3608 方法二 先看总的面积为的圆 加上一个正方形 加上一个等腰直角三角形 在则阴影面积为总 1 4 面积扣除一个等腰直角三角形 一个圆 一个的扇形 那么最终效果等于一个正方形扣除一 1 4 45 个的扇形 面积为 45 2 15 1 13 1 88 巩固巩固 求图中阴影部分的面积求图中阴影部分的面积 单位 单位 cm 4 3 2 解析 从图中可以看出 两部分阴影的面积之和恰好是梯形的面积 所以阴影部分面积为 2 1 24 39cm 2 例例 14 如图 长方形如图 长方形的长是的长是 则阴影部分的面积是 则阴影部分的面积是 ABCD8cm 2 cm 3 14 解析 阴影部分的面积实际上是右上图阴影部分面积的一半 所以求出右上图中阴影部分面积再除以 2 即 可 长方形的长等于两个圆直径 宽等于 1 个圆直径 所以右图的阴影部分的面积等于 2 8 82822 26 88 所以左图阴影部分的面积等于平方厘米 6 8823 44 例例 15 2007 年西城实验期末考试题年西城实验期末考试题 如图所示 在半径为如图所示 在半径为的图中有两条互相垂直的线段 阴影的图中有两条互相垂直的线段 阴影4cm 部分面积部分面积与其它部分面积与其它部分面积之差之差 大减小大减小 是是 AB 2 cm DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 2 1 B B A A 1 2 解析 如图 将圆对称分割后 与中的部分区域能对应 仅比少了一块矩形 所以两部分的面BABA 积差为 2 221 28cm 巩固巩固 一块圆形稀有金属板平分给甲 乙二人 但此金属板事先已被两条互相垂直的弦切割成如图所示尺一块圆形稀有金属板平分给甲 乙二人 但此金属板事先已被两条互相垂直的弦切割成如图所示尺 寸的四块 现甲取寸的四块 现甲取 两块 乙取两块 乙取 两块 如果这种金属板每平方厘米价值两块 如果这种金属板每平方厘米价值 1000 元 问 元 问 甲应偿付给乙多少元 甲应偿付给乙多少元 5cm 7 5cm 3cm 2cm 2cm 5cm 3cm 2cm 3cm 7 5cm 5cm 解析 如右上图所示 的面积与 的面积相等 的面积等于 与 的面积之和 可见甲比乙多拿的部 分为中间的长方形 所以甲比乙多拿的面积为 而原本应是两 2 537 5225 511 cm 人平分 所以甲应付给乙 元 11 10005500 2 例例 16 求右图中阴影部分的面积 求右图中阴影部分的面积 取取 3 45 45 20cm 解析 看到这道题 一下就会知道解决方法就是求出空白部分的面积 再通过作差来求出阴影部分面积 因为阴影部分非常不规则 无法入手 这样 平移和旋转就成了我们首选的方法 DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 法 1 我们只用将两个半径为 10 厘米的四分之一圆减去空白的 部分面积之和即可 其中 面积相等 易知 部分均是等腰直角三角形 但是 部分的直角边AB的长度未知 单 独求 部分面积不易 于是我们将 部分平移至一起 如右下图所示 则 部分变为一个 以AC为直角边的等腰直角三角形 而AC为四分之一圆的半径 所以有AC10 两个四分之一圆的 面积和为 150 而 部分的面积和为 所以阴影部分的面积为 平 1 10 1050 2 15050100 方厘米 法 2 欲求图 中阴影部分的面积 可将左半图形绕B点逆时针方向旋转 180 使A与C重合 从而构成如右图 的样子 此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面 积 所以阴影部分面积为 平方厘米 2 11 1010 10100 22 45 45 D CB A A C B 例例 17 第四届走美决赛试题第四届走美决赛试题 如图 边长为如图 边长为 3 的两个正方形的两个正方形BDKE 正方形正方形DCFK并排放置 以并排放置 以BC为为 边向内侧作等边三角形 分别以边向内侧作等边三角形 分别以B C为圆心 为圆心 BK CK为半径画弧 求阴影部分面积 为半径画弧 求阴影部分面积 3 14 DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 K F E D C B A A B C D E F K 解析 根据题意可知扇形的半径恰是正方形的对角线 所以 如右图将左边的阴影翻转r 22 3218r 右边阴影下部 SSS 阴影扇形柳叶 11 18 2 18 3 3 34 183 8 58 板块二 曲线型面积计算 例例 18 如图 已知扇形如图 已知扇形的面积是半圆的面积是半圆面积的面积的 3 4 倍 则角倍 则角的度数是的度数是 BACADBCAB D C BA 解析 设半圆的半径为 1 则半圆面积为 扇形的面积为 因为扇形ADB 2 1 1 22 BAC 42 233 的面积为 所以 得到 即角的度数是 60 度 BAC 2 360 n r 2 2 2 3603 n 60n CAB 例例 19 如下图 直角三角形如下图 直角三角形的两条直角边分别长的两条直角边分别长和和 分别以 分别以为圆心 为圆心 为半径画圆 已为半径画圆 已ABC67 B C2 知图中阴影部分的面积是知图中阴影部分的面积是 那么角 那么角是多少度是多少度 17A 3 DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 6 7 C B A 解析 1 6 721 2 ABC S 三角形内两扇形面积和为 ABC21 174 根据扇形面积公式两扇形面积和为 2 24 360 BC 所以 120BC 60A 例例 20 如图 大小两圆的相交部分如图 大小两圆的相交部分 即阴影区域即阴影区域 的面积是大圆面积的的面积是大圆面积的 是小圆面积的 是小圆面积的 如果量 如果量 4 15 3 5 得小圆的半径是得小圆的半径是 5 厘米 那么大圆半径是多少厘米 厘米 那么大圆半径是多少厘米 解析 小圆的面积为 则大小圆相交部分面积为 那么大圆的面积为 2 525 3 25 15 5 而 所以大圆半径为厘米 4225 15 154 2251515 422 7 5 例例 21 有七根直径有七根直径 5 厘米的塑料管 用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆厘米的塑料管 用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆 如图如图 此时橡皮筋的长度是多 此时橡皮筋的长度是多 少厘米 少厘米 取取 3 C BA 解析 由右图知 绳长等于 6 个线段与 6 个弧长之和 ABBC 将图中与弧相似的 6 个弧所对的圆心角平移拼补 可得到 6 个角的和是 BC360 DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 所以弧所对的圆心角是 6 个弧合起来等于直径 5 厘米的圆的周长 BC60 BC 而线段等于塑料管的直径 AB 由此知绳长为 厘米 565 45 例例 22 如图 边长为如图 边长为 12 厘米的正五边形 分别以正五边形的厘米的正五边形 分别以正五边形的 5 个顶点为圆心 个顶点为圆心 12 厘米为半径作圆弧 厘米为半径作圆弧 请问 中间阴影部分的周长是多少 请问 中间阴影部分的周长是多少 3 14 解析 如图 点是在以为中心的扇形上 所以 同理 则是正三角形 同理 CBABCB CBAC ABC 有是正三角形 有 正五边形的一个内角是 因此CDE 60ACBECD 1803605108 也就是说圆弧的长度是半径为 12 厘米的圆周的一部分 这样相同60210812ECA AE 的圆弧有 5 个 所以中间阴影部分的周长是 12 23 14 12512 56 cm 360 例例 23 如图是一个对称图形 比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小 得 黑色部分面积如图是一个对称图形 比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小 得 黑色部分面积 灰色部分面积 灰色部分面积 解析 图中四个小圆的半径为大圆半径的一半 所以每个小圆的面积等于大圆面积的 则 4 个小圆的面 1 4 积之和等于大圆的面积 而 4 个小圆重叠的部分为灰色部分 未覆盖的部分为黑色部分 所以这两 部分面积相等 即灰色部分与黑色部分面积相等 例例 24 如图 大圆半径为小圆的直径 已知图中阴影部分面积为如图 大圆半径为小圆的直径 已知图中阴影部分面积为 空白部分面积为 空白部分面积为 那么这两 那么这两 1 S 2 S 个部分的面积之比是多少 个部分的面积之比是多少 圆周率取圆周率取 3 14 DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 解析 如图添加辅助线 小圆内部的阴影部分可以填到外侧来 这样 空白部分就是一个圆的内接正方 形 设大圆半径为 则 所以 r 2 2 2Sr 22 1 2Srr 12 3 142 257 100SS 移动图形是解这种题目的最好方法 一定要找出图形之间的关系 例例 25 用一块面积为用一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板下料 从中裁出了平方厘米的圆形铝板下料 从中裁出了 7 个同样大小的圆铝板 问 所余下个同样大小的圆铝板 问 所余下 的边角料的总面积是多少平方厘米 的边角料的总面积是多少平方厘米 解析 大圆直径是小圆的 3 倍 半径也是 3 倍 小圆面积 大圆面积 22 1 9rR 小圆面积 个小圆总面积 1 364 9 74728 边角料面积 平方厘米 36288 例例 26 如图 若图中的圆和半圆都两两相切 两个小圆和三个半圆的半径都是如图 若图中的圆和半圆都两两相切 两个小圆和三个半圆的半径都是 1 求阴影部分的面 求阴影部分的面 积 积 解析 由于直接求阴影部分面积太麻烦 所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形 DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 由右图可见 阴影部分面积等于大圆面积减去一个小圆面积 再加上的小扇形面积 即小 1 6 120 1 3 圆面积 所以相当于大圆面积减去小圆面积 而大圆的半径为小圆的 3 倍 所以其面积为小 1 6 2 3 圆的倍 那么阴影部分面积为 2 39 2 125 9 1 2 5 636 例例 27 如图所示 求阴影面积 图中是一个正六边形 面积为如图所示 求阴影面积 图中是一个正六边形 面积为 1040 平方厘米 空白部分是平方厘米 空白部分是 6 个半径个半径 为为 10 厘米的小扇形 厘米的小扇形 圆周率取圆周率取 3 14 B C O A 解析 所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积 正六边形的面积已知 现在关键是小 扇形面积如何求 有扇形面积公式 2 360 n R S 扇 可求得 需要知道半径和扇形弧的度数 由已知正六边形每边所对圆心角为 60 那么 又知四边形是平行四边形 所以 这样就可求出扇形的面积和120AOC ABCO120ABC 为 平方厘米 阴影部分的面积 平方厘米 2 120 6 10628 360 1040628412 例例 28 09 年第十四届华杯赛初赛年第十四届华杯赛初赛 如下图所示 如下图所示 是半圆的直径 是半圆的直径 是圆心 是圆心 ABO AAA ACCDDB 是是的中点 的中点 是弦是弦的中点 若的中点 若是是上一点 半圆的面积等于上一点 半圆的面积等于 12 平方厘米 则图中平方厘米 则图中M A CDHCDNOB 阴影部分的面积是阴影部分的面积是 平方厘米 平方厘米 M CD H NOBA 解析 如下图所示 连接 OCODOH DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 H N M O DC BA 本题中由于 是半圆的两个三等分点 是的中点 是弦的中点 可见这个图形是CDM A CDHCD 对称的 由对称性可知与平行 由此可得的面积与的面积相等 所以阴影部CDABCHN CHO 分面积等于扇形面积的一半 而扇形的面积又等于半圆面积的 所以阴影部分面积等CODCOD 1 3 于半圆面积的 为平方厘米 1 6 1 122 6 巩巩固固 如如图图 是是以以为为直直径径的的半半圆圆的的三三等等分分点点 是是圆圆心心 且且半半径径为为6 求求图图中中阴阴影影部部分分的的面面积积 CDABO DC BAO DC BAO 解析 如图 连接 OCODCD 由于 是半圆的三等分点 所以和都是正三角形 那么与是平行的 所CDAOC COD CDAO 以的面积与的面积相等 那么阴影部分的面积等于扇形的面积 为ACD OCD OCD 2 1 618 84 6 例例 29 如图 两个半径为如图 两个半径为 1 的半圆垂直相交 横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心 求图中两块阴影的半圆垂直相交 横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心 求图中两块阴影 部分的面积之差 部分的面积之差 取取 3 O D C B A 解析 本题要求两块阴影部分的面积之差 可以先分别求出两块阴影部分的面积 再计算它们的差 但是 这样较为繁琐 由于是要求面积之差 可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同 的图形 再求剩余图形的面积 如右图所示 可知弓形或均与弓形相同 所以不妨割去弓形 剩下的图形中 容易BCCDABBC 看出来与是平行的 所以与的面积相等 所以剩余图形的面积与扇形的ABCDBCD ACD ACD DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 面积相等 而扇形的面积为 所以图中两块阴影部分的面积之差为 ACD 2 60 10 5 360 0 5 例例 30 如图 两个正方形摆放在一起 其中大正方形边长为如图 两个正方形摆放在一起 其中大正方形边长为 12 那么阴影部分面积是多少 那么阴影部分面积是多少 圆周率圆周率 取取 3 14 A F E D CB M A F E D CB 解析 方法一 设小正方形的边长为 则三角形与梯形 的面积均为 阴影部aABFABCD 122aa 分为 大正方形梯形三角形右上角不规则部分大正方形右上角不规则部分 ABF 圆 因此阴影部分面积为 1 4 3 14 12 124113 04 方法二 连接 设与的交点为 由于四边形是梯形 根据梯形蝴蝶定ACDFAFCDMACDF 理有 所以 ADMCMF SS DCF SS 阴影扇形 3 14 12 124113 04 巩固巩固 如右图 两个正方形边长分别是如右图 两个正方形边长分别是 10 和和 6 求阴影部分的面积 求阴影部分的面积 取取 3 610 GF ED CBA 610 GF ED CBA 解析 法 1 观察可知阴影部分面积等于三角形的面积减去月牙的面积 那么求出月牙的ACDBCDBCD 面积就成了解题的关键 月牙的面积为正方形的面积减去四分之一圆 BCDBCDE 1 66 669 4 则阴影部分的面积为三角形的面积减去月牙的面积 为 ACDBCD 1 1066939 2 S 阴影 法 2 观察可知和是平行的 于是连接 AFBDAFBDDF 则与面积相等 那么阴影部分面积等于与小弓形的面积之和 也就等于ABD BDF BDF 与扇形的面积之和 为 DEF BED 2 11 106 6 639 24 DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 例例 31 如图 如图 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 是半圆周的中点 是半圆周的中点 是半圆的直径 已知是半圆的直径 已知 ABCDBC10ABBC 那么阴影部分的面积是多少 那么阴影部分的面积是多少 圆周率取圆周率取 3 14 D B P C A D B P C A 解析 连接 如图 平行于 则在梯形中 对角线交于点 那么PDAPBDPDABABDPM 与面积相等 则阴影部分的面积转化为与圆内的小弓形的面积和 ABD ABP ABP 的面积为 ABP 10102225 弓形面积 3 145 545 527 125 阴影部分面积为 257 12532 125 例例 32 图中给出了两个对齐摆放的正方形 并以小正方形中右上顶点为圆心 边长为半径作一个扇形 图中给出了两个对齐摆放的正方形 并以小正方形中右上顶点为圆心 边长为半径作一个扇形 按图中所给长度阴影部分面积为按图中所给长度阴影部分面积为 3 14 64 64 E D C B A 解析 连接小正方形 有图可见AC ACDABC SSSS 阴影扇形 2 111 44 222 AC 2 32AC 同理 2 72CE 48ACCE 1 4824 2 ACD S 2 90 412 56 360 S 扇形 1 448 2 ABC S 2412 56828 56S 阴影 例例 33 如图 图形中的曲线是用半径长度的比为如图 图形中的曲线是用半径长度的比为的的 6 条半圆曲线连成的 问 涂有阴影的条半圆曲线连成的 问 涂有阴影的2 1 5 0 5 部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少 部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少 DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 解析 假设最小圆的半径为 则三种半圆曲线的半径分别为 和 r4r3rr 阴影部分的面积为 22 222 111 4 3 5 222 rrrrr 空白部分的面积为 2 22 45 11 rrr 则阴影部分面积与空白部分面积的比为 5 11 例例 34 2008 年西城实验考题年西城实验考题 奥运会的会徽是五环图 一个五环图是由内圆直径为奥运会的会徽是五环图 一个五环图是由内圆直径为 6 厘米 外圆直厘米 外圆直 径为径为 8 厘米的五个环组成 其中两两相交的小曲边四边形厘米的五个环组成 其中两两相交的小曲边四边形 阴影部分阴影部分 的面积都相等 已知五个圆环的面积都相等 已知五个圆环 盖住的面积是盖住的面积是平方厘米 求每个小曲边四边形的面积平方厘米 求每个小曲边四边形的面积 77 1 3 14 解析 每个圆环的面积为 平方厘米 22 4 37 21 98 五个圆环的面积和为 平方厘米 21 98 5109 9 八个阴影的面积为 平方厘米 109 977 132 8 每个阴影的面积为 平方厘米 32 884 1 例例 35 已知正方形已知正方形的边长为的边长为 1010 厘米 过它的四个顶点作一个大圆 过它的各边中点作一个小厘米 过它的四个顶点作一个大圆 过它的各边中点作一个小ABCD 圆 再将对边中点用直线连擎起来得右图 那么 图中阴影部分的总面积等于圆 再将对边中点用直线连擎起来得右图 那么 图中阴影部分的总面积等于 方厘米 方厘米 3 14 解析 39 25 例例 36 如图 如图 ABCD是边长为是边长为a的正方形 以的正方形 以AB BC CD DA分别为直径画半圆 求这四个半圆弧所分别为直径画半圆 求这四个半圆弧所 围成的阴影部分的面积 围成的阴影部分的面积 取取 3 DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 D C B A a D C B A a 解析 这道题目是很常见的面积计算问题 阴影部分是一个花瓣状的不规则图形 不能直接通过面积公式 求解 观察发现阴影部分是一个对称图形 我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了 了 如图 这样阴影部分就划分成了 4 个半圆减去三角形 我们可以求得 4SSS 阴影半圆三角形 2 11 4 2222 aa a 2 1 2 a 巩固巩固 如图 正方形如图 正方形ABCD的边长为的边长为 4 厘米 分别以厘米 分别以B D为圆心以为圆心以 4 厘米为半径在正方形内画圆 求阴影厘米为半径在正方形内画圆 求阴影 部分面积 部分面积 取取 3 D C B A D C B A 解析 由题可知 图中阴影部分是两个扇形重叠的部分 我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴 影部分面积 同样 我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积 解法一 把两个扇形放在一起得到 1 个正方形的同时还重叠了一块阴影部分 则阴影部分的面积为 2 1 4448 2 解法二 连接AC 我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积 所以阴影部分面积 2 1 2 44428 4 DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 例例 37 2008 年四中考题年四中考题 已知三角形已知三角形是直角三角形 是直角三角形 求阴影部分的面 求阴影部分的面ABC4cmAC 2cmBC 积积 C B A 解析 从图中可以看出 阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形的面积之差 所以阴ABC 影部分的面积为 22 14121 422 5 43 85 22222 2 cm 例例 38 奥奥林林匹匹克克决决赛赛试试题题 在在桌桌面面上上放放置置个个两两两两重重叠叠 形形状状相相同同的的圆圆形形纸纸片片 它它们们的的面面积积都都3 是是平平方方厘厘米米 盖盖住住桌桌面面的的总总面面积积是是平平方方厘厘米米 张张纸纸片片共共同同重重叠叠的的面面积积是是平平方方厘厘米米 那那100144342 么么图图中中个个阴阴影影部部分分的的面面积积的的和和 是是平平方方厘厘米米 3 解析 根据容斥原理得 所以 平方厘米 100 3242144S 阴影 100 3 14424272S 阴影 例例 39 2008 年国际小学数学竞赛年国际小学数学竞赛 如图所示 如图所示 是一边长为是一边长为的正方形 的正方形 是是的中点 而的中点 而ABCD4cmEAD 是是的中点 以的中点 以为圆心 半径为为圆心 半径为的四分之一圆的圆弧交的四分之一圆的圆弧交于于 以 以为圆心 半径为为圆心 半径为FBCC4cmEFGF 的四分之一圆的圆弧交的四分之一圆的圆弧交于于点 若图中点 若图中和和两块面积之差为两块面积之差为 其中其中 2cmEFH 1 S 2 S 2 cm mn m 为正整数为正整数 请问 请问之值为何 之值为何 nmn 11 S2 S1 G H F E D C B A S 1 S2 S1 G H F E D C B A DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 解析 法 1 2 248cm FCDE S A 2 1 44 4 BCD S 扇形 2 cm 而 2 1 2 4 BFH S 扇形 2 cm 12 4 8 FCDEBCDBFH SSSSS A扇形扇形 3 8 2 cm 所以 3m 8n 3811mn 法 如右上图 2 1 SS BFEABFH SS 扇形 2422 48 2 cm 2 4444 4164 ABCDBCD SSSS 扇形 2 cm 所以 故 12 8 164 3 8SS 2 cm 3811mn 巩固巩固 在图中 两个四分之一圆弧的半径分别是在图中 两个四分之一圆弧的半径分别是 2 和和 4 求两个阴影部分的面积差 求两个阴影部分的面积差 圆周率取圆周率取 3 14 解析 我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解 左边的阴影是大扇形减去小扇形 再扣除一个长方 形中的不规则白色部分 而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分 那么它们的差应为大扇 形减去小扇形 再减去长方形 则为 4422423 3 1481 42 44 例例 40 如图 矩形如图 矩形ABCD中 中 AB6 厘米 厘米 BC4 厘米 扇形厘米 扇形ABE半径半径AE6 厘米 扇形厘米 扇形CBF的半径的半径CB 4 厘米 求阴影部分的面积 厘米 求阴影部分的面积 取取 3 F E D CB A 解析 方法一 观察发现 阴影部分属于一个大的扇形 而这个扇形除了阴影部分之外 还有一个不规则 的空白部分ABFD在左上 求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键 我们先确定ABFD的面积 因为不规则部分ABFD与扇形BCF共同构成长方形ABCD 所以不规则部分ABFD的面积为 平方厘米 2 1 64 412 4 再从扇形ABE中考虑 让扇形ABE减去ABFD的面积 DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 则有阴影部分面积为 平方厘米 2 1 61215 4 方法二 利用容斥原理 平方厘米 22 11 6 44615 44 EABBCFABCD SSSS 阴影扇形扇形长方形 巩固巩固 求图中阴影部分的面积 求图中阴影部分的面积 12 12 解析 阴影部分面积半圆面积扇形面积三角形面积 222 11211 121241 04 2282 巩固巩固 如右图 正方形的边长为如右图 正方形的边长为 5 厘米 则图中阴影部分的面积是厘米 则图中阴影部分的面积是 平方厘米 平方厘米 3 14 F E D CB A 解析 观察可知阴影部分是被以为半径的扇形 以为直径的半圆形和对角线分割出来的 分ADABBD 头求各小块阴影部分面积明显不是很方便 我们发现如果能求出左下边空白部分的面积 就很容易 求出阴影部分的面积了 我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形的面积减ABD 去扇形的面积 那么我们的思路就很清楚了 ADE 因为 45ADB 所以扇形的面积为 平方厘米 ADE 22 4545 3 1459 8125 360360 AD 那么左下边空白的面积为 平方厘米 1 5 59 81252 6875 2 又因为半圆面积为 平方厘米 2 15 9 8125 22 所以阴影部分面积为 平方厘米 9 81252 68757 125 例例 41 如图所示 阴影部分的面积为多少 如图所示 阴影部分的面积为多少 圆周率取圆周率取 3 DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 3 3 B A 3 3 A 1 5 1 5 1 5 45 45 B 3 3 解析 图中 两部分的面积分别等于右边两幅图中的 的面积 ABAB 所以 22 927 1 5 1 5 343 3 328498 416 AB SS 巩固巩固 图中阴影部分的面积是图中阴影部分的面积是 取取 3 14 3 3 3 3 解析 如右上图 虚线将阴影部分分成两部分 分别计算这两部分的面积 再相加即可得到阴影部分的面 积 所分成的弓形的面积为 2 2 131199 3 2242168 另一部分的面积为 22 1199 33 8484 所以阴影部分面积为 99992727 1 923751 92 16884168 例例 42 已知右图中正方形的边长为已知右图中正方形的边长为 20 厘米 中间的三段圆弧分别以厘米 中间的三段圆弧分别以 为圆心 求阴影部为圆心 求阴影部 1 O 2 O 3 O 分的面积 分的面积 3 DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 O2 O1 O3 B A 解析 图中两块阴影部分的面积相等 可以先求出其中一块的面积 而这一块的面积 等于大正方形的面 积减去一个扇形的面积 再减去角上的小空白部分的面积 为 90 平方厘米 所以 21 42020 202020100 475 4 SSSS 圆正方形正方形 扇形 阴影部分的面积为 平方厘米 752150 例例 43 一个长方形的长为一个长方形的长为 9 宽为 宽为 6 一个半径为 一个半径为 l 的圆在这个长方形内任意运动 在长方形内这圆的圆在这个长方形内任意运动 在长方形内这圆 无法运动到的部分 面积的和是无法运动到的部分 面积的和是 取取 3 解析 方法一 圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角 而圆在角处运动时的情况如左下 图 圆无法运动到的部分是图中阴影部分 那么我们可以先求出阴影部分面积 四个角的情况都相 似 我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍 阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积 所以我们可以得到 每个角阴影部分面积为 2 901 1 1 1 3604 那么圆无法运动到的部分面积为 1 41 4 方法二 如果把四个角拼起来 则阴影如右上图所示 则阴影面积为 2 223 11 例例 44 已知半圆所在的圆的面积为已知半圆所在的圆的面积为平方厘米 求阴影部分的面积 平方厘米 求阴影部分的面积 62 8 3 14 O DC B A 解析 由于阴影部分是一个不规则图形 所以要设法把它转化成规则图形来计算 从图中可以看出 阴影 DS 解析 如图 B A D C B A 因此 DC 边扫过图形的面积为 边扫过图形的面积为 4 BC 9 4 2 研究 部分的面积是一个的扇形与一个等腰直角三角形的面积差 45 由于半圆的面积为平方厘米 所以 62 8 2 62 83 1420OA 因此 平方厘米 2 2210 AOB SOA OBOA 由于是等腰直角三角形 所以 AOB 2 20240AB 因此 扇形的面积 平方厘米 ABC 2 4545 4015 7 360360 AB 所以 阴影部分的面积等于 平方厘米 15 7105 7 例例 45 如图 等腰直角三角形如图 等腰直角三角形ABC的腰为的腰为 10 以 以A为圆心 为圆心 EF为圆弧 组成扇形为圆弧 组成扇形AEF 两个阴影部 两个阴影部 分的面积相等 求扇形所在的圆面积