高中数学教学论文关于分式和的几个结论的证明及应用.doc

关于分式和的几个结论的证明及应用在国内外各级各类的数学竞赛中 ，经常出现一些与分式和有关的不等式的证明问题 ，本文总结了关于分式和的几个一般性结论，为了便于结论的证明，我们先将向量数量积的概念进行合理的推广：1 向量数量积概念的推广对于平面向量=（a ,b）、 =(c，d) ， 与 的数量积是 = cos= acbd, 为 与 的夹角，其范围是 0 。对于三维空间向量 =（a , b, c） =( d, e, f ).它们的数量积为 = cos=adbecf.， 为 与 的夹角，其范围是 0 。、 分别是向量 与的模：=，=。向量数量积的概念可推广到n维欧几里得空间：设=（x,x,，x）, =(y,y, ，y)。 与 的夹角为,范围是 0 。定义 与的数量积为 = cos=xy+xy+xy.、 分别是向量 与的模：，则 cos，当 与平行时， = R，若0，则 与同向，=0。若 0，则 与反向，=。当 时， =0，此时=。2向量数量积的应用在本文中，多处用到柯西（ Cauchy ）不等式，我们先用向量法证明此不等式：(aaa)(bbb)(ababab)证明：设=（a,a, ,a）, = (b,b, ,b), 与的夹角为,范围是 0 。则 ababab cos所以(ababab)(aaa)(bbb) cos(aaa)(bbb)。下面我们用向量法来证明与分式和有关的几个结论。结论1 已知 x , x , , x 是满足xx x =A的非负实数，且 k0 ，则+ +.。证明：设（，）， （，），且与 的夹角为（）。则xx xcos cosn (xxx)(111)( xxx)(xxx)， ( xxx)= ,当且仅当xx x （）取等号，此时与 同向，即，cos=1.A cos 。例已知正数x、 y 、z满足x +y+ z=1，试证明：。证明：n=3 , A=1 ，k=1 由结论， 。结论 已知x , x , , x 是满足xx x =A的非负实数，且 k0 ，kx0 (I=1,2,n),则。证明：设（，），(， ) ,且与 的夹角为（）。则xx x cos cos因为（xx x ）（111）（xx x ）n（ xxx）所以（xx x ） =所以A cos ，则有。例2 已知x ,y ,z 是满足x y z 1的正实数，证明： .。证明：n=3 , A=1 ，k=1 , 由结论2, .例3 已知非负实数a (i1,2,3,n) 满足aaa1, 求 的最小值（第23届IMO试题）.。解：原题可以转化为求 的最小值。因为 ( ) ,又A=1 ，k=,所以由结论，有 ，从而 ( ) 。例4 已知a0 (i1,2,3,n) 且 满足aaaS，证明： 。证明：原不等式可以转化为证明以下不等式：（）（）（）。即n.( 此变式为1979年英国数学竞赛试题 )因为()，又A= ，k=, 所以 ，所以() ，则（）（）（） 。即 结论3 已知x , x , , x 是满足xx x =A的非负实数，且kx0 (i=1,2,n), 则。证明：设（，），（，），且与 的夹角为（）。则 xx x cos,即A，所以。例5 已知正数x、 y 、z满足x +y+ z=1，试证明：。证明：因为A=1,k=1,n=3，所以由结论3 有 。结论 4 若非负实数x , x , , x 满足xx x =A，且x0 (i=1,2,n),则 。证明：设（，），（， ），且与 的夹角为（）。则xxc