2020届河南省顶级名校高三10月联考数学理试题版.doc

2020届河南省顶级名校高三10月联考数学（理）试题一、单选题1已知是虚数单位，复数满足，则（ ）AB2C1D【答案】A【解析】运用复数的除法运算法则，求出复数的表达式，最后利用复数求模公式，求出复数的模.【详解】，所以，故本题选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算、求模公式，考查了数学运算能力.2已知全集，则（ ）ABCD【答案】B【解析】解不等式求得全集，结合补集运算即可求得.【详解】全集，则.故选:B.【点睛】本题考查了补集的简单运算，属于基础题.3已知，则a，b，c的大小关系是ABCD【答案】B【解析】根据指数函数和对数函数单调性可知，；根据幂函数的单调性可判断出，从而得到结果.【详解】 ，则最大由在上单调递增可知：，即本题正确选项：【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小的问题，关键是能够熟练掌握初等函数的单调性，属于基础题.4函数的图象大致为（ ）A BC D 【答案】C【解析】利用偶函数性质和特值可以分析出正确图像【详解】易知，为偶函数，时，当时，故只有C选项满足故选：C【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数在特定区间上的正负值来排除是解决本题的关键，难度不大5已知向量，的夹角为，且，则（ ）ABCD【答案】B【解析】根据向量，可以求得的值【详解】故选：B【点睛】本题考查了利用平面向量的数量积求模长的问题，是基础题6若曲线在处的切线，也是的切线，则（ ）ABCD【答案】D【解析】先求出在处的切线方程，设它在的且切点坐标，并求出的值，再代入中，求出的值【详解】的导数为，曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为，的导数为，设切点为，则，解得，即有，解得故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题7在等差数列中，其前项和为，若，则（ ）A0B2018CD2020【答案】D【解析】根据等差数列前n项和性质可知为等差数列，进而求得等差数列的公差，即可由等差数列的前n项和公式求解.【详解】设等差数列的公差为d，由等差数列的性质可得为等差数列，的公差为.，解得.则.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列前n项和公式的简单应用，属于基础题.8一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） ABCD8【答案】A【解析】根据三视图可知组合体的构成，根据四棱锥与圆柱的体积公式即可求解.【详解】该几何体是由一个四棱锥和一个圆柱的一半组成的几何体，体积为.故选：A.【点睛】本题考查了空间几何体三视图的简单应用，棱锥的体积及圆柱体积求法，属于基础题.9如图，已知点与反比例函数，在正方形内随机取一点，则点取自图中阴影部分的概率为（ ）ABCD【答案】D【解析】先求得反比例函数与正方形两条边的交点，结合微积分基本定理可求得阴影部分的面积，进而结合几何概型概率求得点取自图中阴影部分的概率.【详解】根据题意，设与正方形的两条边分别交于，如下图所示：由题意可得正方形的面积为4，联立，解得.所以,阴影部分面积为.所求概率.故选：D.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，微积分基本定理求定积分的应用，属于中档题.10已知抛物线：的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，若，的中点在轴上的射影分别为，且，则抛物线的准线方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】设AF,FB的中点分别为D,E, 求出|AB|=16，再利用直线和抛物线的方程利用韦达定理求出p的值，即得抛物线的准线方程.【详解】设AF,FB的中点分别为D,E,则|AB|=2|DE|,由题得|DE|=所以|DE|=8,所以|AB|=16，设，则，联立直线和抛物线的方程得，所以，所以抛物线的准线方程为x=-3.故选：C【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的定义和准线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11已知函数若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围（ ）ABCD【答案】A【解析】画出函数f(x)图象，在分析函数的图象，根据交点的个数问题，求出k的取值范围【详解】如图，作出函数的图象，函数有且只有三个零点，则函数与函数的图象有且只有三个交点，函数图象恒过点，则直线在图中阴影部分内时，函数与有三个或两个交点当直线与的图象相切时，设切点为，切线斜率为，解得，故选：A.【点睛】本题考查函数与方程的知识点，利用零点个数，求参数取值范围12已知等边的边长为，分别为的中点，将沿折起得到四棱锥点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，到平面距离的最大值为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意可确定当平面平面时，四棱锥的体积最大；根据四棱锥外接球的性质可确定球心的位置，利用勾股定理可求得球的半径及球心到平面的距离，由此可知所求最大值为.【详解】如图，当四棱锥的体积最大时，平面平面，如图所示：为等边三角形，取的中点，则是等腰梯形外接圆圆心设是的外心，作平面，平面，则是四棱锥的外接球的球心，且，设四棱锥的外接球半径，则，解得：.又，当四棱锥的体积最大时，到平面距离的最大值为：.故选：.【点睛】本题考查立体几何中几何体外接球的相关问题的求解，关键是能够根据外接球的性质确定球心的位置，即球心必为过棱锥底面和侧面的外接圆圆心且垂直于底面和侧面的直线的交点的位置.二、填空题13太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组或来表示，设是阴影中任意一点，则的最大值为_.【答案】【解析】将目标函数对应的基准直线向上平移到阴影部分的边界位置，根据圆心到直线的距离等于列方程，由此求得的最大值.【详解】根据线性规划的知识，将目标函数对应的基准直线向上平移到阴影部分的边界位置，即直线与圆在第一象限部分相切时，取得最大值. 根据圆心到直线的距离等于得，解得.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查线性规划求最大值，属于基础题.14某校举行歌唱比赛，高一年级从6名教师中选出3名教师参加，要求李老师，王老师两名老师至少有一人参加，则参加的三名老师不同的唱歌顺序的种数为_.(用数字作答)【答案】96【解析】先从6人中任选3人，扣除没有李老师、王老师参加的情况，即为至少有一人参加的情况；再将选出的3人全排列，即可求解.【详解】第一步：先任选3人有种，没有李老师、王老师参加的为，则李老师与王老师至少有一人参加的有种；第二步，将3人排序，有种.故不同发言顺序的种数为.故答案为：96.【点睛】本题考查了排列组合问题的简单应用，对立事件的应用，属于基础题.15已知函数满足，且在区间上单调，则的值有_个.【答案】9【解析】由，结合正弦函数图像的特征可知（），由正弦函数最小正周期公式可得，因为在区间上单调可得范围，从而求出的整数解的个数，得到值的个数【详解】由题意知函数的周期，由，结合正弦函数图像的特征可知，故，；又因为在区间上单调，所以，故，所以，即，符合条件的的值有9个.【点睛】本题考查正弦函数图像的特点，最小正周期的公式，熟练掌握正弦函数图像是解题关键，属于中档题16已知双曲线的左，右顶点为、，右焦点为，为虚轴的上端点，在线段上(不含端点)有且只有一点满足，则双曲线离心率为_.【答案】【解析】根据右焦点和上端点，可得直线的方程.由题意可知直线与以为直径的圆相切且切点为，由切线性质及点到直线距离公式可得关系，结合双曲线中满足，即可得的齐次式方程，求得双曲线的离心率.【详解】由题意，则直线的方程为，在线段上（不含端点）有且只有一点满足，则直线与以为直径的圆相切，切点为，则，且.，即.，.解得，.故答案为：.【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，直线与圆位置关系的应用，利用齐次式求双曲线的离心率，属于中档题.三、解答题17在中，内角，所对的边分别是，已知，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）（2）【解析】利用正弦定理边弦的关系，将转化为，结合已知条件，求得b值；根据cosB的值，求sin2B,cos2B的值，结合余弦两角和公式，求的值【详解】解：（1）由，得，即，由余弦定理，得，解得（2），则，【点睛】本题考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，及两角差余弦公式求值，属于中等题.18如图，在梯形ABCD中，为梯形外一点，且平面.（1）求证：平面；（2）当二面角的平面角的余弦值为时，求这个四棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）梯形ABCD中，由线段关系及角度关系可证明.根据平面，可知，由线面垂直判定定理即可证明平面；（2）在中由余弦定理求得，建立空间直角坐标系，设，写出各个点的坐标，并求得平面BDP的法向量和平面BCP的法向量，根据空间向量的数量积运算及二面角的平面角的余弦值为，即可求得的值，进而求得四棱锥的体积.【详解】（1）证明：在梯形ABCD中，.，. 平面ABCD，平面ABCD，.又，平面ACP. （2）在中，.以点C为坐标原点，分别以CA，CB，CP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 设，则，则，.设平面BDP的法向量，则，即.取，得，平面BCP的一个法向量. 二面角的平面角的余弦值为， 解得，即，.【点睛】本题考查了线面垂直的性质及判定定理，已知二面角大小并利用空间向量法求线段长，四棱锥体积求法，属于中档题.19已知椭圆的上顶点为，以为圆心椭圆的长半轴为半径的圆与轴的交点分别为，（1）求椭圆的标准方程；（2）设不经过点的直线与椭圆交于，两点，且，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由【答案】（1）（2）直线过定点，该定点的坐标为【解析】利用椭圆性质，求椭圆的方程；根据题中要求，先将直线QA,PA方程设出来，再与椭圆联立方程，分别求出Q,P两点坐标，根据P,Q写出直线方程l,然后分析它的定点问题【详解】解：（1）依题意知点的坐标为，则以点圆心，以为半径的圆的方程为令得，由圆与轴的交点分别为，可得，解得，故所求椭圆的标准方程为（2）由得，可知的斜率存在且不为设直线，则将代入椭圆方程并整理，得，可得，则同理，可得，由直线方程的两点式，得直线的方程为，即直线过定点，该定点的坐标为【点睛】本题主要考核利用椭圆的性质椭圆方程以及直线恒过定点问题20设函数求函数的单调区间；记函数的最小值为，证明：【答案】（I）在上单调递减，在上单调递增；（II）详见解析.【解析】（I）对函数求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果；（II）由（I）先得到，要证，即证明，即证明，构造函数，用导数的方法求函数的最小值即可.【详解】（）显然的定义域为 ，若，此时，在上单调递减；若，此时，在上单调递增；综上所述：在上单调递减，在上单调递增 （）由（）知：， 即： 要证，即证明，即证明，令，则只需证明，且，当，此时，在上单调递减；当，此时，在上单调递增， 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.21超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷，甚至死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为（1）运用概率统计的知识，若，试求关于的函数关系式；（2）若与抗生素计量相关，其中是不同的正实数，满足，对任意的，都有（i）证明：为等比数列；（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值.参考数据：，【答案】（1），（，且）；（2）（i）见解析，（ii）4【解析】（1）易知若取份血液样本则；的所有可能取值为1，根据概率公式可表示出.结合，化简即可关于的函数关系式；（2）（i）根据当时成立，则由数学归纳法即可证明为等比数列.（ii）根据（i）可得，化简可得，构造函数，求得导函数，可通过的符号判断函数单调性，结合参考数据，即可求得的最大值.【详解】（1）由已知得；的所有可能取值为1，.若，则，.关于k的函数关系式为，（，且）.（2）（i）证明：当时，令，则，下面证明对任意的正整数n，.当，2时，显然成立；假设对任意的时，下面证明时，：由题意，得，.或（负值舍去）.成立.由可知，为等比数列，.（ii）由（i）知，得，.设，当时，即在上单调减.又，；，.的最大值为4.【点睛】本题考查了离散型随机变量概率的求法，数学归纳法在证明中的综合应用，构造