一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系 2 求根公式 问题 你发现这些一元二次方程的两根x1 x2 与x1 x2系数有什么规律 猜想 当二次项系数为1时 方程x2 px q 0的两根为x1 x2 21 3 2 13 2 3 14 5 4 2 x1 x2 x1 x2与系数有什么规律 猜想 如果一元二次方程ax2 bx c 0 a b c是常数且a 0 的两根为x1 x2 则 x1 x2和x1 x2与系数a b c的关系 任何一个一元二次方程的根与系数的关系 如果方程ax2 bx c 0 a 0 的两个根是X1 X2 那么X1 X2 X1 X2 韦达定理 注 能用根与系数的关系的前提条件为b2 4ac 0 一 直接运用根与系数的关系 例1 不解方程 求下列方程两根的和与积 知识源于悟 在使用根与系数的关系时 应注意 不是一般式的要先化成一般式 在使用X1 X2 时 注意 不要漏写 二 求关于两根的对称式或代数式的值 例2 设是方程的两个根 利用根与系数的关系 求下列各式的值 关于两根几种常见的求值 三 构造新方程 例3 求一个一元二次方程 使它的两个根是2和3 且二次项系数为1 变式 且二次项系数为5 三 构造新方程 例4 点p m n 既在反比例函数的图象上 又在一次函数的图象上 求以m n为根的一元二次方程 三 构造新方程 例5 已知关于x的方程x2 5x 2 0 1 且关于y的方程的两根分别是关于方程 1 的两根 的平方 求关于y的方程 例6 小明和小敏解同一个一元二次方程时 小明看错了一次项系数所求出的根为 9和 1 小敏看错了常数项所求出的根是8和2 你知道原来的方程是什么吗 三 构造新方程 练习 甲 乙二人解同一个一元二次方程时 甲看错了常数项所求出的根为1 4 乙看错了一次项系数所求出的根是 2 3 则这个一元二次方程为 三 构造新方程 x2 5x 6 0 四 求方程中的待定系数 例7 如果 1是方程的一个根 则另一个根是 还有其他解法吗 3 练习 已知3是方程的一根 求m及另一根 例8 方程的两根同为正数 求p q的取值范围 四 求方程中的待定系数 变式 方程有一个正根 一个负根 求m的取值范围 解 由已知 即 m 0m 1 0 0 m 1 四 求方程中的待定系数 一正根 一负根 0X1X2 0 两个正根 0X1X2 0X1 X2 0 两个负根 0X1X2 0X1 X2 0 例9 已知方程的两个实数根是且求k的值 四 求方程中的待定系数 注 能用根与系数的关系的前提条件为b2 4ac 0 小结 一元二次方程根与系数的关系 注 能用根与系数的关系的前提条件为b2 4ac 0 已知两个数的和是1 积是 2 则两个数是 解法 一 设两数分别为x y则 解得 x 2y 1 或 1y 2 解法 二 设两数分别为一个一元二次方程的两根则 求得 两数为2 已知两个数的和与积 求两数 求未知系数的取值范围 例题 已知关于x的方程9x2 m 7 x m 3 0 1 求证 无论k取何值时 方程总有两不相等的实数根 2 当k取何值时 方程的一根大于1 另一根小于1 分析 1 列出 的代数式 证其恒大于零 2 x1 1 x2 1 0 解 1 m 7 2 4 m 3 m 5 2 36 0 方程总有两个不相等的实数根 2 由题意得 解得 当时方程的一根大于1 另一根小于1 练习 返回 1 当a取什么值时 关于未知数x的方程ax2 4x 1 0 只有正实数根 2 已知 x1 x2是关于x的一元二次方程4x2 4 m 1 x m2 0的两个非零实根 问x1 x2能否同号 若能同号 请求出相应m的取值范围 若不能同号 请说明理由 返回 题9在 ABC中a b c分别为 A B C的对边 且c 若关于x的方程有两个相等的实数根 又方程的两实数根的平方和为6 求 ABC的面积 五综合 拓广探索 1 当k为何值时 方程2x2 k 1 x k 3 0的两根差为1 解 设方程两根分别为x1 x2 x1 x