相似三角形中的分类讨论

相似三角形中的分类讨论 伊川县实验中学陈利娜 A D E B A C B A B C D ADE绕点A 旋转 D C A D E B C A B C D E B C A D E 点E移到与C点 重合 ACB Rt CD AB 相似三角形基本图形的回顾 新课 问题引入 相似三角形中为什么需要分类讨论 由于图形的不确定因素 因而在三角形中需要分类讨论1 图形谁大谁小的不确定需要分类讨论如 若两个相似三角形的相似比为1 2 且其中一个的面积为20 则另一个三角形的面积为 5或80 过Rt ABC的斜边AB上一点D作一条直线与另一边 或者BC相交 使截得的小三角形与 ABC相似 这样的直线有几条 A C D 发散探究 已知如图 D点是不等边 ABC的边AC上一点 过D点画线段DE 使点E在 ABC的边上 并且点D 点E和 ABC的一个顶点组成的小三角形与 ABC相似 问 这样的三角形可以画几个 画出DE 并且写出添线方法 可讨论并答出作图依据 E E E E 练习题 2 对应角 或者说对应边 对应顶点 的不确定引起相似三角形的分类讨论标识 如果没有用 符号连接 需要进行分类讨论 例题1 在方格纸中 每个小格的顶点称为格点 以格点连线为边的三角形叫做格点三角形 如图所示 在10 10的方格中 已知 OAB 4 1 1 4 3 2 1 3 0 1 2 A 4 3 2 4 3 2 B 5 5 数学乐园 作一个格点三角形与 OAB相似且与 OAB共边AB 如图 在直角坐标系中有两点A 4 0 B 0 2 如果点C在x轴上 C与A不重合 当点C的坐标为时 使得由点B O C组成的三角形与 AOB相似 1 0 1 0 4 0 一题一练 例题2 动点问题如图 在Rt ABC中 C 90 AC 8cm BC 6cm 动点P由A出发向C运动 其速度为2cm s 动点Q从C出发向B运动 其速度为1cm s 连接PQ 则经过多长时间 PCQ与 ACB相似 解 设经过t秒后两个三角形相似 由题意得CQ t AP 2t PC 8 2t 当 CPQ A时 CPQ CAB 所以CQ CB CP CA 即t 6 8 2t 8 解得t 12 5 当 CPQ B CPQ CBA 所以CQ CA CP CB 即t 8 8 2t 6 解得t 32 11 所以t 12 5或t 32 11时 PCQ与 ACB相似 一题一练 如图 在Rt ABC中 C 90 BC 6 AC 8 点P是AB的中点 点Q是边BC或AC上的一个动点 线段PQ把Rt ABC分成两部分 问点Q在什么位置时 分割得到的三角形与 ABC相似 画出所有符合要求的线段 并求PQ的长 分析 当Q在BC或AC上运动时 割得的 QPA或 QPB中 始终有一个角与 ABC中的 A或 B形成公共角 由于 C 90 要使得割得的三角形与 ABC相似 则割得的三角形中须有一个角等于90 因此 过P向AC BC或AB作垂线 得Q1 Q2 Q3 形成三种情况 解 在Rt ABC中 C 90 BC 6 AC 8 AB 10 P是AB的中点 AP BP 51 当PQ1 AC时 APQ1 ABC 解得PQ1 32 当PQ2 AB时 APQ2 ACB 解得PQ2 3 753 当PQ3 BC时 APQ3 BAC 解得PQ3 4综上所述 符合要求的PQ长可能为3或3 75或4 小结 1 在相似三角形中为什么要进行分类讨论 2 分类讨论的一般步骤 1 明确讨论的对象 2 确定分类标准 按一个标准分类 3 逐步讨论 做到 不重复 不遗漏 4 归纳小结 得出结论 1 如图 在 ABC中 AB 5 AC 4 E是AB上一点 AE 2 在AC上取一点F 使以A E F为顶点的三角形与 ABC相似 那么AF 检测反馈 2 如图 正方形ABCD的边长为8 E是AB的中点 点M N分别在BC CD上 且CM 2 则当CN 时 CMN与 ADE相似 1或4 3 在平面直角坐标系 B 1 0 A 3 3 C 3 0 点P在y轴的正半轴上运动 若以O B P为顶点的三角形与 ABC相似 则点P的坐标是 P 0 1 5 或 0 2 3 4 如图 在 ABC和 DEF中 A D 700 B 500 E 300 画直线a 把 ABC分成两个三角形 画直线b 把 DEF分成两个三角形 使 ABC分成的两个三角形和 DE