金融衍生产品新

1 6期权定价的二叉树模型 假设条件 1 最基本的模型为不支付股利的欧式股票看涨期权定价模型 2 股票市场与期权市场是完全竞争的 市场运行是非常具有效率的 3 股票现货与期权合约的买卖 不涉及交易成本 而且也不存在税收问题 4 市场参与者可按已知的无风险利率无限制地借入资金或贷出资金 利率在期权有效期内保持不变 而且不存在信用风险或违约风险 2 6 1单期模型 6 1 1单期二叉树期权定价模型设目前为0期 期权合约的基础资产 如股票 价格的现行市场价格为S 在下一期股票价格变动只存在两种可能的结果 或者股票价格上升至Su 或者股票价格下降至Sd 而上升或下降的概率呈二次分布状 在这里下标号u和d表示变量数值上升或下降为原数值的倍数 即u 1 d 1 与此相对 股票看涨期权的初始价值为c 在下一期 欧式期权的到期日 伴随着股票价格的上涨或下跌 该期权合约的价格也有两种可能 即要么上升至cu 要么下降至cd 作图 二叉树 节点 路径 3 6 1单期模型 SC由于这个图形犹如一根叉开的树枝 所以被称为 二叉树 模型中 每一个数值被称作是一个节点 每一条通往各节点的线称作路径 Su Sd Cu Cd 4 第一节单期模型 例8 1 设股票的现价 S 为 100 3月看涨期权的执行价格 K 为 110 在U 1 3和d 0 9情况下 期权价值 5 分析 当前下一期股票价格 su 130u 1 3期权价值 cu 股票价格 s 100max su k 0 20期权价值 c d 0 9股票价格 sd 90期权价值 cd max sd k 0 0 6 资产组合的目前成本与未来价值 7 130 20 90 风险中性假定 0 5股票上涨 VT 130 0 5 20 45股票下跌 VT 90 x0 5 45根据有效市场的假设 在不冒风险的情况下 人们在金融市场上只能赚得无风险利率 换言之 资产组合在当前的价值 是其在到期日的价值 45 按无风险利率进行贴现后的现值 假定无风险利率为10 而且按连续复利进行贴现 那么 V0 45xe 10 x0 25 43 8943 89 100 x0 5 cC 50 43 89 6 11 8 按上分析 股票上涨VT Sux Cu股票下跌VT Sdx CdSux Cu Sdx Cd 6 1 2单期二项式期权定价模型的通用公式 被称为套期保值比率 它代表无风险资产组合所要求的股票持有量 设无风险利率为r 且d r u 一定成立 否则市场失衡 就会产生套利 保值型资产组合的现值为 Sux Cu e rt 或者 Sdx Cd e rt 而目前资产成本 Sx C 市场均衡时 二者相等 Sdx Cd e rt Sx C C Sx Sdx Cd e rt 9 均衡价格下保值型资产组合只能赚得无风险利率 6 1 3期权定价与无风险套利 10 假定价格为 5 00 在期权价格被低估的情况下 11 假定价格为 8 00 在期权价格被高估的情况下 12 6 1 4期权定价中的风险中立假设 二叉树期权定价模型并不依赖于投资者对待风险的态度 也不涉及股票价格涨跌的概率 究其原因是因为在金融市场上有价证券的价格涨跌的概率都已经反映在现行的市场价格之中 所以没有必要再对以股票作为基础资产的期权定价另外作出股票涨跌概率的假设 由此可见 公式中的q和1 q 从本质上讲都不是概率 但其数学特征与概率完全相同 因此q和1 q也被称作 假概率 13 将q和1 q解释成股票价格上涨和下跌的假概率 实际上默认了定价中风险中立估价原则假定 推导如下 E ST qSu 1 q SdE ST qS u d Sd再将q erT d u d 代入得 E ST SerT 14 6 1 5二项式期权定价中的u和d 二叉树期权定价模型中u和d与基础资产价格的波动性是有联系的 即u和d的数值取决于 的大小及 t的长短 推导如下 15 6 2两步二叉树期权定价模型 6 2 1欧式看涨 例6 4 有一种执行价格为 110 期限为6个月 每3个月算一期 共两期 的欧式看涨股票期权 作为其基础资产的股票价格每隔3个月变动一次 或上涨30 或下跌10 且u和d在期权的有效期内保持不变 求期权期初价值 16 例6 5 有一种执行价格为 110 期限为6个月 每3个月算一期 共两期 的欧式看跌股票期权 作为其基础资产的股票价格每隔3个月变动一次 或上涨30 或下跌10 且u和d在期权的有效期内保持不变 求期权期初价值 6 2 2欧式看跌期权的两期定价模型 17 例6 6 设某公司股票的现价为 80 在3期 每6个月为1期 180月 二杈树模型中 假定u 1 5 d 0 5 敲定价格 80 无风险利率为20 计算模型各节点的股价 期权价 假概率 值 6 2 3无风险资产组合的套期保值率 18 6 3期权定价N期模型的通用公式 19 6 4美式期权的二叉树定价模型 6 4 1美式看涨期权的定价及其不可能提前执行的理由无红利支付情况下 美式看涨期权的定价例 某公司股票的现行市价为 100 假定股价每三个月涨跌一次 即 t 0 25年 u 1 2 d 0 8 假定有一项以该公司股票为基础资产的美式看涨期权 执行价格为 104 期限为9个月 当时市场上的无风险利率为10 判断提前执行的可能性及期初价值 1 股价二杈树图 172 8Cuuu 68 8144120115 2Cuud 11 2100968076 8Cudd 06451 2Cddd 0 20 6 4 2美式看跌期权的定价及其提前执行的可能性例 某公司股票的现行市价为 100 假定股价每三个月涨跌一次 即 t 0 25年 u 1 2 d 0 8 假定有一项以该公司股票为基础资产的美式看跌期权 执行价格为 104 期限为9个月 当时市场上的无风险利率为10 判断提前执行的可能性及期初价值 1 股价二杈树图 172 8Pu3 0144120115 2Pu2d 0100968076 8Pud2 27 26451 2Pd3 52 8 21 T t时理论价值Pu2 0Pud 11 59Pd2 37 43T t时的执行价值 内在价值 Pu2 max 104 144 0 0Pud max 104 96 0 8Pd2 max 104 64 0 40在计算Pu和Pd时 应使用各自持有价值或执行价值中较大的一个 Pu 4 96对应执行价格为 Pu 0Pd 23 4Pd 24P 12 94 22 6 5股价指数期权 外币期权 例6 8 有一项美式的英镑看跌期权 期限为6个月 即期汇率为 1 51 期权的执行价格为 1 50 英镑兑美元的波动性或易变性为12 美国的无风险利率为10 英国的无风险利率为11 建立一个以2个月为1期的外币二叉树期权模型 例6 9 美式股指3月期期货的看涨期权 期货合约的成交价格为1000点 期权的执行价格也为1000点 市场上的无风险利率为12 在无风险估价原则下 它等于期货合约的收益率 另外 该种股票价格指数的波动性为30 假设