湖北省天门中学2012届高三数学上学期期中考试试题 理

用心 爱心 专心 1 20112011 20122012 学年度天门中学高三上学期期中考试理科数学试卷学年度天门中学高三上学期期中考试理科数学试卷 考试时间 120 分钟 满分 150 分 考查内容 集合 函数 导数 三角函数 平面向量 数列 不等式 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 已知集合 A 0 x y xy x Bx yye 则AB 的子集个数是 A 1 B 2 C 4 D 8 2 已知函数 3 0 ln 1 0 xx f x xx 若f 2 x2 f x 则实数x的取值范围是 A 1 2 B 2 1 C 1 2 D 2 1 3 已知M是曲线 2 1 ln 1 2 yxxa x 上的任一点 若曲线在M点处的切线的倾斜角均为不 小于 4 的锐角 则实数a的取值范围是 A 2 B 2 C 0 2 D 22 4 等比数列 n a 的前 n 项和为 n S 若 213211236 4 27 nn Saaaa a aa 则 A 27 B 81 C 243 D 729 5 已知 2 1 tan 47 那么 cossin 的值为 A 5 1 B 5 7 C 5 7 D 4 3 6 设 an 递增等差数列 前三项的和为 12 前三项的积为 48 则它的首项是 A 1 B 2 C 4 D 6 7 若则 cossin cossin 4 0ba A ba B 2ab C 1 ab D 2 ab 8 设x y满足约束条件 0 0 02 063 yx yx yx 若目标函数zaxby 0a 0b 的最大 值为 12 则ab的取值范围是 A 0 B 3 0 2 C 3 2 D 3 0 2 9 若在直线l上存在不同的三个点CBA 使得关于实数x的方程 用心 爱心 专心 2 2 0 x OAxOBBC 有解 点O不在l上 则此方程的解集为 A 1 0 B C 1515 22 D 1 10 已知函数 32 2 1 0 31 4 68 0 xx f xxxg xx xxx 则方程 0g f xa a为正 实数 的根的个数不可能为 A 3 个 B 4 个C 5 个 D 6 个 二 填空 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 已知a b c为 ABC的三个内角A B C的对边 向量m 1 3 n cosA sinA 若n m 且acosB bcosA csinC 则角B 12 下表给出一个 直角三角形数阵 4 1 4 1 2 1 16 3 8 3 4 3 满足每一列的数成等差数列 从第三行起 每一行的数成等比数列 且每一行的公比相等 记第 i 行第 j 列的数为 83 ij a ij i jNa 则等于 13 设 a b c 为三个非零向量 0 2 2abcabc 则bc 的最大值是 14 已知函数 yf x 是定义在R上的增函数 函数 1 yf x 的图象关于点 1 0 对称 若对任意的 x yR 不等式 22 621 8 0f xxf yy 恒成立 则当3x 时 22 xy 的取值范围是 15 已知函数 2342011 1 2342011 xxxx f xx 2342011 1 2342011 xxxx g xx 设 3 3 F xf xg x 且函数 F x的零点均在区间 a ba bZ 内 则 ba的最小值为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算 步骤 用心 爱心 专心 3 16 本小题 12 分 已知向量 1 cos 2 1 1 3sin 2 axbax 为常数 且 22 函数baxf 在R上的最大值为2 1 求实数a的值 2 把函数 yf x 的图象向右平移 12 个单位 可得函数2sin2yx 的图象 求函数 yf x 的解析式及其单调增区间 17 本小题 12 分 已知数列 n a满足条件 1 at 1 21 nn aa 1 判断数列 1 n a是否为等比数列 2 若1t 令 1 2n n nn c aa 1 n nk k Tc 记 证明 1 1 11 n nn c aa 2 1 n T 18 本小题 12 分 如图 某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西 60 的方向以每小时 6 千米的速度步行了 1 分钟以后 在点D处望见塔的底端B在东北方向 上 已知沿途塔的仰角AEB 的最大值为60 1 求该人沿南偏西 60 的方向走到仰角 最大时 走了几分钟 2 求塔的高AB 19 本小题 12 分 已知函数 1 ln sin g xx x 在 用心 爱心 专心 4 1 上为增函数 其中 0 1 求 的取值集合 2 1 ln m f xmxx mR x 若 yf xg x 在 1 上为单调函数 求m的 取值范围 20 本小题 13 分 在数列 n a中 11 2 21 n nn aaa N n 求证 数列 2 n n a 为等差数列 设数列 n b满足 1 log2nab nn 若 234 1111 1 1 1 1 n bbbb 1k n 对一切Nn 且2 n恒成立 求实数k的取值范围 21 本小题 14 分 设函数 2 1 f xx x 0 x 求 f x的极值 2 设函数 2 ln24g xxxxt t为常数 若使 g x xm f x在 0 上 恒成立的实数m有且只有一个 求实数m和t的值 3 讨论方程0ln 2 1 2 xax x xf 的解的个数 并说明理由 用心 爱心 专心 5 2011 2012 学年度天门中学高三上学期期中考试 理科数学试卷 参考答案 一 选择题 BDACA BADDA 二 填空题 11 300 12 1 2 13 2 2 14 13 49 15 9 三 解答题 16 解 1 1 cos 2 3sin 2 2sin 2 1 6 f xxaxxa 3 分 因为函数 f x在R上的最大值为2 所以32a 即1a 5 分 2 由 1 知 2sin 2 6 f xx 把函数 2sin 2 6 f xx 的图象向右平 移 12 个单位可得函数2sin 2 2sin2yxx 2 Zkk 又 0 22 2sin 2 6 f xx 8 分 222 Z 26236 kxkkxkk 所以 yf x 的单调增区间为 Z 36 kkk 12 分 17 解 1 证明 由题意得 1 1222 1 nnn aaa 2 分 又 1 11at 所以 当1t 时 1 n a 不是等比数列 当1t 时 1 n a 是以1t 为首项 2 为公比的等比数列 5 分 2 解 由 知21 n n a 7 分 故 11 1 2211 21 21 2121 nn n nnnn nn c a a 1 11 nn aa 9 分 123 1 11111 1 3372121 nn nn Tcccc 1 1 11 21 n 12 分 用心 爱心 专心 6 18 解 1 依题意知 在 DBC 中30BCD 18045135DBC CD 6000 1 60 100 1801353015D 由正弦定理得 sinsin CDBC DBCD sin100 sin15 sinsin135 CDD BC DBC 62 100 50 62 4 50 31 22 2 2 分 在 Rt ABE 中 tan AB BE AB 为定长 当 BE 的长最小时 取最大值 60 这时BECD 4 分 当BECD 时 在 Rt BEC 中 cosECBCBCE 3 50 31 25 33 2 设该人沿南偏西 60 的方向走到仰角 最大时 走了t分钟 则 25 33 6060 60006000 EC t 33 4 分钟 8 分 2 由 知当 取得最大值 60 时 BECD 在 Rt BEC 中 sinBEBCBCD tan60sintan60ABBEBCBCD 1 50 31 325 33 2 m 即所求塔高为25 33 m 12 分 19 解 1 由题意 2 11 g x 0 x sinx 在 1 上恒成立 即 2 sin1 sin x x 0 0 sin0 xsin10 故 在 1 上恒成立 只需 sin1 10 sin1sin10 2 即 只有 结合 得 所以 的取值集合为 2 5 分 2 由 1 得 f x g x mx m 2lnx x 2 2 mx2xm f x g x x 由于 f x g x 在其 定义域内为单调函数 则 22 mx2xm0mx2xm0 或者在 1 上恒成立 即 22 2x2x mm 1x1x 或者在 1 上恒成立 故m1m0 或者 综上 m 的取值范围是 01 12 分 用心 爱心 专心 7 20 解 1 由12 1 n nn aa 变形得 11 1 2 22 1 nnn nn aa 即 1 1 2 2 2 1 1 nn nn aa 所以1 2 2 1 1 n n n n aa 4 分 故数列 n n a2 是以02 1 a为首项 1为公差的等差数列 5 分 2 由 1 得12 na n n 所以nnab nn 1 log2 7 分 设 1 11 1 1 1 1 1 1 1 432 nbbbb nf n 11111 1 1 1 1 2341nn 34511 2341 n nn 1 2 n 所以 nf是关于n的单调递增函数 则 min 3 2 2 f nf 故实数k的取值范围是 2 3 13 分 21 解 311fxxx 令 0fx 得 12 1 1 3 xx f x区间 11 0 1 1 33 分别单调增 单调减 单调增 于是当 1 3 x 时 有极大值 14 327 f 1x 时 有极小值 1 0f 2 由已知得 2 1 23ln0h xxmg xxxxmt 在 0 上恒成立 由 1 411xx hx x 得 0 1x 时 1 0h x 1 x 时 1 0h x 故1x 时 函数 1 h x取到最小值 从而1mt 同样的 32 2 20hxf xxmxxm 在 0 上恒成立 由 2 4 3 3 hxx x 得 4 0 3 x 时 2 0h 4 3 x 时 2 0h 故 4 3 x 时 函数 2 hx取到最小值 从而 32 27 m 32 1 27 tm 用心 爱心 专心 8 由m的唯一性知 59 27 t 32 27 m 3 记 p x 1 ln 22 f x xax x 2 1 ln 2 xax 当0 a时 p x在定义域 0 上恒大于0 此时方程无解 当0 a时 p x在定义域 0 上为增函数 12 1 10 2 aa p ee 1 1 0 2 p 所以 此时方程有唯一解 当0a 时 2 axa p xx xx 当 0 xa 时 0p x 所以 p x在 0 a为减函数 当 xa 时 0p x 所以 p x在 a 为增函数 所以 当xa 时 min p xpa 1 ln 2 aaa 1 1 ln 2 aa a 当 0 ae 时 0pa 所以 此