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关于Lagrange中值定理的逆命题姓名：韩笑学号：20124415专业：经数12012012-12-26关于Lagrange中值定理的逆命题1：摘要导数作为研究函数的工具，需要在函数和其导数函数之间建立某些关系式，这些关系式通常含有某个中值，称之为微分中值定理。微分中值定理的一个重要形式是Lagrange中值定理，Lagrange中值定理在数学分析中有着极其重要的作用，为更全面的认知这个定理，我们从对其逆命题的研究而去更加深刻的学习和了解Lagrange中值定理。2：关键词（1） Lagrange中值定理；（2） 逆命题；（3） 极值；3：正文一：引言Lagrange微分中值定理:若函数满足如下条件：(i) f在闭区间，上连续；(ii)f在开区间（，）上可导，则至少存在一点（，）使得（）（）（）()二：关于Lagrange中值定理的逆命题的问题探讨设函数（）在闭区间，上连续，在开区间（，）上可导，点（，）.问题：是否存在，（，），使得 （）（）（）（）（）成立?思考:该问题的答案是否定的比如:对于函数（）（），不可能存在（，），（，），使得（）（）（）（），(其中)即该问题中结论一般不成立要使该问题的结论成立，则必须对函数（）加适当的条件 三：Lagrange中值定理的逆命题设（）在（，）内二次可导，若（）（），则存在，（，），使得（）（）（）（）（）四：Lagrange中值定理的逆命题的证明：证明：(i)若（），则要证存在，（，）使（）（）由（）可知（）在处必取得极值，不妨设为极小值。那么存在，使得（）（）（，）（，）记（），（）由连续函数介值定理，对任何（），），必存在（，），（，），使得（）（），故结论成立(ii)若（），则要证存在，（，）使（）（）故作函数（）（），因有（），（），故据前所证，存在，（，）使得（）（）（），也即（）（）（）（）五：Lagrange中值定理的逆命题的应用1：证明：设（）在（，）内次可导，且（）（），（）（）（），则证明存在，（，），使得（）（）（）（）证明：(i) 若（），则由所给条件知，（）在处取得极值，根据Lagrange中值定理的逆命题的证明，存在，（，）使得（）（）（），即待证结论成立(ii) 若（），则作函数（）（）（）（），因有（）（）（）（），（）（），故据前所证知，存在，（，）使得（）（）（），也可得待证结论成立2：证明：设函数（）在区间（，）内可导，证明如果（）（）不是（，）上（）的最值，则存在，（，），使得（）（）（）（）证明：（i）若（）.假设对任何，（，），均有（）（）那么（）在（，）内必为单射，又（）在（，）内连续，则（）在（，）内为单调函数，从而有（）（）（），或者（）（）（），这与（）非（）在（，）内的最值相矛盾，故由反证法知待证结论成立（ii）若（）的情形构造函数（）（）（）（），由于（），故据前所证，存在，（，）使（）（），由此也可得待证结果成立六：参考文献华东师范大学数学系数学分析：上册版北京：高等教育出版社，：汪林数学分析中的问题和反例昆明：云南科技出版社，：周民强数