数学人教版八年级上册多个垂直献等角.doc

“多个垂直献等角”（12.2）的教学设计教学目标： 1.根据“多个垂直”条件的特征，运用“同角或等角的余角相等”，快速证明2个角相等；2. 快速证明2个三角形全等。教学重、难点：快速证明2个三角形全等。教学关键; 优先利用多个垂直条件（熟记熟用角的互余关系，强调多次运用）为我们贡献1组等角是正确、快速证明2个三角形全等的关键.教学建议：千万不要低估了运用“同角或等角的余角相等”的难度（3步并着1步走是众多数学中等生迈不过去的坎）！优先利用2个垂直的条件（熟记熟用角的互余关系，强调多次运用）为我们贡献1组等角是正确、快速证明2个三角形全等的关键（类似的还有“多个平角献等角”）.教学过程：一 搭建台阶（有台阶就上得去！）1 核心问题(1)如图2-1,ABAE于点A,BDDE于点D,且AE,BD相交于点C,则B D(用“”、“=”或“”填空) .(2)如图2-2，在ABC中，BAC=90,且ADBC于点D,则BAD C, DAC B(用“”、“=”或“”填空) .(3)如图2-3，B,C,E三点在同一直线上，且ABBC,DEBE,ACCD,则A DCE, D ACB(用“”、“=”或“”填空) .2 核心问题系统化（说明：图中有相同标记的角都相等）3 由核心知识展开的联想二 问题和解（数学的真正的组成部分是问题和解）1问题1 (问题是数学的心脏) 如图2-4，BD、CE分别是ABC的边AC、AB上的高，点P在BD的延长线上，且BPAC，点Q在CE上，CQAB. 求证APAQ .教师示范做给学生看！（1）让我想想(自然而然地用数学知识去思考问题、解决问题-优秀生的特点之一)站在学生的角度，顺着学生的思路，自然而然地联想并筛选解题知识的线索 .既然图形线密角多，我们就从图形的形成过程中分解出有用的图形 ，由已知“BD、CE分别是ABC的边AC、AB上的高” :由已知“BPAC, CQAB”及已经推导出的1=2 :要证两条边相等（注意这两条边不在同一个三角形中），可以考虑转化为证两条边所在的三角形全等.因为AP所在的三角形有：APB、APD，AQ所在的三角形有：AQC、AQE.观察图形、结合已知条件，AQC与ABP全等的可能性更大，要证AQC与ABP全等,对应顶点可调整为ABPQCA.已知条件有BPAC、CQAB.还缺少ABP=QCA(或 APAQ，而这是需要求的最终结论，不宜考虑).只能选择ABP=QCA.从图上看，线密角多，图形复杂，不知从何下手，有的同学不禁要问：“这证的出来吗？” “我可能做不出，我做不出来”.由BD、CE分别是ABC的边AC、AB上的高，利用高的定义得到BEO=CDO90，利用1、2分别与一组对顶角BOE、COD互余，根据等角的余角相等推出1=2，即ABP=QCA .（2）满分解答证明：如图2-5，(第一步多个垂直献等角） BD、CE分别是ABC的边AC、AB上的高 ， BEO=CDO90.又 1+3=2+4=90, 1=2 .(第二步证全等)在ABP和QCA中: ABQC,12,BPCA , ABPQCA（SAS）.(第三步全等得等边) APAQ .（3）请牢记：习惯于及时追问解题过程中的每一步（一个问题解决之后）-优秀生的特点之二这一步用上了什么数学知识？还可以用什么知识吗？ 寻找一题多解 发现知识之间的联系（4）继续探究探究1:还有其他证法思路吗（数学是变换思考角度）？解法2：由BD、CE分别是ABC的边AC、AB上的高，利用高的定义得到BDA=CEA90，利用1、2都与EAD互余，根据同角的余角相等推出1=2，即ABP=QCA.从而证明三角形全等，得出最终结论 .思路3：由已知条件BPAC（想到BP只在唯一的ABP中，AC在AEC、AQC、ABC中）也可以明确需要证ABP与AQC全等 .思路4：由已知条件CQAB（想到CQ只在唯一的QCA中，AB在ABC、ABD、ABP中）也可以明确需要证ABP与QCA全等 .探究2. 已知条件不变，我还能发现什么新结论？数学的学习是一个不断思考，探究，发现的过程.继续分析可发现AP、AQ不只是相等，还会互相垂直,证明过程如下： 证明：如图2-6, ABPQCA , 1P . P290， 1290. QAP90， AQAP .探究3. 将结论与已知条件中的一项相互交换，能否组成新的命题？并探究其真假.（1）已知：CQAB，AQAP 求证：AQ=AP BPAC ；（2）已知：BPAC，AQAP求证：AQ=AP CQAB .根据刚才“利用垂直关系转化为角相等”的方法，不难得出两个命题都成立.2问题2(问题是数学的心脏) 如图2-7，在ABC中，C=90，BAP中，BAP=90，已知CBO=ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC求证：（1）AOP 是等腰三角形 ；（2）PEAO .学生模仿例题做（教师注意指导有困难的学生）！（1）让我想想(自然而然地用数学知识去思考问题、解决问题-优秀生的特点之一)站在学生的角度，顺着学生的思路，自然而然地联想并筛选解题知识的线索.既然图形线密角多，我们就从图形的形成过程中分解出有用的图形, 由已知“在ABC中，C=90，BAP中，BAP=90，CBO=ABP”（多个垂直）:由已知“1=2”及“OCBC”:由“ODAD,DAPA”（多个垂直）:由已知“AE=OC”及已经推导出的“OC=OD”,由结论“PEAO”，两者综合起来:（2）满分解答证明（1）：如图2-8 ,(第一步多个垂直献等角) C=90，BAP=90, 1+3=90，2+APB=90.又 1=2， 3=APB . 3=4， 4=APB . AP=AO . AOP是等腰三角形 . （2）如图2-9，过点O作ODAB于D， 1=2， CO=DO . AE=OC ， AE=OD . 5+6=90，7+6=90， 5=7.(第二步证全等)在AOD和PAE中， OD=AE , 5=7 ,AO=AP, AODPAE（SAS）.(第三步全等得等角) AEP=ADO=90. PEAO . 三 我帮你构建解题知识系统1 描述问题特征： 有两个或两个以上的垂直的几何图形问题；2 概括解题步骤： 第一步多个垂直献等角；第二步证全等；第三步全等得等角（或等边）.3 积累解题知识：几何图形中两个或两个以上的垂直，往往能根据角之间互余的关系得出相等的角（即多个垂直献等角）；几何图形中两个或两个以上的平角，往往能根据角之间互补的关系得出相等的角（即多个平角献等角）.四 课外训练（趁热打铁再做几道难题优秀生特点之三）遇到难题时提醒自己，每个题目都是帮我们凑好了的，答案就躲在我们旁边，静下心来谁都能找到，只不过是时间的多少而已. 如图2-10所示，CD是经过BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且BEC=CFA= (1)若直线CD经过BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图，若BCA=90，=90，则BE CF; EF (填“”、“”或“=”)；如图，若0180，请证明当BCA+=180中的中的两个结论仍然成立.(2)如图，若直线CD经过BCA的外部，BCA=，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想.学生模仿例题独立做！（1）让我想想(自然而然地用数学知识去思考问题、解决问题-优秀生的特点之一)站在学生的角度，顺着学生的思路，自然而然地联想并筛选解题知识的线索.由已知 “BCA=90，BEC=CFA=90”:由已知 “CA=CB”及已经推导出的“1=3，2=4”，自然而然地联想到“BCECFA” ；由已知“BCA+=180”及三角形内角和“1+2+=180 ”自然而然地联想到BCA=1+2 ；由“BCA=1+2 ， BCA=2+3”，自然而然地联想到“1=3” ；由已知“BEC=CFA=，CA=CB”及已经推导出的“1=3” ：由已经推导出的结论“BCECFA”，自然而然地联想到“BE=CF，CE=AF” ，（2）满分解答解： =，= ； 证明：如图2-11 ,(第一步多个垂直献等角) 1+2+=180,BCA+=180, BCA=1+2 . 又 BCA=2+3 , 1=3 . (第二步证全等)在BCE与CFA中: 1=3 ，BEC=CFA=， CB=CA , BCECFA . (第三步全等得等边) BE=CF，CE=AF . EF= CF-CE, EF= BE-AF . EF=BE+AF . （3）请牢记：习惯于及时追问解题过程中的每一步（一个问题解决之后）-优秀生的特点之二这一步用上了什么数学知识？还可以用什么知识吗？ 寻找一题多解 发现知识之间的联系五 让我来帮老师完善解题知识系统（积累不断涌现的解题知识优秀生特点之三）请时刻牢记：我们做题的目的，不是为了找到