排列组合问题的常用方法总结1.doc

排列组合问题的常用方法总结1第一篇:排列与组合.版块七.排列组合问题的常用方法总结1.学生版 排列组合问题的常用方法总 结1 知识内容 1基本计数原理 加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有N=m1+m2+L+mn种不同的方法又称加法原理 乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同方法，做第n个步骤有mn种不同的方法那么完成这件事共有N=m1m2Lmn种不同的方法又称乘法原理 加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用 2 排列与组合 排列：一般地，从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示 排列数公式：Amn=n(n-1)(n-2)L(n-m+1)，m，nN+，并且mn 全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列 n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用n!表示规定：0!=1 组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m(mn)个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合 组合数：从n个不同元素中，任意取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示 n(n-1)(n-2)L(n-m+1)n! =组合数公式：Cm，m,nN+，并且mn n= m!m!(n-m)! n-mmm-1 组合数的两个性质：性质1：Cm；性质2：Cm（规定C0n=Cnn+1=Cn+Cnn=1） 排列组合综合问题 解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； 2分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏 3排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法 4捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列 5插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空 6插板法：n个相同元素，分成m(mn)组，每组至少一个的分组问题把n个元 1 素排成一排，从n-1个空中选m-1个空，各插一个隔板，有Cnm-1 7分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别一般地平均分成n堆（组），必须除以n！，如果有m堆（组）元素个数相等，必须除以m！ 8错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当n=2，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题 1排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： 元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； 位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； 间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答 2具体的解题策略有： 对特殊元素进行优先安排； 理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； 对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； 对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； 顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； 对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面 对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型 典例分析 直接法 （优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论） 【例1】 从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活 动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有 【例2】 北京财富全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作若每天排早、 中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 44 C121244314C12C8 ACCC BCAA C DCCCA3 14128 A33 12 14 412排列组合问题的常用方法总结1 48 1214 412 48 【例3】 在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点，y轴正半轴有3个点，将x轴上这5 个点和y轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有（ ） A30个 B35个 C20个 D15个 【例4】 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球， 从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？ 若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？ 【例5】 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 【例6】 有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷 也会划右舷从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？ 111 【例7】 若xA，则A，就称A是伙伴关系集合，集合M=-1，0，12，3，4的 32x 所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ） A15 B16 C28 D25 【例8】 从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组， 则不同的抽取方法种数为_ 2 AC36C4 2 BC6C34 5 CC10 2 DA36A4 【例9】 某城市街道呈棋盘形，南北向大街3条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东 北角，路程最短的走法有多少种 【例10】 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级， 若规定从二楼到三楼用7步走完，则上楼梯的方法有_种 【例11】 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先 由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过程有多少种？第二篇:高中数学完整讲义排列与组合7.排列组合问题的常用方法总结1 高中数学讲义 排列组合问题的常用方法总结1 知识内容 1基本计数原理 加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法又称加法原理 乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同方法，做第n个步骤有mn种不同的方法那么完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法又称乘法原理 加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用 2 排列与组合 排列：一般地，从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Am n表示 (n-m+1)，m，nN+，并且mn 排列数公式：Am排列组合问题的常用方法总结1 n=n(n-1)(n-2) 全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列 n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用n!表示规定：0!=1 组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m(mn)个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合 组合数：从n个不同元素中，任意取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号Cm n表示 组合数公式：Cm n=n(n-1)(n-2)(n-m+1)n!=，m,nN+，并且mn m!m!(n-m)! n-mmm-1组合数的两个性质：性质1：Cm；性质2：Cm（规定C0 n=Cnn+1=Cn+Cnn=1） 思维的发掘 能力的飞跃 1 高中数学讲义 排列组合综合问题 解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； 2分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏 3排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法 4捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列 5插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空 6插板法：n个相同元素，分成m(mn)组，每组至少一个的分组问题把n个元素排成一排， m-1从n-1个空中选m-1个空，各插一个隔板，有Cn-1 7分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别一般地平均分成n堆（组），必须除以n！，如果有m堆（组）元素个数相等，必须除以m！ 8错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当n=2，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题 1排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： 元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； 位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； 间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答 2具体的解题策略有： 对特殊元素进行优先安排； 理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； 对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； 对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； 顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； 对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面 对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型 典例分析 直接法 （优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论） 【例1】 从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻 译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有 2 思维的发掘 能力的飞跃 高中数学讲义 【例2】 北京财富全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作若每天排早、中、晚三班， 每班4人，每人每