解析几何离心率(教师版)

第 1 页 共 14 页 解析几何小练习 以离心率为主 解析几何小练习 以离心率为主 1 若直线通过点 则 1 xy ab cossin M A B C D 22 1ab 22 1ab 22 11 1 ab 22 11 1 ab 答案 D 解析 方法 1 由题意知直线与圆有交点 则1 xy ab 22 1xy 22 22 111 1 11ab ab 1 方法 2 设向量 由题意知 1 1 cos sin a b m n cossin 1 ab 由可得 m nm n 22 cossin1 1 abab 1 2 如图 AB 是平面的斜线段 A 为斜足 若点 P 在平面内运动 使得 ABP 的面aa 积为定值 则动点 P 的轨迹是 A 圆 B 椭圆 C 一条直线 D 两条平行直线 答案 B 解析 本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题 考虑到三角形面积为定 值 底边一定 从而 P 到直线 AB 的距离为定值 若忽略平面的限制 则 P 轨迹类似为 一以 AB 为轴心的圆柱面 加上后者平面的交集 轨迹为椭圆 还可以采取排除法 直线是不可能的 在无穷远处 点到直线的距离为无穷大 故面 积也为无穷大 从而排除 C 与 D 又题目在斜线段下标注重点符号 从而改成垂直来 处理 轨迹则为圆 故剩下椭圆为答案 3 如图 和分别是双曲线的两个焦点 和是以 1 F 2 F 0 0 1 2 2 2 2 ba b r a x AB 为圆心 以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点 且 是等边三角形 O 1 FOABF2 则双曲线的离心率为 A B C D 35 2 5 31 第 2 页 共 14 页 答案 D 解析 如图 和分别是双曲线的两个焦点 和 1 F 2 F 0 0 1 2 2 2 2 ba b r a x A 是以为圆心 以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点 且 是等BO 1 FOABF2 边三角形 连接 AF1 AF2F1 30 AF1 c AF2 c 双32 31 ac 曲线的离心率为 选 D 31 4 已知抛物线的焦点为 准线与轴的交点为 点在上且 2 8C yx FxKAC 则的面积为 2AKAF AFK 481632 答案 B 解析 抛物线的焦点为 准线为 2 8C yx 2 0F 2x 2 0K 设 过点向准线作垂线 则 00 A xy AAB 0 2By 又2AKAF 00 22AFABxx 由得 即 解得 222 BKAKAB 2 2 00 2yx 2 00 82xx 24A 的面积为 故选 BAFK 0 11 4 48 22 KFy 点评 此题重点考察抛物线的第二定义 抛物线中与焦点 准线有关三角形问题 点评 由题意准确化出图象 利用离心率转化位置 在中集中条件求出是ABK 0 x 关键 5 椭圆的焦点为 两条准线与 x 轴的交点分别为 M N 若1 2 2 22 b yx 21 F F 则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 21 2FFMN 第 3 页 共 14 页 A B C D 1 2 2 2 y x 1 32 22 yx 1 22 22 yx 1 32 22 yx 答案 A 解析 由 可得 所以 即 可见 e 的最小 21 2FFMN c c a 222 2 2 1 2 2 a c 2 1 2 e 值为 2 2 又 1122 2222 caba 6 直线 l 过双曲线 1 的右焦点 斜率 k 2 若 l 与双曲线的两个交点分别在双 2 2 2 2 b y a x 曲线左 右两支上 则双曲线的离心率 e 的取值范围是 A e B 1 e C 1 e235 5 答案 D 解析 如图 2 即 b2 4a2 c2 a2 4a2 e a b 5 7 已知双曲线的左顶点 右焦点分别为 A F 点 B 0 b 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 若 则该双曲线离心率 e 的值为 BFBABFBA A B C D 2 13 2 15 2 15 2 答案 B 解析 考点 双曲线的简单性质 分析 通过 判断三角形 ABF 的关系 利用三角形的关系 得BFBABFBA 到 a b c 的关系 结合双曲线 a b c 关系求出双曲线的离心率即可 解 因为双曲线的左顶点 右焦点分别为 A F 点 B 0 b 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 所以 AB BF 三角形 ABF 是直角三角形 BFBABFBA 第 4 页 共 14 页 所以 AB 2 BF 2 AF 2 即 c2 b2 c2 a c 2 b2 c2 a2 3c2 a2 a c 2 c2 a2 ac 0 e2 e 1 0 解得 e e 舍去 51 2 15 2 故答案为 B 8 设分别为具有公共焦点的椭圆和双曲线的离心率 P 为两曲线的一个 21 e e 21 FF与 公共点 且满足的值为 2 2 2 1 21 11 0 ee PFPF 则 A 2B C 4 D 2 3 2 5 答案 A 9 已知双曲线 a 0 b 0 的一条渐近线为 离心率 22 22 1 xy ab ykx 0 k 则双曲线方程为5ek A 1 B 2 2 x a 2 2 4 y a 22 22 1 5 xy aa C D 22 22 1 4 xy bb 22 22 1 5 xy bb 答案 C 解析 所以 5 c ek a 222 5 b k a c k a abc 22 4ab 10 椭圆 1 a b 0 的离心率 e 左焦点为 F A B C 为其三个顶点 直线 2 2 a x 2 2 b y 2 1 CF 与 AB 交于 D 则 tan BDC 的值等于 第 5 页 共 14 页 A 3 B 3 C D 33 5 3 5 3 答案 A 解析 e a c 2 1 a 2c b c 3 直线 AB 的方程为 1 kAB 同理 kFC c x 2 c y 32 3 3 tan BDC 3 ABFC ABFC kk kk 1 2 3 1 2 3 3 3 11 椭圆的一个焦点和短轴的两个端点构成一个正三角形 则该椭圆的离心率为 A B 1 2 3 2 C D 以上都不正确 3 3 答案 B 解析 如图 cos30 c a 3 2 12 已知椭圆 双曲线和抛物线的离心率分别为 22 1 53 xy 22 1 53 xy 2 4yx 则 123 e e e A B C D 1 23 eee 1 23 eee 1 23 eee 1 23 eee 答案 C 解析 试题分析 椭圆的离心率 双曲线的离 22 1 53 xy 1 10 5 e 22 1 53 xy 心率 抛物线的离心率 2 2 10 5 e 2 4yx 3 1e 1 2 2 10104 1 555 ee 第 6 页 共 14 页 1 23 eee 考点 圆锥曲线的离心率 点评 椭圆和双曲线的离心率都是 抛物线的离心率是定值 1 椭圆中 c e a 双曲线中 222 cab 222 cab 13 双曲线的离心率是 2 则的最小值为 0 01 2 2 2 2 ba b y a x a b 3 1 2 A B C 2 D 1 3 32 3 3 答案 A 解析 双曲线的离心率为 2 所以有 所以 所以41 2 2 2 a b e 22 3ab a a a b 3 13 3 1 22 故选 A a a 3 1 3 32 14 若双曲线的离心率为 e 过双曲线的右焦点且斜率为 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 22 e 的直线与双曲线的两个交点分别在第三 四象限 则离心率的取值范围是 e A B C D 3 5 1 e 3 5 0 e1 e 3 5 e 答案 A 解析 如图所示 交点在第三 四象限 则满足 2 2 2 022 22 bb ee aa 即 因此选 A 22 5 48411 3 eeee 15 如图 在等腰梯形 SBCD 中 AB CD 且 AB 2AD 设 以 A B 0 2 DAB 为焦点且过点 D 的双曲线离心率为 以 C D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 1 e 2 e 第 7 页 共 14 页 则 A 随着角的增大 增大 为定值 1 e 1 2 ee B 随着角的增大 减小 为定值 1 e 1 2 ee C 随着角的增大 增大 也增大 1 e 1 2 ee D 随着角的增大 减小 也减小 答案 B 1 e 1 2 ee 解析 该试题考查的知识点主要有 椭圆 双曲线及其离心率的定义 平面几何和 三角函数的简单知识 函数的单调性 思路分析 首先以角为参变量 根据椭圆和双曲线的离心率定义 结合平面几何的 简单知识 把和都表示为的函数 其次 根据有关函数单调性的知识 特别是复 1 e 2 e 合函数的单调性知识 判别函数的单调性 最后 通过计算 观察是否是常数函 1 e 1 2 ee 数 以确定是否为定值 如果不为常数函数 还要继续考查的单调性 1 2 ee 1 2 ee 1 2 ee 具体解答过程 由题可知 双曲线离心率与椭圆离心率 1 AB e DBDA 2 CD e BDBC 设则 故 ADBCt 2ABt 22 cosCDtt 54cosBDt 1 2 54cos1 e 2 22cos 54cos1 e 当时 增大 减小 导致减小 0 2 cos 1 e 故选 B 12 222cos 1 54cos154cos1 e e 试题点评 从以上解题过程可以看出 该题的综合性是比较强的 要完整地做出这道 题 需要考生把相关的知识点有机地结合起来 并进行适当的运算 该题属于中等难度 的题 16 曲线与曲线有 61 610 22 a a y a x 951 95 22 b b y b x A 相同的焦距 B 相同的离心率 C 相同的焦点 D 相同的准线 答案 A 解析 由知这是焦点在轴上的椭圆 由 61 610 22 a a y a x x 22 1 59 xy bb 第 8 页 共 14 页 得 即这是焦点在轴上的双曲线 故排除 59b 951 59 22 b b x b y y B C D 选择 A 17 已知双曲线的左 右焦点分别为 若 22 22 1 0 0 xy ab ab 12 0 0 FcF c 双曲线上存在一点使 则该双曲线的离心率的取值范围是 P 12 21 sin sin PFFa PF Fc 答案 121 解析 解法 1 因为在中 由正弦定理得 12 PFF 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 则由已知 得 即 且知点 P 在双曲线的右支上 1211 ac PFPF 12 aPFcPF 设点由焦点半径公式 得 则 00 xy 1020 PFaex PFexa 00 a aexc exa 解得 由双曲线的几何性质知 整理得 0 1 1 a caa e x e cae e 0 1 1 a e xaa e e 则 解得 故椭圆的离心率 2 210 ee 2121 1 ee 又 1 21 e 解法 2 由解析 1 知由双曲线的定义知 12 c PFPF a 由椭圆的几何性质知 2 12222 2 22 ca PFPFaPFPFaPF aca 则即 所以以下同解析 1 2 22 2 2 20 a PFcacacaca ca 则既 2 210 ee 18 设 F1 F2是椭圆 C 的两个焦点 若在 C 上存在一点 P 22 22 1 xy ab 0 ab 使 PF1 PF2 且 PF1F2 30 则 C 的离心率为 答案 31 解析 试题分析 因为 PF1 PF2 且 PF1F2 30 所以 PF1 PF2 12sin60 3FFc 第 9 页 共 14 页 又 PF1 PF2 2a 所以 2a 12sin30 FFc 3cc 2 31 c a 31 考点 椭圆方程和性质 19 过抛物线 2 2ypx 0 p 焦点F的弦AB 过 A B两点分别作其准线的垂线 AM BN 垂足分别为 M N AB倾斜角为 若 1122 A x yB xy 则 2 12 4 p x x 2 21 pyy 1 cos p AF 1 cos p BF 2 AFBF AFBFp AB 12 2 2 sin p xxp 0FM FN A 其中结论正确的序号为 答案 解析 试题分析 抛物线焦点 直线 AB 斜率为 则直线 AB 方程为 0 2 p Ftank 代入抛物线方程并整理得 有韦达定理 2 p yk x 22 222 2 0 4 k p k xp kx 可得 2 12 4 p x x 所以 由题 2 12 22 2 2p kp xxp kk 224 1212 4y yp x xp 意可知异号 所以 2 21 pyy 故 正确 12 y y 由抛物线的定义知 整理可得cos cosAFpAFBFpBF 1 cos p AF 1 cos p BF 故 正确 由抛物线的定义知 12 22 pp AFxBFx 1212 22 pp ABAFBFxxxxp 2 1 2 1 p k 故 正确 2 1 2 1 tan p 2 2 sin p 由 可知 故 正确 2 2 2 sin 1 cos1 cos p AFBFAB pp AFBFAFBFp 由抛物线定义知 所以 AMAF AMAF AMFAFMBNFNFB 设抛物线准线与 x 轴交点为 E 则平行可得 所以 AMFMFEBNFNFE 即 所以 所以0FM FN A 故 90MFENFE 90MFN MFNF 正确 第 10 页 共 14 页 考点 抛物线定义 及直线与抛物线的位置关系 20 已知抛物线 2 4 0 ypx p 与椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 有相同的焦点F 点 A是两曲线的交点 且AFx 轴 则椭圆的离心率为 答案 21 解析 试题分析 依题意 抛物线 2 4 0 ypx p 的焦点 也是椭圆 0 F p 22 22 1 0 xy ab ab 的焦点 所以 点A是两曲线的交点 且 222 abp AFx 轴 则点A横坐标为 代入抛物线方程得或 将其代p 2 A pp 2 A pp 入椭圆方程中得 又 所以 而椭圆的离 22 22 4 1 pp ab 222 abp 22 222 4 1 pp aap 心率 所以 得 2 2 2 pp ee aa 2 2222 2 2 2222222 2 4 44 1 1 p pppe a e apaapae a 又因为椭圆离心率范围为 所以 即 2 32 2e 0 1 22 32 2 21 e 21e 考点 椭圆与抛物线的几何性质 21 抛物线的焦点为 点为该抛物线上的动点 又已知点 xy8 2 F yx 0 2 A 则的取值范围是 PF PA 答案 2 1 解析 试题分析 由抛物线的定义可得 又2 xPF xxyxPA8 2 2 222 44 8 1 2 8 2 2 2 xx x x xx PF PA 当时 当时 0 x1 PF PA 0 x 4 4 8 1 44 8 1 2 x x xx x PF PA 第 11 页 共 14 页 当且仅当即时取等号 于是 4 4 2 4 x x x x x x 4 2 x84 4 x x 1 4 4 8 x x 2 1 4 4 8 1 x x 综上所述的取值范围是 PF PA 2 1 考点 抛物线的定义 最值问题 基本不等式 22 P 为抛物线上任意一点 P 在轴上的射影为 Q 点 M 4 5 则 PQ 与 2 4yx y PM 长度之和的最小值为 答案 341 解析 试题分析 设点到准线的距离为 则 由抛P1x dPQPM d1PM 物线定义 故只需最小 其最小值为 M F 两点之间的距离为dPF PF PM 所以的最小值为 34PQPM 341 x y F M Q P d O 考点 1 抛物线定义和标准方程 2 平面内两点之间的距离 23 已知椭圆的离心率 A B 是椭圆的左 右顶点 P 22 22 1 0 xy ab ab 3 2 e 是椭圆上不同于 A B 的一点 直线 PA PB 倾斜角分别为 则 cos cos 答案 3 5 解析 试题分析 由可得 让 P 取在短轴的顶点上则 又 3 2 e 2ab 11 tan tan 22 第 12 页 共 14 页 因为 本题采用特值法使 cos cos coscossinsin1tantan coscossinsin1tantan 3 5 得解题简单 由于点是动点所以不用特值法很难解 这也是数学选择天空题中的常用的 一种有效的方法 考点 1 椭圆的离心率 2 三角函数的运算 3 特值法的使用 24 已知双曲线 过其右焦点作圆的两条切线 切 22 2 1 0 9 xy b b F9 22 yx 点记作 双曲线的右顶点为 则双曲线的离心率为 C DE150CED 答案 2 3 3 解析 试题分析 而 0 150CED 0 75CEO OCOE 0 75OCE 0 15ECF 在中 0 75ECFCFECEO 0 60CFE Rt COF 即 3OCa OFc 0 3 sin60 2 a c 2 3 3 c e a 考点 1 平面几何中角度的换算 2 双曲线的离心率 25 已知双曲线 点 F1 F2为其两个焦点 点 P 为双曲线上一点 若 1 22 yx 1 PF 则 2 PF 的值为 1 PF 2 PF 答案 2 3 解析 试题分析 由条件知 而 2c 1ab 22 12 12 8 2 PFPF PFPF 12 2PFPF 222 121212 2 8412PFPFPFPFPFPF 12 2 3