安徽省马鞍山市高考数学二模试卷理科卷.pdf

第 1 页 共 17 页 高考数学二模试卷 理科 高考数学二模试卷 理科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 已知复数 z i 为虚数单位 则 z A B 2C D 2 已知全集 U R 集合 A x x 1 B x log2x 1 则 UA B A x x 1 B x 0 x 1 C x x 1 D x 0 x 1 3 已知实数 x y 满足约束条件 则 z 2 2x y的最大值为 A B C D 2 4 在由直线 x 1 y x 和 x 轴围成的三角形内任取一点 x y 记事件 A 为 y x3 B 为 y x2 则 P B A A B C D 5 若二项式 x n的展开式中第 m 项为常数项 则 m n 应满足 A 2n 3 m 1 B 2n 3mC 2n 3 m 1 D 2n m 6 已知某几何体的三视图如图所示 网格中小正方形的 边长为 1 则该几何体的表面积为 A 20 B 22 C 24 D 19 2 7 已知定义在 上的函数 满足 则函数的图象关 于 A 直线对称B 直线对称 C 原点对称D 轴对称 8 已知函数 f x cos 2x cos2x 将函数 f x 的图象向左平移 0 个 单位长度 得到函数 g x 的图象 若函数 g x 的图象关于 y 轴对称 则 的 最小值是 A B C D 第 2 页 共 17 页 9 如图 半径为 R 的球的两个内接圆锥有公共的底面 若两个 圆惟的体积之和为球的体积的 则这两个圆锥高之差的绝 对值为 A B C D R 10 已知抛物线 C x2 2py p 0 上点 P 处的切线与 y 轴交于点 Q F 为抛物线 C 的 焦点 若 PF 5 则 QF A 4B 5C 6D 7 11 已知圆 C1 C2 C3是同心圆 半径依次为 1 2 3 过圆 C1上点 M 作 C1的切线 交 C2于 A B 两点 P 为圆 C3上任一点 则的取值范围为 A 8 4 B 0 12 C 1 13 D 4 16 12 已知函数 f x x 2 kx ex x 0 若 f x 0 的解集为 a b 且 a b 中恰有两个整数 则 实数 k 的取值范围为 A B C D 1 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 已知 cos 0 则 sin 14 已知函数 f x 若 f 5a 2 f 2a2 则实数 a 的取值范围为 15 已知双曲线 1 上的一点到两渐近线的距离之积为 若双曲线的离心率为 2 则双曲线的虚轴长为 16 在 ABC 中 BAC 60 点 D 在线段 BC 上 且 BC 3BD AD 2 则 ABC 面积 的最大值为 三 解答题 本大题共 7 小题 共 80 0 分 17 已知数列 an 的前 n 项和 Sn满足 Sn an 1 1 且 a1 1 数列 bn 中 b1 1 b5 9 2bn bn 1 bn 1 n 2 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 若 cn anbn 求 cn 的前 n 项的和 Tn 第 3 页 共 17 页 18 如图 半圆柱 O O 中 平面 ABB A 过上下底面 的圆心 O O 点 C D 分别在半圆弧 AB A B 上且 1 求证 CD 平面 ABB A 2 若 2AC AB AA 求二面角 C AD B 的余弦值 19 已知椭圆 C 1 a b 0 的右焦点为 F 点 M 1 在椭圆 C 上且 MF 垂直于 x 轴 1 求椭圆 C 的方程 2 设 P 为椭圆 C 上的动点 直线 PM 与 x 4 交于点 N 求证 点 N 到直线 PF 的距离为定值 并求出这个定值 20 某班的健康调查小组从所在学校共选取 15 名男同学 其年龄 身高和体重数据 如表所示 本题中身高单位 cm 体重单位 kg 年龄 身高 体重 年龄 身高 体重 15 154 48 161 65 168 64 18 166 64 168 72 182 74 16 158 50 162 59 175 80 19 160 51 172 68 178 90 17 161 60 167 62 173 68 1 如果某同学 身高一体重 100 则认为该同学超重 从上述 15 名同学中 任选两名同学 其中超重的同学人数为 X 求 X 的分布列和数学期望 2 根据表中数据 设计两种方案预测学生身高 方案 建立平均体重与年龄 的线性回归模型 表中各年龄的体重按三名同学的平均体重计算 数据整理如表 第 4 页 共 17 页 i12345 年龄 ti1516171819 平均体重 si5963 3647069 7 方案 建立平均体重与平均身高的线性回归模型 将所有数据按身高重新分成 6 组 153 158 158 163 163 168 168 173 173 178 178 183 并将每组的平均身高依次折算为 155 160 165 170 175 180 各组的体 重按平均体重计算 数据整理如表 i123456 平均身高 xi 155160165170175180 平均体重 yi 485763687482 i 用方案 预测 20 岁男同学的平均体重和用方案 预测身高 168cm 的男同学 的平均体重 你认为哪个更合理 请给出理由 ii 请根据方察 建立平均体重 y 与平均身高 x 的线性回归方程 y x 数据 精确到 001 附 b a 168775 21 已知函数 f x x a lnx ln lnx 1 当 a e 时 求曲线 y f x 在点 e f e 处的切线方程 2 若 f x 1 ln2 恒成立 求实数 a 的取值范围 22 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C 的极坐标方程为 cos2 4cos 0 直线 l 的参数方 程为 1 求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程 2 若直线 l 与曲线 C 交于 A B 两点 且 AB 8 求以 AB 为直径的圆的方程 第 5 页 共 17 页 23 设函数 f x 2x 1 x 1 1 求不等式 f x 2 的解集 2 当恒成立 求实数 a 的取值范围 第 6 页 共 17 页 答案和解析答案和解析 1 答案 A 解析 解 z z 故选 A 利用复数代数形式的乘除运算化简 再由复数模的计算公式求解 本题考查复数代数形式的乘除运算 考查复数模的求法 是基础题 2 答案 D 解析 解 全集 U R 集合集合 A x x 1 x x 1 或 x 1 B x log2x 1 x 0 x 2 UA x 1 x 1 UA B x 0 x 1 故选 D 解不等式求出集合 A B 根据补集与交集的定义计算即可 本题考查了解不等式与集合的运算问题 是基础题 3 答案 C 解析 解 由实数 x y 满足约束条件 作出可行域如图 则 z 2 2x y的最 大值就是 u 2x y 的最小值时取得 联立 解得 A 1 1 化目标函数 u 2x y 为 y 2x u 由图可知 当直线 y 2x u 过 A 时 直线在 y 轴上 的截距最小 此时 z 有最大值为 2 2 1 故选 C 由约束条件作出可行域 化目标函数为直线方程的斜截式 数形结合得到最优解 联立 方程组求出最优解的坐标 代入目标函数得答案 本题考查简单的线性规划 考查了数形结合的解题思想方法 是中档题 4 答案 D 解析 解 设 S AB 表示 A 和 B 同时发 生所构成区域的面积 S A 表示 事件 A 发生构成区域的面积 根据条件概率的概率计算公式 P B A 第 7 页 共 17 页 故选 D 根据 P B A 可得 其中 S AB 表示 A 和 B 同时发生所构成区域的面积 S A 表示事件 A 发生构成区域的面积 本题考查了几何概型 条件概率 定积分等知识 属于中档题 5 答案 A 解析 解 二项式 x n的展开式中第 m 项为常数项 即 Tm 1 m 1 为常数项 n 0 且 m 1 n 即 2n 3m 3 且 m n 1 故选 A 在第 m 项的通项公式中 令未知数的系数等于零 可得结论 本题主要考查二项式定理的应用 二项展开式的通项公式 二项式系数的性质 属于基 础题 6 答案 B 解析 解 根据三视图知 该几何体是棱长为 2 的正方体 截去两个三棱锥剩余的部 分 如图所示 则该几何体的表面积为 S 6 22 4 2 1 2 1 1 2 22 故选 B 根据三视图知该几何体是棱长为 2 的正方体截去两个相同的三棱锥剩余部分 结合图中 数据求出该几何体的表面积 本题利用几何体三视图考查了求简单组合体表面积应用问题 是基础题 7 答案 B 解析 分析 本题考查了函数图象的变换 属于基础题 根据图象变换即可求出答案 解答 解 由 y f x 关于 y 轴对称 y f x 向右平移一个单位可得 得函数 关于 x 1 对称 即函数 y g x 的图象关于直线 x 1 对称 故选 B 第 8 页 共 17 页 8 答案 A 解析 解 因为 f x cos2xcos sin2xsin cos2x sin2x cos2x sin 2x 将 f x sin 2x 向左平移 个单位长度得 g x sin 2 x sin 2x 2 由 g x 的图象关于 y 轴对称可得 2 k 解得 k Z 0 k 0 时 的最小值为 故选 A 因为 f x sin 2x g x sin 2x 2 2 k 本题考查了函数 y Asin x 的图象变换 属中档题 9 答案 D 解析 解析 本题考查圆锥与球的体积 考查数形结合的解题思想方法 属于中档题 设球的半径为 R 圆锥底面半径为 r 上面圆锥的高为 h 在 OO1C 中 求得 r2 2Rh h2 写出两个圆锥的体积和 再由体积比求得 h 与 R 的关系得答案 解答 解 设球的半径为 R 圆锥底面半径为 r 上面圆锥的高为 h 则下面圆锥的高为 2R h 在 OO1C 中 有 R2 r2 R h 2 得 2Rh 两个圆锥体积和为 球的体积 由题意 4h2 8Rh 3R2 0 即 下面的圆锥的高为 则这两个圆锥高之差的绝对值为 R 故选 D 第 9 页 共 17 页 10 答案 B 解析 解 抛物线 C x2 2py p 0 上点 P m 函数的导数为 y P 处的切线的斜率为 切线方程为 y 切线与 y 轴交于点 Q 0 F 为抛物线 C 的焦点 0 若 PF 5 可得 则 QF 故选 B 设出 P 的坐标 利用函数的导数求出切线的斜率 求出切线方程 得到 Q 的坐标 然 后求解 QF 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用 抛物线的简单性质的应用 是基本知识 的考查 11 答案 C 解析 解 由题意可知 向量 的夹角 为 则 2 取 AB 中点为 C 则 2 设向量 的夹角为 0 因为 2 9 2 2 7 2 7 2 cos 7 6cos 1 13 故选 C 由平面向量数量积的性质及其运算及平面向量的线性运算得 2 9 2 2 7 2 7 2 cos 7 6cos 1 13 得解 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及平面向量的线性运算 属中档题 12 答案 C 第 10 页 共 17 页 解析 解 设 g x 则 g x 当 0 x 1 时 g x 0 当 x 1 时 g x 0 所以函数 g x 在 0 1 为增函数 在 1 为减函数 f x 0 的解集为 a b 等价于 kx 2 的 解集为 a b 即当且仅当在区间 a b 上函数 g x 的图象在直线 y kx 2 的上方 函数 g x 的图象与直线 y kx 2 的位置关系如图所示 由图可知 解得 故选 C 利用导数研究函数的图象得 设 g x 则 g x 当 0 x 1 时 g x 0 当 x 1 时 g x 0 所以函数 g x 在 0 1 为增函数 在 1 为 减函数 作函数 g x 的图象与直线 y kx 2 由其位置关系得 解得 得解 本题考查了函数图象的作法及利用导数研究函数的图象 属难度较大的题型 13 答案 解析 解 0 又 cos sin sin sin sin cos cos sin 故答案为 由已知求得 sin 再由 sin sin 展开两角差的正弦求解 本题考查三角函数的化简求值 考查两角差的正弦 是基础题 第 11 页 共 17 页 14 答案 2 解析 解 函数 f x 可得 x 1 时 f x 1 x 1 时 f x 递增 f x 1 对 f 5a 2 f 2a2 若 5a 2 1 即 a 可得 f 5a 2 1 不成立 则 5a 2 1 即 a 且 5a 2 2a2 解得 a 2 可得 a 2 故答案为 2 判断 f x 为递增函数 且最小值为 1 可得 5a 2 1 且 5a 2 2a2 解不等式可得所 求范围 本题考查分段函数的单调性的判断和应用 解不等式 考查运算能力和推理能力 属于 中档题 15 答案 解析 解 根据双曲线 1 上的两条渐近线的方程为 bx ay 0 或 bx ay 0 依题意 点 P m n 到两条渐近线的距离之积为 即 又点 P m n 为双曲线上的一点 b2m2 a2n2 a2b2 双曲线的离心率为 2 可得 b 则双曲线的虚轴长为 2 故答案为 2 根据双曲线方程可得它的渐近线方程为 bx ay 0 利用点到直线的距离 结合已知条件 列式 结合离心率 即可得 b 本题给出双曲线点到渐近线的距离乘积 双曲线的离心率 着重考查了双曲线的标准方 程和简单几何性质等知识 属于中档题 16 答案 解析 解 设 BAD 则 0 60 BC 3BD AD 2 S ABD S ABC AB AD sin AB AC sin60 第 12 页 共 17 页 AC 4sin 同理可得 AB 2sin 60 S ABC AB AC sin60 2sin 60 4sin 6 sin sin 60 3 sin cos sin2 3 sin2 cos2 3sin 2 30 0 60 30 2 30 150 sin 2 30 1 3sin 2 30 当 30 时取等号 故 ABC 面积的最大值为 故答案为 设 BAD 则 0 60 根据三角形的面积公式即可求出 AC AB 则可得 S ABC AB AC sin60 3sin 2 30 根据三角函数的性质即可求出 本题考查了余弦定理和基本不等式 以及三角形的面积公式 考查了运算能力和转化能 力 属于中档题 17 答案 解 1 由题意 可知 对于数列 an 当 n 1 时 a1 1 当 n 2 时 an Sn Sn 1 an 1 1 an 1 an 1 an an 1 2an 数列 an 是以 1 为首项 2 为公比的等比数列 an 2n 1 对于数列 bn 2bn bn 1 bn 1 n 2 根据等差中项判别法 可知 数列 bn 是等差数列 又 公差 d 数列 bn 是以 1 为首项 2 为公差的等差数列 bn 1 n 1 2 2n 1 2 由 1 可知 cn anbn 2n 1 2n 1 Tn c1 c2 cn 1 1 3 21 5 22 2n 1 2n 1 2n 1 2n 可得 2 2n 1 2n 1 2n 1 4 1 2 22 2n 2 2n 1 2n 第 13 页 共 17 页 1 4 2n 1 2n 1 4 2n 1 1 2n 1 2n 3 2n 2n 3 Tn 2n 3 2n 3 解析 本题第 1 题对于数列 an 可利用公式 an Sn Sn 1得到 an 1和 an的递推关系式 根据递推关系式判断出数列 an 是等比数列 即可求出通项公式 对于数列 bn 可根 据等差中项判别法判别出数列 bn 是等差数列 也可求出通项公式 第 2 题先求出 cn 的通项公式 然后根据 cn的通项公式的特点利用错位相减法求出前 n 项的和 Tn 本题第 1 题主要考查根据递推公式求出通项公式 以及据等差中项判别法判别出数 列是等差数列 然后求出通项公式 第 2 题主要考查利用错位相减法求出数列的前 n 项和 18 答案 1 证明 在底面半圆周上取点 E 使得 连接 DE 则 DE BB 又 ABC BCE AB CE 又 AB BB B CE DE E 平面 CDE 平面 ABB A 又 CD 平面 CDE CD 平面 ABB A 2 解 以 O 为原点建立空间坐标系 O xyz 设 OA 1 则 A 0 1 0 B 0 1 0 C 0 D 2 2 0 0 2 0 设平面 ACD 的法向量为 x y z 则 即 令 x 1 可得 1 同理可得平面 ABD 的法向量为 1 0 cos 二面角 C AD B 的余弦值为 解析 1 在底面半圆周上取点 E 使得 连接 DE 证明平面 CDE 平面 ABB A 得出 CD 平面 ABB A 2 建立空间坐标系 求出平面 ABD 和平面 ACD 的法向量 计算法向量的夹角得出 二面角的大小 本题考查了线面平行的判定 空间向量与二面角的计算 属于中档题 第 14 页 共 17 页 19 答案 解 1 由题 意可得 解得 a2 4 b2 3 故椭圆 C 的方程为 1 证明 2 设点 P 的坐标为 x0 y0 由 M 1 可得直线 PM 的方程为 y x 1 将 x 4 代入可得 y 故点 N 4 F 1 0 直线 PF 的方程为 y x 1 即 y0 x 1 x0 y y0 0 点 N 到直线 PF 的距离为 3 故 N 到直线 PF 的距离为定值 定值为 3 解析 1 由题意可得 解得 a2 4 b2 3 即可求出椭圆的方程 2 设点 P 的坐标为 x0 y0 由 M 1 求出直线 PM 的方程 即可求出点 N 的坐标 再求出直线 PF 的方程 由点到直线的距离公式 结合点 P 在椭圆上 化简整 理可得点 N 到直线 PF 的距离为定值 本题考查椭圆的标准方程的求法 考查定值的证明 解题时要认真审题 注意函数与方 程思想的合理运用 属于中档题 20 答案 解 根据表中数据 15 人中 有 4 人超重 故随机变量 X 的所有取值为 0 1 2 P X 0 P X 1 P X 2 所以 X 的分布列为 X012 P 所以 E X 1 2 2 i 对比两种方案 用方案 预测身高 168cm 的男同学的平均体重更合理 因为身高和体重的相关关系强于年龄与体重的相关关系 第 15 页 共 17 页 ii b 2 295 又因为 在回归直线上 a b 2 295 65 333 平均体重 y 与平均身高 x 的线性回归方程 y 2 295x 65 333 解析 1 15 人中有 4 人超重 故取两人超重的人数 X 的所有取值为 0 1 2 X 服从超几何分布 根据计数原理计算概率 列分布列 求期望即可 2 i 用方案 预测身高 168cm 的男同学的平均体重更合理 身高和体重的相关关 系强于年龄与体重的相关关系 ii 将所给的数据代入 b 的公式 再根据 在回归直线上 可以求出 a 进而 得到回归方程 本题考查了超几何分布 回归分析等知识 属于中档题 21 答案 解 1 a e 时 f x x e lnx ln lnx f e 0 f x lnx f e 于是 函数 y f x 在点 e f e 处的切线方程为 y x e 即 y x 1 2 令 lnx t 0 则 f x 1 ln2 等价于 et a t lnt 1 ln2 即 a et 恒成立 记 g t et 则 g t et 再令 h t t2et 2lnt 2ln2 则 h t t2 2t et 0 于是 h t 在 0 上 递增 又 h 2 4e2 0 h 4ln2 0 所以 h t 有唯一的零点 x0 2 当 t 0 t0 时 g t 0 g t 单调递减 当 t t0 时 g t 0 g t 单调递增 而 t0满足 t02e 2lnt0 2ln2 0 即 t0e ln e ln 令 t tet 则 t0