安徽省马鞍山二中高考数学模拟试卷文科4月份卷.pdf

第 1 页 共 18 页 高考数学模拟试卷 文科 高考数学模拟试卷 文科 4 月份 月份 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 已知集合 则集合 M N 中子集的个数是 A 4B 8C 16D 32 2 已知 i 为虚数单位 m R 若复数 2 i m i 在复平面内对应的点位于实轴上 则复数的虚部为 A 1B iC 1D i 3 折扇由扇骨和扇面组成 初名腰扇 滥觞于汉末 曾是 王公大人的宠物 到了明清时期 在折扇面上题诗赋词 作画 则成为当时的一种时尚 并一直流行至今 现有 一位折扇爱好者准备在下图的扇面上作画 由于突然停 电 不慎将一滴墨汁落入折扇所在区域 则墨汁恰好落 入扇面的概率约为 A B C D 4 已知双曲线 C 的左焦点为 F 直线 x c c 为半焦距长 与 C 的渐近线的交点为 A B 若 FAB 为等腰直角三角形 则 C 的离心率为 A 2B C D 5 CPI 是居民消费价格指数 consumerpriceindex 的简称 居民消费价格指数是一个 反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标 如图是根据 国家统计局发布的 2017 年 6 月 2018 年 6 月我国 CPI 涨跌幅数据绘制的折线图 注 2018 年 6 月与 2017 年 6 月相比较 叫同比 2018 年 6 月与 2018 年 5 月相比 较 叫环比 根据该折线图 则下列结论正确的是 A 2018 年 1 月至 6 月各月与去年同期比较 CPI 有涨有跌 B 2018 年 2 月至 6 月 CPI 只跌不涨 第 2 页 共 18 页 C 2018 年 3 月以来 CPI 在缓慢增长 D 2018 年 8 月与同年 12 月相比较 8 月环比更大 6 设 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 则 的一个充分条件是 A m n m nB m n m n C m n m nD m n m n 7 已知函数 若 则 a b c 之间的大小关系是 A a b cB b c aC c a bD b a c 8 如图 在平行四边形 ABCD 中 AB 4 AD 2 BAD 60 点 E 在 CD 上 且 点 E 是三等分点 靠近点 D BE 与 AC 的交点为 F 则 A B C 4D 4 9 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗实线画出的 是某组合体的三视图 则该几何体的表面积为 A B C D 10 已知函数的 部分图象如图所示 其 把函 f x 的图 象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 再把所得曲线向左平移 2 个单位长度 得到函数 g x 的图象 则 g x 的解析式为 A B C D 11 已知中心在原点的椭圆 C 的左焦点恰好为圆 F x2 y2 2x 3 0 的圆心 有两顶点恰 好是圆 F 与 y 轴的交点 若椭圆 C 上恰好存在两点关于直线 y x t 对称 则实数 t 的取值范围为 A B C D 第 3 页 共 18 页 12 对于函数 y f x y g x 若存在 x0 使 f x0 g x0 则称 M x0 f x0 N x0 g x0 是函数 f x 与 g x 图象的一对 雷点 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数 当 x 0 时 恒有 f x 1 f x 且 0 x 1 时 f x x 若 g x x 1 2 a 2 x 0 函数 f x 与 g x 的图象怡好存在 一对 雷点 则实数 a 的取值范围为 A 0 1 B C D 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 在曲线的所有切线中 斜率最小的切线方程为 14 已知 则 tan 15 已知 x y 满足约束条件 若的最大值为 则 a 16 已知 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 ccosB 是与 的等差中项 则 sin2A tan2C 的最大值为 三 解答题 本大题共 7 小题 共 84 0 分 17 已知正项数列 an 的前 n 项和为 1 求证 数列 an 为等差数列 2 记 求数列 bn 的前 n 项和 Rn 3 记 求数列 cn 的前 2n 项和 T2n 18 如图 点 C 在以 AB 为直径的上运动 PA 平面 ABC 且 PA AC 点 D E 分别是 PC PB 的中点 1 求证 PC AE 2 若 AB 2BC 2 求点 D 到平面 PAB 的距离 第 4 页 共 18 页 19 某大学就业部从该大学 2018 年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了 100 人进行 了问卷调查 其中有一项是他们的月薪情况 经调查统计发现 他们的月薪收入在 3000 元到 10000 元之间 根据统计数据得到如下的频率分布直方图 若月薪落在区间的左侧 则认为该大学本科生属 就业不理想 的 学生 学校将联系本人 咨询月薪过低的原因 从而为本科毕业生就业提供更好的 指导意见 其中分别为样本平均数和样本标准差 计算可得 s 1500 元元 同 一组中的数据用该组区间的中点值作代表 1 现该校 2018 届大学本科毕业生张茗的月薪为 3600 元 试判断张茗是否属于 就业不理想 的字生 2 为感谢同学们对这项调查工作的支持 该校利用分层抽样的方法从样本的前 3 组中抽出 6 人 各赠送一份礼品 并从这 6 人中再抽取 2 人 各赠送某款智能手机 1 部 求获赠智能手机的 2 人中恰有 1 人月薪不超过 5000 元的概率 3 位于某省的一高校 2018 届某专业本科毕业生共 200 人 现他们决定于 2019 年元旦期间举办一次同学联谊会 并收取一定的活动费用 假定这 200 人与所抽取 样本中的 100 人月薪分布情况相同 并用样本频率进行估计 现有两种收费方案 方案一 按每人一个月薪水的 10 收取 方案二 月薪高于样本平均数的毎人收取 800 元 月薪不低于 4000 元但低于样本 平均数的每人收取 400 元 月薪低于 4000 元的不收取任何用 第 5 页 共 18 页 问 哪一种收费方案最终总费用更少 20 在平面直角坐标系 xOy 中 不过原点的动直线 l y x m 交抛物线 C x2 2py p 0 于 A B 两点 且 1 求抛物线 C 的方程 2 设直线 y x 与 C 的异于原点的交点为 P 直线与 C 在点 P 处的切线的交点为 D 设 问 t 是否为定值 若为定值 求出该定值 若不为定值 试说 明理由 21 已铁函数 f x lnx mx m R 1 讨论函数 f x 在 0 上的单调性与最值 2 证明 当 x 0 时 ex 2 ex 1 ln x2 x 22 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C 的参数方程为 在以 O 为极 点 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中 直线 l 的极坐标方程为 1 设曲线 C 与直线 l 的交点为 A B 求弦 AB 的中点 P 的直角坐标 2 动点 Q 在曲线 C 上 在 1 的条件下 试求 OPQ 面积的最大值 第 6 页 共 18 页 23 已知函数 f x x 1 x 2 1 解不等式 f x x2 3x 1 2 记函数 y 2f x 的值域为 M 若 a 2a 1 M 试求实数 a 的取值范围 第 7 页 共 18 页 答案和解析答案和解析 1 答案 B 解析 解 根据题意 M x N 2 x 4 0 1 2 3 N x 0 x 1 x 3 则 M N 0 1 2 则集合 M N 中子集的个数是 23 8 故选 B 根据题意 求出集合 M 与 N 进而可得由交集的定义可得 M N 结合集合的元素数目 与集合的子集数目分析可得答案 本题考查集合的交集计算 关键是求出集合 M N 属于基础题 2 答案 A 解析 解 2 i m i 2m 1 2 m i 若复数在复平面内对应的点位于实轴上 则 2 m 0 得 m 2 复数 1 i 即复数的虚部是 1 故选 A 根据复数的运算以及复数的几何意义 求出 m 的值结合复数虚部的定义进行求解即可 本题主要考查复数的计算 结合复数的几何意义是解决本题的关键 3 答案 D 解析 解 由几何概型的特点 扇面面积为 S1 182 96 扇形面积为 S2 182 108 则墨汁恰好落入扇面的概率 P 故选 D 由题意知概率为面积之比 本题考查了几何概型属于简单题 4 答案 C 解析 解 双曲线 C 的左焦点为 F c 0 双曲线的渐近 线方程 ax by 0 x c 可得 A c B c FAB 为等腰直角三角形 可得 2c 可得 a 2b 所以双曲线的离心率为 e 故选 C 利用已知条件求出 A B F 的坐标 利用 FAB 为等腰直角三角形 求解双曲线的离心 率即可 本题考查双曲线的简单性质的应用 考查转化思想以及计算能力 第 8 页 共 18 页 5 答案 A 解析 解 A 选项 因为同比图象有增有减 故描述正确 B 选项 2018 年 2 月至 4 月跌 5 月至 6 月涨 故 B 选项错误 C 选项 本图表的调查数据为比较数据 即为与去年同期比较 或者与上月比较的增长 或减少的情况 而非 CPI 的真实数据 故 C 错 D 选项 图中没有 2018 年 8 月与同年 12 月的数据 故无法判断 综上 A 正确 故选 A 根据同比 环比的意义 结合所给调查数据逐项分析 排除错误选项 C 选项易错 应注意对题目所给信息的理解和应用 本题属于基础题 6 答案 D 解析 解 对于 A B 若 n 则 故 A B 错误 对于 C 若 l m n l m n 为 外的直线 显然有 m n 故 C 错误 对于 D 若 m m n 则 n 又 n 故 故 D 正确 故选 D 举反例说明即可 本题考查了空间线面位置关系的判断 属于中档题 7 答案 A 解析 解 根据题意 函数 其定义域为 R 则 f x ln x ln ln x ln x f x 即函数 f x 为偶函数 设 g x ln x ln 有 g 0 ln1 0 设 t 则 y lnt 当 x 0 时 t 为减函数且 t 0 而 y lnt 在 0 为增函数 则 g x ln x ln在 0 上为减函数 又由 g 0 0 则在区间 0 上 g x 0 又由 f x g x 则 f x 在区间 0 上为增函数 又由 log32 ln2 1 0 7 0 2 则有 a b c 故选 A 根据题意 求出函数 f x 的定义域 结合函数的解析式可得 f x f x 即函数 f x 为偶函数 设 g x ln x 利用复合函数单调性的判断方法分析可得 g x 在 0 上为减函数 又由 g 0 的值 可得在区间 0 上 g x 0 由此可得 f x 在区间 0 上为增函数 据此分析可得答案 本题考查复合函数的单调性的判定 涉及分段函数的性质以及应用 属于基础题 8 答案 C 第 9 页 共 18 页 解析 解 建立如图所求的坐标系 则 A 0 0 B 4 0 D 1 E C 5 所以 AC 的方程 y BE 的方程为 y x 4 联立直线方程可得 F 3 1 4 0 所以 4 故选 C 建立坐标系 求出相关的坐标 推出所求向量的坐标 然后求解向量的数量积即可 本题考查向量的数量积的应用 向量的坐标运算 考查转化思想以及计算能力 9 答案 A 解析 解 由三视图可知几何体为半圆柱与三棱柱的组合体 其中半圆柱的底面半径为 1 高为 2 三棱柱的底面为直角三角形 直角边为 1 和 2 高为 2 几何体的表面积为 1 2 2 1 2 2 3 4 2 故选 A 几何体为半圆柱和直三棱柱的组合体 作出直观图计算面积即可 本题考查了常见几何体的结构特征 表面积的计算 属于中档题 10 答案 A 解析 解 f 0 2sin 1 即 sin 则 f x 2sin x 2 22 2 即 4 13 则 9 则 3 即 T 12 得 即 f x 2sin x 把函 f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 得到 y 2sin x 再把所得曲线向左平移 2 个单位长度 得到函数 g x 的图象 即 g x 到 y 2sin x 2 2sin x 2sin x 故选 A 第 10 页 共 18 页 根据条件先求出 和 结合函数图象变换关系进行求解即可 本题主要考查三角函数图象的应用 根据条件求出 和 的值以及利用三角函数图象 平移变换关系是解决本题的关键 11 答案 B 解析 解 x2 y2 2x 3 0 的圆心为 1 0 可得椭圆的 c 1 圆 F 与 y 轴的交点为 0 可得椭圆的 b 可得 a 2 即有椭圆方程为 1 设椭圆上关于直线 y x t 对称的两点连线 AB 的方程为 y x p 设两点的坐标为 A x1 y1 B x2 y2 由 得 7x2 8px 4p2 12 0 64p2 28 4p2 12 0 p x1 x2 设 A B 的中点 x0 y0 则 x0 y0 p 中点在 y x t 上 p 7t 即 7t 得 t 故选 B 求得圆 F 的圆心 可得椭圆的 c 求得圆 F 与 y 轴的交点 可得 b 进而得到 a 可得 椭圆方程 设出椭圆上关于直线 y x t 对称的两点连线 AB 的方程为 y x p 设两点的 坐标为 A x1 y1 B x2 y2 联立椭圆方程 运用判别式大于 0 以及韦达定理 和中点坐标公式 可得中点坐标代入已知直线 可得 p t 的关系 进而得到所求范围 本题考查椭圆的方程和性质 考查直线方程和椭圆方程联立 运用韦达定理和中点坐标 公式 考查化简整理的运算能力 属于中档题 12 答案 C 解析 解 函数 f x 与 g x 的图象怡好存 在一对 雷点 即函数 y f x 的图象与函数 y h x x 1 2 a 在 0 2 恰有一个交点 函数 y h x x 1 2 a 的图象是将函数 y h x x 1 2 a 的图象向上或向下平移 a 个单位 当曲线 y h x x 1 2 a 的图象与直线 y x 1 相切时 求得 a 由图可知 1 a 0 或 a 1 第 11 页 共 18 页 即实数 a 的取值范围为 1 故选 C 由即时定义的理解得 函数 f x 与 g x 的图象怡好存在一对 雷点 即函数 y f x 的图象与函数 y h x x 1 2 a 在 0 2 恰有一个交点 作出函数图象根据函数图象的平移得 函数 y h x x 1 2 a 的图象是将函数 y h x x 1 2 a 的图象向上或向下平移 a 个单位 当曲线 y h x x 1 2 a 的图象 与直线 y x 1 向切时 求得 a 由图可知 1 a 0 或 a 1 即实数 a 的取值范围为 1 得 解 本题考查了对即时定义的理解 函数图象的作法及函数图象的平移 属中档题 13 答案 2x y 0 解析 分析 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程 考查二次函数的最值 考查运算求解能力 属于基础题 根据导数的几何意义可知在某点处的导数为切线的斜率 先求出导函数 f x 利用配 方法求出导函数的最小值即为切线最小斜率 再用点斜式写出化简 解答 解 曲线 y x2 2x 3 x 1 时 切线最小斜率为 2 此时 y 13 12 3 1 2 切线方程为 y 2 2 x 1 即 2x y 0 故答案为 2x y 0 14 答案 2 解析 解 即 即 即 则 1 sin 2cos 1 得 sin 2cos 则 tan 2 故答案为 2 利用同角三角函数关系式进行化简即可 本题主要考查三角函数值的化简和求值 利用同角三角函数关系式进行化简是解决本题 第 12 页 共 18 页 的关键 15 答案 2 解析 解 x y 满足约束条件的 可行域如图 的几何意义是可行域内的点与坐 标原点连线的斜率 由可行域可知 A B 1 1 所以 1 3 a a 0 所以 z 是关于 的增函数 函数的最大值为 可得 3a 解得 a 2 故答案为 2 画出约束条件的可行域 利用目标函数的几何意义 结合函数的单调性转化求解 a 即可 利用线性规划求最值的步骤 1 在平面直角坐标系内作出可行域 2 考虑目标函数的几何意义 将目标函数进行变形 常见的类型有截距型 ax by 型 斜率型 型 和距离型 x a 2 y b 2型 3 确定最优解 根据目标函数的类型 并结合可行域确定最优解 4 求最值 将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 16 答案 3 2 解析 分析 本题考查了等差数列的性质 正弦定理 三角恒等变换 基本不等式等知识 多次使用 换元思想 难度较大 属于难题 由 ccosB 是与的等差中项 结合正弦定理 可以求出角 B 为 则 A C 求 sin2A tan2C 的最大值 将 C 用替换后 换元用基本不等式处理 可得 解答 解 ccosB 是与的等差中项 2ccosB 2sinCcosB sinAcosB cosAsinB sin A B cosB B 为三角形内角 B A C 第 13 页 共 18 页 C A sin2A tan2C sin2A sin2A sin2A 令 sin2A x 0 A 2A 0 sin2A 0 1 即 x 0 1 sin2A tan2C x 0 1 令 x 1 t 则 t 1 2 sin2A tan2C 3 t 3 2 当且仅当 t 时等号成立 故答案为 3 2 17 答案 1 证明 正项数列 an 的前 n 项和为 相减可得 an 1 an 化为 an 1 an an 1 an 1 0 an 1 an 0 an 1 an 1 n 2 时 S2 a1 1 a2 1 a2 0 解得 a2 2 满足上式 即 an 1 an 1 n N 数列 an 为等差数列 首项为 1 公差为 1 2 解 由 1 可得 an 1 n 1 n 22n 1 数列 bn 的前 n 项和 Rn 2 23 22n 1 3 解 1 n n2 c2n 1 c2n 2n 1 2 2n 2 4n 1 数列 cn 的前 2n 项和 T2n 2n2 n 解析 1 正项数列 an 的前 n 项和为 相减可得 an 1 an an 1 an 1 0 根据 an 1 an 0 可得 an 1 an 1 验证 n 1 时是否成立 进而证明结论 第 14 页 共 18 页 2 由 1 可得 an n 可得 22n 1 利用等比数列的求和公式即可得出 3 1 n n2 可得 c2n 1 c2n 2n 1 2 2n 2 4n 1 利用求和公 式即可得出 本题考查了数列递推关系 等差数列与等比数列的通项公式与求和公式 分组求和方法 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 18 答案 1 证明 PA 平面 ABC BC 平面 ABC PA BC AB 是圆的直径 BC AC 又 AC PA A BC 平面 PAC 又 PC 平面 PAC BC PC DE 是 PBC 的中位线 DE BC PC DE PA AC D 是 PC 的中点 AD PC 又 AD DE D PC 平面 ADE 又 AE 平面 ADE PC AE 2 解 取 AC 中点 F 过 F 作 FM AB 于 M D F 分别是 PC AC 的中点 DF PA 又 DF 平面 PAB PA 平面 PAB DF 平面 PAB D 到平面 PAB 的距离等于 F 到平面 PAB 的距离 PA 平面 ABC FM 平面 ABC FM PA 又 FM AB PA AB A FM 平面 PAB F 到平面 PAB 的距离为线段 FM 的长 在 Rt ABC 中 AB 2AC 2 AC C 到 AB 的距离为 又 F 为 AC 的中点 FM 点 D 到平面 PAB 的距离为 解析 1 证明 DE 平面 PBC 可得 PC DE 再结合 PC AD 即可得出 PC 平面 ADE 故而 PC AE 2 取 AC 中点 F 过 F 作 FM AB 于 M 则可证 FM 平面 PAB 从而 FM 即为所求 本题考查了线面垂直的判定与性质 点到直线的距离计算 属于中档题 19 答案 解 1 3500 1000 0 00005 4500 1000 0 00010 5500 1000 0 00015 6500 1000 0 00030 75 00 1000 0 00020 8500 1000 0 00015 9500 1000 0 00005 6650 第 15 页 共 18 页 2s 6650 3000 3650 3600 所以张茗不属于 就业不理想 的学生 2 第一组有 1000 0 00005 100 5 人 第二组有 1000 0 00010 100 10 人 第三组有 1000 0 00015 100 15 人 所以按照分层抽样抽 6 人时 第一组抽 1 人 记为 A 第二 组抽 2 人 记为 B C 第三组抽 3 人 记为 D E F 从这 6 人中抽 2 人共有 15 种 A B A C A D A E A F B C B D B E B F C D C E C F D E D F E F 其中恰有一人月薪不超过 5000 元的有 9 种 A D A E A F B D B E B F C D C E C F 根据古典概型概率公式可得 P 3 方案一 月薪在 3000 4000 之间的收取 1000 0 00005 200 3500 0 1 3500 月薪在 4000 5000 之间的收取 1000 0 00010 200 4500 0 1 9000 月薪在 5000 6000 之间的收取 1000 0 00015 200 5500 0 1 16500 月薪在 6000 7000 之间的收取 1000 0 00030 200 6500 0 1 39000 月薪在 7000 8000 之间的收取 1000 0 00020 200 7500 0 1 30000 月薪在 8000 9000 之间的收取 1000 0 00015 200 8500 0 1 24500 月薪在 9000 10000 之间的收取 1000 0 00005 200 9500 0 1 9500 共收取 132000 元 方案二 月薪高于 6650 的收取 800 200 1000 0 00020 0 00015 0 00005 64000 月薪不低于 4000 但低于 6650 的收取 400 200 1000 0 00010 0 00015 0 00030 44000 共收取 108000 故方案二最终总费用更少 解析 1 6650 2s 3650 经比较可知张茗不属于就业不理想的学生 2 月薪不超过 5000 的有 3 人 超过 5000 的有 3 人 从 6 人中抽 2 人共有 15 种 其 中符合恰有 1 人月薪不超过 5000 的有 9 种 由古典概型概率公式可得 3 方案一收取 132000 元 方案二收取 108000 元 经比较可知方案二符合题意 本题考查了频率分布直方图 属中档题 20 答案 解 1 联立消去 y 并整理得 x2 2px 2pm 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 2p x1x2 2pm y1y2 x1 m x2 m x1x2 m x1 x2 m2 2pm 2pm m2 m2 x1x2 y1y2 2pm m2 m2 2m 2pm 2m 又因为 m 0 p 1 抛物线 C 的方程为 x2 2y 2 由可得 P 2 2 由 y 求导得 y x 所以 C 在点 P 处的切线为 y 2 2 x 2 即 2x y 2 0 联立可得 D m 2 2m 2 PD 2 m 2 2 2 2m 2 2 2 5m2 第 16 页 共 18 页 又直线 l 的参数方程为 t 为参数 将直线 l 的参数方程代入到 x2 2y 得 t2 2m 2 t 2m2 0 设 A B 对应的参数为 t1 t2 则 DA DB t1 t2 t1t2 2m2 2m2 t 为定值 解析 1 联立消去 y 并整理得 x2 2px 2pm 0 然后根据韦达定理以及 向量数量积列式可得 2 由可得 P 2 2 由 y 求导得 y x 所以 C 在点 P 处的切线为 y 2 2 x 2 即 2x y 2 0 联立可得 D m 2 2m 2 PD 2 m 2 2 2 2m 2 2 2 5m2 然后联立直线 l 的标准参数方程与 C 利用参数的几何意义可得 DA DB 2m2 最后可得比值为定值 本题考查了直线与抛物线的综合 属难题 21 答案 解 1 f x lnx mx m R x 0 f x m 当 m 0 时 f x 0 函数 f x 在 0 上的单调递增 无最值 当 m 0 时 令 f x m 0 得 0 x f x 在 0 上单调递增 令 f x 0 得 x f x 在 上单调递减 最大值为 f lnm 1 无最小值 当 m 0 时 f x 的单调增区间是 0 无单调减区间 无最值 当 m 0 时 f x 的单调增区间是 0 单调减区间是 最大值为 f lnm 1