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第 1页 共 17页 泰州中考数学压轴题 泰州中考数学压轴题 1 2012 泰州 28 题 如图 已知一次函数 y1 kx b 图象与 x 轴相交于点 A 与 反比例函数的图象相交于 B 1 5 C d 两点 点 P m n 是 一次函数 y1 kx b 的图象上的动点 1 求 k b 的值 2 设 1 m 过点 P 作 x 轴的平行线与函数的图象相交于点 D 试 问 PAD 的面积是否存在最大值 若存在 请求出面积的最大值及此时点 P 的坐 标 若不存在 请说明理由 3 设 m 1 a 如果在两个实数 m 与 n 之间 不包括 m 和 n 有且只有一个 整数 求实数 a 的取值范围 第 2页 共 17页 2 2013 泰州 26 题 已知 关于 x 的二次函数 y x2 ax a 0 点 A n y1 B n 1 y2 C n 2 y3 都在这个二次函数的图象上 其中 n 为正整数 1 y1 y2 请说明 a 必为奇数 2 设 a 11 求使 y1 y2 y3成立的所有 n 的值 3 对于给定的正实数 a 是否存在 n 使 ABC 是以 AC 为底边的等腰三角形 如果存在 求 n 的值 用含 a 的代数式表示 如果不存在 请说明理由 第 3页 共 17页 3 2014 泰州 26 题 平面直角坐标系 xOy 中 点 A B 分别在函数 y1 x 0 与 y2 x 0 的图象上 A B 的横坐标分别为 a b 1 若 AB x 轴 求 OAB 的面积 2 若 OAB 是以 AB 为底边的等腰三角形 且 a b 0 求 ab 的值 3 作边长为 3 的正方形 ACDE 使 AC x 轴 点 D 在点 A 的左上方 那么 对大于或等于 4 的任意实数 a CD 边与函数 y1 x 0 的图象都有交点 请 说明理由 第 4页 共 17页 4 2016 泰州 26 题 已知两个二次函数 y1 x2 bx c 和 y2 x2 m 对于函数 y1 当 x 2 时 该函数取最小值 1 求 b 的值 2 若函数 y1的图象与坐标轴只有 2 个不同的公共点 求这两个公共点间的距 离 3 若函数 y1 y2的图象都经过点 1 2 过点 0 a 3 a 为实数 作 x 轴的平行线 与函数 y1 y2的图象共有 4 个不同的交点 这 4 个交点的横坐标 分别是 x1 x2 x3 x4 且 x1 x2 x3 x4 求 x4 x3 x2 x1的最大值 第 5页 共 17页 5 2017 泰州 26 题 平面直角坐标系 xOy 中 点 A B 的横坐标分别为 a a 2 二次函数 y x2 m 2 x 2m 的图象经过点 A B 且 a m 满足 2a m d d 为常数 1 若一次函数 y1 kx b 的图象经过 A B 两点 当 a 1 d 1 时 求 k 的值 若 y1随 x 的增大而减小 求 d 的取值范围 2 当 d 4 且 a 2 a 4 时 判断直线 AB 与 x 轴的位置关系 并说明 理由 3 点 A B 的位置随着 a 的变化而变化 设点 A B 运动的路线与 y 轴分别相 交于点 C D 线段 CD 的长度会发生变化吗 如果不变 求出 CD 的长 如果变 化 请说明理由 第 6页 共 17页 泰州中考数学压轴题泰州中考数学压轴题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 1 如图 已知一次函数 y1 kx b 图象与 x 轴相交于点 A 与反比例函数的 图象相交于 B 1 5 C d 两点 点 P m n 是一次函数 y1 kx b 的 图象上的动点 1 求 k b 的值 2 设 1 m 过点 P 作 x 轴的平行线与函数的图象相交于点 D 试 问 PAD 的面积是否存在最大值 若存在 请求出面积的最大值及此时点 P 的坐 标 若不存在 请说明理由 3 设 m 1 a 如果在两个实数 m 与 n 之间 不包括 m 和 n 有且只有一个 整数 求实数 a 的取值范围 分析 1 B C 两点在反比例函数图象上 根据反比例函数图象上点的横纵 坐标的积相等 可求 d 的值 将 B C 两点坐标代入 y1 kx b 中 列方程组可求 k b 的值 2 存在 根据直线解析式可求 A 点坐标 点 P 在直线上 点 P n PD x 轴 则 D P 的纵坐标都是 n 此时 D n 则 PD 由 S n PD 可求 PAD 的面积表达式 利用二次函数的性质求最大值 3 点 P m n 在一次函数图象上 由一次函数解析式可知 设 m 1 a 则 P 1 a 2a 1 依题意 m n 可知 a 0 根据 a 0 和 a 0 两种情况 分 第 7页 共 17页 别求实数 a 的取值范围 解答 解 1 将 B 点的坐标代入 y2 得 c 5 则 y2 把 x 代入得 y 2 则 C 2 将 B C 代入直线 y1 kx b 得 2 存在 令 y1 0 x 则 A 的坐标是 0 由题意 点 P 在线段 AB 上运动 不含 A B 设点 P n DP 平行于 x 轴 D P 的纵坐标都是 n D 的坐标是 n S n PD n n 2 而 2m 3 n 得 0 n 5 所以由 S 关于 n 的函数解析式 所对应的抛物线开口方向决定 当 n 即 P S 的最大值是 3 由已知 P 1 a 2a 1 易知 m n 1 a 2a 1 a 0 若 a 0 m 1 n 由题设 m 0 n 2 则 解不等式组的解集是 0 a 若 a 0 n 1 m 由题设 n 0 m 2 则 第 8页 共 17页 解得 a 0 综上 a 的取值范围是 a 0 0 a 点评 本题考查了反比例函数的综合运用 关键是根据反比例函数图象上点的 横纵坐标积相等求 C 点坐标 由 两点法 求直线解析式 根据平行于 x 轴直线上 点的坐标特点 表示三角形的面积 根据二次函数的性质求最大值 本题还考查 了分类讨论的思想 2 已知 关于 x 的二次函数 y x2 ax a 0 点 A n y1 B n 1 y2 C n 2 y3 都在这个二次函数的图象上 其中 n 为正整数 1 y1 y2 请说明 a 必为奇数 2 设 a 11 求使 y1 y2 y3成立的所有 n 的值 3 对于给定的正实数 a 是否存在 n 使 ABC 是以 AC 为底边的等腰三角形 如果存在 求 n 的值 用含 a 的代数式表示 如果不存在 请说明理由 分析 1 将点 A 和点 B 的坐标代入二次函数的解析式 利用 y1 y2得到用 n 表示 a 的式子 即可得到答案 2 将 a 11 代入解析式后 由题意列出不等式组 求得此不等式组的正整数解 3 本问为存在型问题 如解答图所示 可以由三角形全等及等腰三角形的性 质 判定点 B 为抛物线的顶点 点 A C 关于对称轴对称 于是得到 n 1 从 而可以求出 n 1 解答 解 1 点 A n y1 B n 1 y2 C n 2 y3 都在二次函数 y x2 ax a 0 的图象上 y1 n2 an y2 n 1 2 a n 1 y1 y2 n2 an n 1 2 a n 1 整理得 a 2n 1 a 必为奇数 2 当 a 11 时 y1 y2 y3 第 9页 共 17页 n2 11n n 1 2 11 n 1 n 2 2 11 n 2 化简得 0 10 2n 18 4n 解得 n 4 n 为正整数 n 1 2 3 4 3 假设存在 则 BA BC 如右图所示 过点 B 作 BN x 轴于点 N 过点 A 作 AD BN 于点 D CE BN 于点 E xA n xB n 1 xC n 2 AD CE 1 在 Rt ABD 与 Rt CBE 中 Rt ABD Rt CBE HL ABD CBE 即 BN 为顶角的平分线 由等腰三角形性质可知 点 A C 关于 BN 对称 BN 为抛物线的对称轴 点 B 为抛物线的顶点 n 1 n 1 a 为大于 2 的偶数 存在 n 使 ABC 是以 AC 为底边的等腰三角形 n 1 点评 本题考查了二次函数的综合知识 涉及二次函数的图象与性质 等腰三 角形 全等三角形 因式分解 解不等式等知识点 有一定的难度 是一道好题 第 10页 共 17页 3 2014 泰州 平面直角坐标系 xOy 中 点 A B 分别在函数 y1 x 0 与 y2 x 0 的图象上 A B 的横坐标分别为 a b 1 若 AB x 轴 求 OAB 的面积 2 若 OAB 是以 AB 为底边的等腰三角形 且 a b 0 求 ab 的值 3 作边长为 3 的正方形 ACDE 使 AC x 轴 点 D 在点 A 的左上方 那么 对大于或等于 4 的任意实数 a CD 边与函数 y1 x 0 的图象都有交点 请 说明理由 考点 GB 反比例函数综合题 菁优网版 权所有 专题 153 代数几何综合题 16 压轴题 分析 1 如图 1 AB 交 y 轴于 C 由于 AB x 轴 根据 k 的几何意义得到 S OAC 2 S OBC 2 所以 S OAB S OAC S OBC 4 2 根据函数图象上点的坐标特征得 A B 的纵坐标分别为 根据两点 间的距离公式得到 OA2 a2 2 OB2 b2 2 则利用等腰三角形的性 质得到 a2 2 b2 2 变形得到 a b a b 1 0 由 于 a b 0 a 0 b 0 所以 1 0 易得 ab 4 3 由于 a 4 AC 3 则可判断直线 CD 在 y 轴的右侧 直线 CD 与函数 y1 x 0 的图象一定有交点 设直线 CD 与函数 y1 x 0 的图象交点为 F 由 于 A 点坐标为 a 正方形 ACDE 的边长为 3 则得到 C 点坐标为 a 3 第 11页 共 17页 F 点的坐标为 a 3 所以 FC 然后比较 FC 与 3 的大小 由于 3 FC 3 而 a 4 所以 3 FC 0 于是可判断点 F 在线段 DC 上 解答 解 1 如图 1 AB 交 y 轴于 C AB x 轴 S OAC 4 2 S OBC 4 2 S OAB S OAC S OBC 4 2 A B 的横坐标分别为 a b A B 的纵坐标分别为 OA2 a2 2 OB2 b2 2 OAB 是以 AB 为底边的等腰三角形 OA OB a2 2 b2 2 a2 b2 2 2 0 a2 b2 0 a b a b 1 0 a b 0 a 0 b 0 1 0 ab 4 3 a 4 而 AC 3 直线 CD 在 y 轴的右侧 直线 CD 与函数 y1 x 0 的图象一定有交点 设直线 CD 与函数 y1 x 0 的图象交点为 F 如图 2 第 12页 共 17页 A 点坐标为 a 正方形 ACDE 的边长为 3 C 点坐标为 a 3 F 点的坐标为 a 3 FC 3 FC 3 而 a 4 3 FC 0 即 FC 3 CD 3 点 F 在线段 DC 上 即对大于或等于 4 的任意实数 a CD 边与函数 y1 x 0 的图象都有交点 点评 本题考查了反比例函数的综合题 掌握反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数比例系数的几何意义 图形与坐标和正方形的性质 会利用求差法对 代数式比较大小 第 13页 共 17页 4 已知两个二次函数 y1 x2 bx c 和 y2 x2 m 对于函数 y1 当 x 2 时 该函数取 最小值 1 求 b 的值 2 若函数 y1的图象与坐标轴只有 2 个不同的公共点 求这两个公共点间的距 离 3 若函数 y1 y2的图象都经过点 1 2 过点 0 a 3 a 为实数 作 x 轴的平行线 与函数 y1 y2的图象共有 4 个不同的交点 这 4 个交点的横坐标 分别是 x1 x2 x3 x4 且 x1 x2 x3 x4 求 x4 x3 x2 x1的最大值 分析 1 由于题意知 x 2 时 该函数取得最小值 所以 x 2 时该函数 y1的对 称轴 2 若函数 y1的图象与坐标轴只有 2 个不同的公共点 则分为两种情况讨论 一种是抛物线与 x 轴有两个交点时 另一种是抛物线与 x 轴有 1 个交点 然后分 别求出 C 的值即可 3 函数 y1与 y2经过 1 2 所以可求出 c 与 m 的值 根据函数解析式画 出图象可知 若过点 0 a 3 a 为实数 作 x 轴的平行线 与函数 y1 y2的 图象共有 4 个不同的交点时 则 3 a 3 2 或 a 3 2 解答 解 1 由题意知 函数 y1的对称轴为 x 2 2 b 4 2 由题意知 b2 4c 16 4c 当 0 时 c 4 此时函数 y1与 x 轴有两个不同的交点 由于若函数 y1的图象与坐标轴只有 2 个不同的公共点 c 0 y1 x2 4x 令 y1 0 x 0 或 x 4 第 14页 共 17页 两个公共点间的距离为 4 当 0 时 c 4 此时抛物线与 x 轴只有一个交点 与 y 轴只有一个交点 两个公共点间的距离 由勾股定理可求得 2 3 函数 y1 y2的图象都经过点 1 2 将 1 2 代入函数 y1和函数 y2 2 1 4 c 2 1 m c 1 m 3 函数 y1 x2 4x 1 函数 y2 x2 3 联立 解得 x 1 y 2 过点 0 a 3 作 x 轴的平行线 与函数 y1 y2的图象共有 4 个不同的交点 3 a 3 2 或 a 3 2 当 3 a 3 2 时 如图 1 即 0 a 1 令 y a 3 代入 y1 x2 4x 4 a 0 x3 2 x4 2 令 y a 3 代入 y2 a 3 x2 3 x1 x2 x4 x3 x2 x1 4 0 a 1 0 4 4 当 a 3 2 如图 2 第 15页 共 17页 即 a 1 令 y a 3 代入 y1 x2 4x 4 a 0 x2 2 x4 2 令 y a 3 代入 y2 a 3 x2 3 x1 x3 x4 x3 x2 x1 4 综上所述 过点 0 a 3 a 为实数 作 x 轴的平行线 与函数 y1 y2的图象 共有 4 个不同的交点时 x4 x3 x2 x1的最大值为 4 点评 本题考查函数的综合问题 涉及待定系数法求解析式 二次函数图象的 性质 一元二次方程的解法和数形结合的思想 综合程度较高 需要学生利用数 形结合的思想解决问题 5 平面直角坐标系 xOy 中 点 A B 的横坐标分别为 a a 2 二次函数 y x2 第 16页 共 17页 m 2 x 2m 的图象经过点 A B 且 a m 满足 2a m d d 为常数 1 若一次函数 y1 kx b 的图象经过 A B 两点 当 a 1 d 1 时 求 k 的值 若 y1随 x 的增大而减小 求 d 的取值范围 2 当 d 4 且 a 2 a 4 时 判断直线 AB 与 x 轴的位置关系 并说明 理由 3 点 A B 的位置随着 a 的变化而变化 设点 A B 运动的路线与 y 轴分别相 交于点 C D 线段 CD 的长度会发生变化吗 如果不变 求出 CD 的长 如果变 化 请说明理由 分析 1 当 a 1 d 1 时 m 2a d 3 于是得到抛物线的解析式 然 后求得点 A 和点 B 的坐标 最后将点 A 和点 B 的坐标代入直线 AB 的解析式求得 k 的值即可 将 x a x a 2 代入抛物线的解析式可求得点 A 和点 B 的纵坐标 然后依据 y1 随着 x 的增大而减小 可得到 a m a 2 a 2 m a 4 结合已 知条件 2a m d 可求得 d 的取值范围 2 由 d 4 可得到 m 2a 4 则抛物线的解析式为 y x2 2a 2 x 4a 8 然后将 x a x a 2 代入抛物线的解析式可求得点 A 和点 B 的纵坐标 最后依据 点 A 和点 B 的纵坐标可判断出 AB 与 x 轴的位置关系 3 先求得点 A 和点 B 的坐标 于是得到点 A 和点 B 运动的路线与字母 a 的函 数关系式 则点 C 0 2d D 0 2d 8 于是可得到 CD 的长度 解答 解 1 当 a 1 d 1 时 m 2a d 3