小学数学解题策略--抓不变量

抓不变量解答分数应用题抓不变量解答分数应用题 一 抓住和不变一 抓住和不变 1 甲乙两个仓库共有水泥 180 吨 如果甲把它的 1 3 给乙 甲还比乙多 10 吨 甲乙原来各有多少吨 练习 甲乙两个仓库共有水泥 180 吨 如果甲把它的 1 3 给乙 甲还比乙多 1 5 甲乙原来各有多少吨 2 某校五年级学生参加大扫除的人数是未参加的 1 4 后来又有 2 个同学主动 参加 实际参加的人数是未参加人数的 1 3 问某班五年级有学生多少人 练习 煤气收款员到一幢楼里收煤气差价款 他走出楼时一算 没交款的户数 占已交款户数的 1 8 如果少收 2 户 则没交款的户数恰好占已交款户数的 1 6 这幢楼有多少住户 2 甲 乙两人原有钱的比是 3 4 后来甲又给乙 50 元 这时甲钱是乙的 1 2 原来两人各有多少元钱 3 小明放一群鸭子 岸上的只数是水中的 3 4 从水中上岸 9 只后 水中的只 数与岸上的只数同样多 这群鸭子有多少只 二 抓住部分不变二 抓住部分不变 1 有科技书和文艺书 360 本 其中科技书占总数的 1 9 现在又买来一些科技 书 此时科技书占总数的 1 6 又买来多少本科技书 练习 有 10 千克蘑菇 它们的含水量是 99 稍经晾晒 含水量下降到 98 晾晒后的蘑菇重多少千克 2 现有质量分数为 20 的食盐水 80 克 把这些食盐水变为质量分数为 75 的 食盐水 需要再加食盐多少克 练习 有一堆糖果 其中奶糖占 45 再放 16 块水果糖后 奶糖就占 25 那么 这堆糖中奶糖有多少块 2 在阅览室里 女生占全室人数的 1 3 后来又进来 5 名女生 这时女生占全 室人数的 5 13 阅览室原有多少人 三 抓住差不变三 抓住差不变 王叔叔和李叔叔每月工资收入比为 3 2 他们两家每月支出为 1200 元 两家每月结余的钱数比为 9 4 王叔叔和李叔叔每月工资各为多少元 综合练习 综合练习 1 由奶糖和巧克力混合成的一堆糖中 如果增加 10 个奶糖 巧克力就占总数 的 60 再增加 30 个巧克力 则巧克力占总数的 75 那么 原来混合糖中 奶糖和巧克力各有多少个 2 现有浓度为 20 的食糖水 160 克 把这些食糖水变为浓度为 75 的食糖水 需加食糖多少克 3 乙队原有人数是甲队的 3 7 现在从甲队派 30 人到乙队 则乙队人数是甲 队的 2 3 甲乙两队原来各有多少人 4 有一堆糖果 其中奶糖占 9 20 再放入 16 块水果糖后 奶糖就只占 1 4 这一堆糖果原来共有多少块 一 抓住三种相关量中的不变量的进行分析 三种相关联的量中 抓住不变量 以不变量作为等量关系 列出比例 这样能 使学生提高解比例应用题的能力 例 2 一辆汽车从甲地开往乙地 每小时行驶 42 千米 5 小时到达 如果要 4 小时到达 每小时需要行驶多少千米 本题的不变量较为隐蔽 要从两种已知量 速度和时间 中去找出第三种量 路程 而第三种量正是不变量 因此要根据速度 时间 路程 一定 列成 比例式 V1 t1 V2 t2 比例的左右两边都是总路程不变 反比例式也就成立 二 抓住总量不变进行解题 某些应用题的总量始终不变 如果能抓住不变量进行分析 能帮助学生突破难 点找到解题思路 例 2 第一桶柴油的重量是第二桶的 6 倍 从第一桶取出 12 千克柴油加入第二 桶 这时第一桶柴油的重量是第二桶的 4 倍 原来第一桶有柴油多少千克 两桶柴油的重量总是不变的 又未知 要看作单位一的量 则 取前 第一桶 占两桶总量的 取后 第一桶占两桶总量的 第一桶取前取后差 12 千克占两桶总量的 故两桶总量为 12 210 千克 原来 第一桶 0 千克 三 抓住部分量不变解题 抓住部分量不变为突破口进行分析数量关系 能使学生理请解题思路 突破难 点 达到化难为易 例 两个工程队 原来甲队人员比乙队少 后来甲队增加 人 这 时乙队人员是甲队的 现在甲队有多少人 题目中乙队人数不变量未知 又不易直接求出 所以必须以乙队人员为单位 的量 第一句分率句以乙队人员为单位 的量不必变 第二句分率 句是 甲队增加 人以后乙队是甲队的 是以甲队为单位 的 量是变量 因此要转化不变量乙队为单位 的量 即 甲队人数是乙队的 找出对应 甲队增加 人 相当于乙队的 故现在甲队人数为 人 四 抓住部分量与部分量之差不变解题 抓住差不变进行分析数量关系 能帮助学生沟通已知和未知的关系 打开解决 问题的通道 提高了学生解决问题的技巧 例 新兴小学六年级有两个班 六年一班有学生 人 六年二班有学生 人 两个班各转出相同的人数后 六年二班人数还比六年一班人数多 两个班各转出多少人 两个班的人数都发生变化 谁不变呢 惟有转出人数相同是不变的量 所以转 出前后两班人数差不变的 又未知必须要先求出来 即两班人数差为 人 对应转出后六年二班人数还比六年一班人数多 因此转出后一班人数为 人 转出人数是 人 1 有 200 克含盐 3 4 的盐水 要把它稀释为含盐 1 2 的盐水 应加水多少克 2 有 200 克含盐 2 5 的盐水 要把它变为含盐 4 5 的盐水 要加盐多少克 3 有 200 克含盐 2 5 的盐水 要把它变为含盐 4 5 的盐水 要蒸发多少克水 4 对某种水果进行分析 发现 100 千克的水果含水 99 100 再过几天有对这 些水果进行分析 发现这些水果含水 98 100 这时这些水果重多少千克 5 少年宫招收音乐班学生 已录取女生 30 人 男生 8 人 要使男生达到总人 数的 2 5 还有录取男生多少人 6 某车间共有 140 人 其中女工占总人数的 1 5 后来又转来若干名女工 这 时女工占总人数的 1 3 转来多少名女工 抓不变量解分数应用题抓不变量解分数应用题 培养能力 发展智力是小学数学教学的重要任务之一 而应用题则是锻炼 学生思维的 磨刀石 应用题教学主要帮助学生解决 想什么 和 怎样想 的问题 小学数学应用题教学就是把应用题的教学过程变成使学生在教师的指 导下积极分析综合 比较概括 抽象推理及正确判断等思维方法的训练过程 以达到培养学生能力 发展学生智力的目的 应用题教学对于训练学生的逻辑 思维能力 巩固所学的知识有着重要的意义 因此应用题教学在整个小学数学 教学中占有重要的地位 它既是重点又是难点 所以 掌握一定的解答应用题 的方法和技巧是有必要的 在小学数学应用题中犹以分数应用题为学生的一大难点 其中一类分数应 用题以其特有的结构和数理关系使多数学生难以入手 为此 经过多年的实践 和摸索 笔者总结了一套行之有效的方法 让教者易教 学者易学 那就是找 准题目中的不变量 以不变量为突破口 根据数量间的数理关系解决问题 其 流程如下 前后对比 问题得解 量率对应 问题得解 已知或能直接计算 题目中的问题 计算出不变量 以不变量为单位 1 代入变化后数量关系中 不变量 找出其变化后的对应分率 选中其中一个变量 求出变化后的 一个变量 找出其变化前 后各占 1 的分率 找出其变化前 后的数量 算出分率差 算出数量差 例例 1 1 鸡栏里有公鸡和母鸡共 80 只 其中公鸡 后来又买回若干只公鸡后 母鸡占总只数的 问又买回多少只公鸡 首先 找准不变量 母鸡只数 可以直接计算出来 算出其只数 80 1 44 只 然后 计算出来的公鸡 44 只代入变化后的关系中 找出其对应分率 1 接着 算出变化后的总只数 44 100 只 最后 对比变化前后总只数 得出结论 100 80 20 只 将这种方法运用到对小学生来讲比较抽象的浓度问题中 学生理解起来就 容易多了 例如 一种浓度为 45 的溶液 800 克 加入适量水后 浓度变为 30 求加了多少克水 可以把溶质和溶剂的质量分别想象成公鸡和母鸡的只数 溶液的质量就是总只数 这样运用类比的方法 小学生学习起来就既实在又有 趣了 例例 2 2 六 一 班上学期男生与女生人数比是 13 12 这学期又转来 2 名 女生 使女生正好占全班人数的 这个班原有女生多少人 找准不变量 男生人数 不能直接计算 以男生人数为单位 1 女生人数变化前占男生人数的 变化后占男生人数的 变化前后 的分率差为 变化前后女生人数的数量差为 2 名 算出不变量男生人数 2 26 名 进而得出女生人数 26 24 名 如果将这道题增加一个条件 转走 2 名男生 则变为总人数不变 以总 人数为单位 1 同样的方法可以解决 例例 3 3 有两根铁丝 长度比为 3 2 同时用去 15 米后 短的那根剩下的 长度是长的那根剩下长度的 25 原来长的那根多少米 找准不变量 两根铁丝相差的米数 不能直接计算 以两根铁丝相差 的米数为单位 1 以长的那根为例 变化前它是两根差的 变化后它是两根差的 25 变化前后分率减少两根差的 变化前后长的那根长度减少了 15 米 算出不变量 两根相差 15 9 米 然后算出所求问题 9 27 米 当然此题可以用假设法可能简洁一些 但假设法对于一些学生较难理解 一旦将此法应用熟练后 应用面相对大得多 比如这个题目 已知一个分数是 在分子分母中加上相同的一个什么数 才能使分数变成 可以抓住分子分母差 不变 以其