成考专升本高等数学(二)重点及解析

1 高等数学 二 重点知识及解析高等数学 二 重点知识及解析 函数 极限 函数 极限 一 基本初等函数一 基本初等函数 又称简单函数又称简单函数 1 常值函数 2 幂函数 3 指数函数 0 yc a yx x ya a 1 a 且 4 对数函数 0 log a yx a1 a 且 5 三角函数 sinyx cosyx tanyx cotyx 6 反三角函数 arcsinyx arccosyx arctanyx cotyarcx 二 复合函数 二 复合函数 要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的 例如例如 是由 这两个个简单函数复合而成 lncosyx lnyu cosux 例如 例如 是由 和这三个简单函数复合而成 3 arctan x ye arctanyu v ue 3vx 该部分是后面求导的关键 三 极限的计算三 极限的计算 1 1 利用函数连续性求极限 代入法 利用函数连续性求极限 代入法 对于一般的极限式 即非未定式 只要将 代入到函数表达式中 函数值即是极限值 即 0 x 0 0 lim xx f xf x 注意 注意 1 常数极限等于他本身 与自变量的变化趋势无关 即 limCC 2 该方法的使用前提是当的时候 而时则不能用此方法 0 xx x 例例 1 1 lim 44 x 1 lim33 x limlg2lg2 x 6 lim x 例例 2 2 22 0 3103 0 1 lim1 10 1 x xx x 例例 3 3 非特殊角的三角函数值不用计算出来 2 tan 1 tan 2 1 limtan1 12 1 x x x 2 2 未定式极限的运算法 未定式极限的运算法 1 1 对于 对于未定式未定式 分子 分母提取公因式 然后消去公因式后 将代入后函数值即是 0 0 0 x 极限值 例例 1 1 计算 未定式 提取公因式 2 3 9 lim 3 x x x 0 0 2 解 原式 33 3 3 limlim 3 6 3 xx xx x x 例例 2 2 计算 未定式 提取公因式 2 2 1 21 lim 1 x xx x 0 0 解 原式 2 1 1 lim 11 x x xx 1 1 lim 1 x x x 0 0 2 2 2 对于 对于未定式 未定式 分子 分母同时除以未知量的最高次幂 然后利用无穷大的倒数是 无穷小的这一关系进行计算 例例 1 1 计算 未定式 分子分母同时除以 n 23 lim 31 n n n 解 原式 无穷大倒数是无穷小 3 2 202 lim 1 303 3 n n n 例例 2 2 计算 未定式 分子分母同除以 2 32 321 lim 25 x xx xx 3 x 解 原式 无穷大倒数是无穷小 因此分子是 0 分母是 23 3 321 lim 15 2 x xxx xx 0 0 2 2 3 3 利用等价无穷小的代换求极限 利用等价无穷小的代换求极限 1 1 定义 定义 设和是同一变化过程中的两个无穷小 如果 1 称与是等价 lim 无穷小 记作 2 2 定理 定理 设 均为无穷小 又 且存在 lim 则 或 lim lim limlim 3 3 常用的等价无穷小代换 常用的等价无穷小代换 当时 0 x sin xxtan xx 例例 1 1 当时 2 0 x sin2xxtan 3 x 3x 例例 2 2 极限 用 2等价代换 0 sin2 lim 5 x x x 0 2 lim 5 x x x 0 2 lim 5 x 2 5 sin2xx 例例 3 3 极限 用等价代换 0 tan3 lim x x x 0 3 lim x x x 0 lim33 x tan3x3x 3 一元函数的微分学 一元函数的微分学 一 导数的表示符号一 导数的表示符号 1 函数在点处的导数记作 f x 0 x 或 0 fx 0 x x y 0 x x dy dx 2 函数在区间 a b 内的导数记作 f x 或 fx y dy dx 二 求导公式二 求导公式 必须熟记 必须熟记 1 C 为常数 2 0c 1 xx 3 4 xx ee 1 ln x x 5 6 sin cosxx cos sinxx 7 8 2 1 arcsin 1 x x 2 1 arctan 1 x x 例 例 1 2 3 3 x 2 3x 1 2 1 2 xx sin 6 0 4 5 6 0 23 2 1 2xx x 1x 三 导数的四则运算三 导数的四则运算 运算公式运算公式 设 设 U U V V 是关于是关于 X X 的函数 求解时把已知题目中的函数代入公式中的的函数 求解时把已知题目中的函数代入公式中的 U U 和和 V V 即即 可 代入后用导数公式求解可 代入后用导数公式求解 1 uvuv 2 特别地 为常数 u vuvuv CuCu C 3 2 uuvuv vv 例例 1 1 已知函数 求 4 3cos2yxx y 解 y 4 3 cos2xx 3 43sin0 xx 3 43sinxx 4 例例 2 2 已知函数 求和 2 lnf xxx fx fe 解 fx 22 lnlnxxxx 2 1 2lnxxx x 2lnxxx 所以 注意 lne 1 ln1 0 fe2ln23eeeeee 例例 3 3 已知函数 求 2 1 x f x x fx 解 fx 22 2 2 11 1 xxxx x 2 2 2 12 1 xxx x 2 2 2 1 1 x x 四 复合函数的求导四 复合函数的求导 1 1 方 方 法法 一一 例如例如求复合函数的导数 2 sinyx 1 1 首先 首先判断判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的 如由和这两个简单函数复合而成 2 sinyx sinyu 2 ux 2 2 用导数公式用导数公式求出每个简单函数的导数求出每个简单函数的导数 即 2 dy du cosu du dx x 3 3 每个简单函数导数的 每个简单函数导数的乘积乘积即为复合函数的导数 注意中间变量要用原变量即为复合函数的导数 注意中间变量要用原变量替代回去替代回去 x 2 2 dydydu dxdudx x cosux 2 cosx 2 2 方 方 法法 二 直接求导法 二 直接求导法 复合函数的导数复合函数的导数 等于等于 构成该复合函数的简单函数导数的乘积构成该复合函数的简单函数导数的乘积 如果对导数公式熟悉 对复合函数的过程清楚 可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里从外往里求导求导 例例 1 1 设函数 求 cos 3 yx y 解 y 3 coxx sin 3 x 3 x sin 3 x 3 3sin 3 x 例例 2 2 设函数 求 lnx ye y 解 y lnx e lnx e ln x 1 x lnx e 注意 注意 一个复合函数求几次导 取决于它由几个简单函数复合而成 五 高阶导数五 高阶导数 1 1 二阶导数记作 二阶导数记作 或 y fx 2 2 d y dx 5 我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数 2 2 求法 求法 1 二阶导数就是对一阶导数再求一次导 2 三阶导数就是对一阶导数求两次导 对二阶导求一次导 例例 1 1 已知 求 5sinyx y 解 y5cosx y5sin x 例例 2 2 已知 求 2x ye 0 x y 解 2 4 y 2x e 2x 2 2 x e y 2x e 2x 2x e 即 0 x y 4 六 微分的求法 六 微分的求法 1 求出函数的导数 yf x fx 2 再乘以即可 即 dx dyfx dx 例例 1 1 已知 求 2 lnyx dy 解 y 2 ln x 2 2 1 x x 2 1 2x x 2 x dy 2 x dx 例例 2 2 设函数 求 4 cosyxx dy 解 y 44 coscosxxxx 34 4cossinxxxx dy 34 4cossinxxxx dx 6 二元函数的微分学 二元函数的微分学 一 多元函数的定义 一 多元函数的定义 由两个或两个以上的自变量所构成的函数 称为多元函数 其自 变量的变化范围称为定义域 通常记作 D 例如 二元函数通常记作 zf x y x yD 二 二元函数的偏导数二 二元函数的偏导数 1 1 偏导数的表示方法 偏导数的表示方法 1 设二元函数 则函数在区域 D 内对和对的偏导数记为 zf x y zxy z x x fx y x z z y y fx y y z 2 设二元函数 则函数在点处对和对的偏导数记为 zf x y z 00 xyxy 00 xy z x 00 x fxy 00 xxy z 00 xy z y 00 y fxy 00 yxy z 2 2 偏导数的求法 偏导数的求法 1 对求偏导时 只要将看成是常量 将看成是变量 直接对求导即可 xyxx 2 对求偏导时 只要将看成是常量 将看成是变量 直接对求导即可 yxyy 如果要求函数在点处的偏导数 只要求出上述偏导函数后将和代入即可 00 xy 0 x 0 y 例例 1 1 已知函数 求和 32 2zx yy x z x z y 解 z x 22 32x yy z y 3 4xxy 例例 2 2 已知函数 求和 2 sin2zxy z x z y 解 z x 2 sin2xy z y 2 2cos2xy 三 全微分三 全微分 1 1 全微分公式 全微分公式 函数在点处全微分公式为 zf x y x y zz dzdxdy xy 7 2 2 全微分求法 全微分求法 1 先求出两个一阶偏导数和 2 然后代入上述公式即 z x z y 可 例例 1 1 设函数 求 2 sin 31zx yxy dz 解 z x cos 6yx yx z y cos 1xx y cos 6cos 1 zz dzdxdyyx yx dxxx ydy xy 例例 2 2 设函数 求 2x y ze dz 解 z x 2 2 x y e z y 2x y e 22 2 x yx y zz dzdxdyedxedy xy 四 二阶偏导的表示方法和求法 四 二阶偏导的表示方法和求法 1 两次都对求偏导 z xx 2 2 z x xx fx y xx zx 2 先对求偏导 再对求偏导 z yx 2z x y xy fx y xy zxy 3 先对求偏导 再对求偏导 z xy 2z y x yx fx y yx zyx 4 两次都对求偏导 z yy 2 2 z y yy fx y yy zy 可见二元函数的二阶偏导共四种 它们都是的函数 在求二阶偏导的时候一定要注意 x y 对变量的求导次序 写在符号前面的变量先求偏导 例例 1 1 设函数 求 和 323 31zx yxyxy 2 2 z x 2z x y 2z y x 2 2 z y 解 z x 223 33x yyy z y 32 29x yxyx 得 2 2 z x 2 6xy 2z x y 22 691x yy 2z y x 22 691x yy 2 2 z y 3 218xxy 例例 2 2 设函数 求 coszyx 2 2 z x 2z x y 8 解 得 z x sinyx 2 2 z x cosyx 2z x y sin x 一元函数的积分学 一元函数的积分学 一 原函数的定义一 原函数的定义 设是区间 I 上的一个可导函数 对于区间 I 上的任意一点 F xx 都有 则称是在区间 I 上的一个原函数 F xf x F x f x 例例 1 1 因此是的一个原函数 是的导数 sin cosxx sin xcosxcosxsin x 由于 可见只要函数有一个原函数 那么他的原函数就有无穷多个 sin cosxcx 例例 2 2 设的一个原函数为 求 f x 1 x fx 解 因为是的一个原函数 即 所以 1 x f x F x 1 x f x F x 1 x 2 1 x 得 注 fx 2 1 x 3 2 x 1 1 x x 二 不定积分二 不定积分 一 一 定义 定义 我们把的所有原函数称为在区间 I 上的不定积分 记作 f x f x 其中 f x dxF xC F xf x 注意 注意 不定积分是原函数的的全体 因此计算结果常数 C 勿忘 二 二 不定积分的性质 不定积分的性质 1 f xg x dxf x dxg x dx 2 其中为常数 kf x dxkf x dx k 三 三 基本积分公式 基本积分公式 和导数公式一样 必须熟记 和导数公式一样 必须熟记 1 2 k 为常数 0dx C kdx kxC 3 4 1 1 x x dxC 1 1 lndxxC x 5 6 xx e dxeC cossinxdxxC 9 7 8 sincosxdxxC 2 arcsin 1 dx xC x 9 2 arctan 1 dx xC x 例例 1 1 33dxxC 2sin 2cosxdxxC 4 3 4 x x dxC 2 11 dxC xx 例例 2 2 利用换元法 设 33 22 tan tantan 33 ux xdxu duCC tan xu 又如 1 coscosln cosxdxxC 3 2 2 lnlnln 3 xdxxC 四 四 不定积分的计算 不定积分的计算 1 1 直接积分法 直接积分法 对被积函数进行恒等变形 并用积分性质和积分公式进行积分的方法 例例 1 2 2 1xdx 42 21xxdx 42 2x dxx dxdx 5 3 2 53 x xxC 例例 2 31 1 2sin 12 sin3xdxdxxdxdx xx 2cos3lnxxxC 2 2 凑微分法 凑微分法 1 1 适用前提 适用前提 如果被积函数是两个函数相乘 或相除 或者被积函数是复合函数 通常为较为简单的复合函数 的情况 此时可以考虑用凑微分法 2 凑微分法解法步骤 凑微分法解法步骤 1 凑微分 2 换 元 3 直接积分法 4 反换元 例例 1 1 求不定积分 2 cosxx dx 解 原式 1 凑微分 将凑成 22 1 cos 2 x dx 22 1 cos 2 x dx xdx 2 1 2 dx 2 换 元 将换元成 1 cos 2 udu 2 xu 3 直接积分法 求出的不定积 1 sin 2 uC u 分 4 反换元 再用反换元 2 1 sin 2 xC u 2 x 例例 2 2 求不定积分 2 ln xdx x 10 解 原式 1 凑微分 将凑成 2 ln ln xdx 1 dx x lndx 2 换 元 将换元成 2 u du ln xu 3 直接积分法 求出的不定积分 3 3 u C u 4 反换元 再用反换元 3 ln 3 x C uln x 例例 3 3 求不定积分 32x edx 解 原式 1 凑微分 将凑成 32 1 32 3 x edx dx 1 32 3 dx 2 换 元 将换元成 1 3 u e du 32x u 3 直接积分法 求出的不定积分 1 3 u eC u 4 反换元 再用反换元 32 1 3 x eC u32x 注意 凑微分注意 凑微分时要注意凑完微分后前后变量要统一 如果能熟练掌握换元过程 此时就可 以不必写出中间变量 而直接进行积分 例例 4 4 将凑成 3 sincosxxdx 3 sinsinxdx 4 sin 4 x C dx 1 32 3 dx 例例 5 5 将凑成 2 1xx dx 22 1 1 1 2 x dx 3 2 2 1 1 3 xC xdx 2 1 1 2 dx 3 3 分部积分法 分部积分法 三 定积分三 定积分 一 一 定积分的定义 定积分的定义 由曲边梯形的面积引出定义公式 A A 为曲边梯形的面积 b a f x dx 其中为被积函数 为积分区间 为积分下限 为积分上限 f x a bab 用定积分所要注意的事项 用定积分所要注意的事项 1 因为定积分是曲边梯形的面积 因此定积分的值一定是一个常数 所以对定积分求导 导数值必为零 11 例 例 1 0 arctan0 d xdx dx 2 2 1 sin0ttdt 2 当 a b 时 0 b a f x dx 因定积分上限 b a 当 b a 时 b a f x dx a b f x dx 例 例 1 1 sin 0 1 cos x dx x 32 23 f x dxf x dx 二 二 定积分的计算 定积分的计算 1 1 变上限积分的计算 变上限积分的计算 1 1 定义 定义 积分上限为变量时的定积分称为变上限积分 变上限积分是上限的函xx 数 记作 x x a f t dt 2 2 变上限积分的导数 变上限积分的导数 将代入到即可 x a f t dtf x x f t 例例 1 1 设 则 0 si