数学意识、数学思考与数学建模.doc

数学意识、数学思考与数学建模新课程改革正在全国如火如荼的推进，作为教师也应顺应时代的要求，“洗心革面”，迎接新课程。义务教育数学新课程总目标是：“掌握数学基础知识，增强应用技能；初步学会用数学的眼光去认识现实社会，学会数学的思考，增强应用数学的意识；体会数学的价值，增进对数学的理解，激发学好数学的欲望；具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。”为了实现这个总目标，特别是在提高数学能力方面，我在实施新课程数学教学过程中不断的寻求突破口、着力点。以下是我的一些认识：一、数学意识“意识”，从心理学上讲是指“人所特有的一种对现实系统化了的、自觉的、伴随着体验且有能动性的反映形式”。所谓数学意识，又叫数学观念,是指能用数学的观念和态度去观察、解释和表示事物的数量关系、空间形式和数据信息，以形成量化意识和良好的数感。也可以理解为，人们对于现实世界的数量关系和空间形式的一种自觉的、能动的认识活动。例如：看到个人，每人手里有个苹果，学生会同数学知识联系起来，这就是数学意识。再如：一只羊和一头牛在一起，学生见后有如下想法：、牛比羊重。一头牛的体重可能是羊的体重多少倍。、一头牛的体重相当于羊多少只的体重。又如看到一个圆形柱子，学生只想到它是圆柱体，不去考虑颜色、材料、质量。由此，具体的说，数学意识就是学生能够把生活中的具体问题与数学建立起联系，用数学的方法和观点去看待。数学意识是数学素质的一个重要组成部分。对于学生的数学意识的培养，首先要加强双基的教与学，在课堂上要让学生经历数学知识的形成过程和知识转化为技能的应用过程。其次要让学生在双基的实际应用过程中认识到数学的作用或魅力，从而“体会到数学的价值，增进对数学的理解”，产生学好数学的欲望。知识技能的掌握不等于具有了数学意识。只有学生主动的认识数学，形成了用数学的观点和方法看待事物，能从现实世界中寻找数量关系和各种空间形式，并有用数学知识解决问题的冲动时，学生才会有数学意识。二、数学思考思考，在现代汉语词典中是这样表述的：“思考是指进行比较深刻、周到的思维活动。” 前苏联心理学家维果斯基的内化理论提出：思考是一种活动，华东师范大学孔企平专家说：思考是学生学习数学认知过程的本质特点，是数学知识的本质特征。数学思考是指在数学活动中的思考。从狭义角度讲是指学生关于数学对象的理性认识过程。从广义角度理解还包括应用数学解决各种实际问题的数学式思考。数学思考应分为两部分，一是思考的材料（对象），二是材料的组织方法，即思维方法。直观地讲，也就是这两个问题：想的什么？怎样想的？要使学生能够进行数学思考，首先教师要有数学思考意识，教师的数学思考意识是教师数学能力的体现，也是影响学生具有数学思考意识的重要因素，其次让学生掌握基础知识和基础技能。掌握基础知识和基本技能就应该让学生知道哪是基础知识，哪是基本技能，不要在传统应试教育下，只顾传授，而忽略“这是什么知识、这是什么技能”的明示。 “什么是三角形的高”，这是基础知识，能画出三角形的高就是基本技能，图形的性质和判定是基础知识，运用这些性质和判定去进行简单地推理证明就是基本技能，学到基础知识相当于拥有了数学的基本工具。这些基本工具的应用也就是基本技能，基本技能体现了基本的能力，有了基本的能力才能进行数学思考。基础知识和基本技能是数学思考的材料。第三，要注意思维方法的渗透与培养。数学思维方法有观察，比较、分析、概括、抽象、直觉等。在学生经历数学知识形成过程中要暗示或明示知识形成中用到的思维方法。让学生在交流的过程中表达意见也是训练思维方法不错的手段。三、数学建模 有了数学思考，还等于把问题放在 “想象”中，放在空中。要解决实际问题，就要根据数学思考，建立数学模型。建立数学模型，必须知道什么是数学模型，数学模型分为反映数量关系的模型和反映空间位量关系的模型，反映数量关系的数学模型有方程，不等式，函数等。反映空间位量关系的模型有平行线、多边形、圆、高中内容中的各种立体图形等。中学数学中的建模是建模的低级层次，他只能反映建模的大致过程。这是由学生的知识水平和心理水平决定的。建立数学模型就是根据考察的实际问题，将研究的客观事物的现象和过程的主要特征，主要关系，采用形式化数学语言，概括的或近似的表达出来，进行求解，验证等过程，在这一过程中完成了从现实对象到数学模型，再由数学模型回到现实对象的循环。（吕世虎、石永生 初中数学新课程教学法 首都师范大学出版社 2004年5月第一）这个概念可用下面的一简一繁的图示来说明：实际问题分析、综合数学关系或空间位置关系简化与抽象（采用形式化数学语言）得到数学模型求解数学问题解释与验证解决、拓展实际问题通过通不过实际问题数学模型证验抽象解求简化 很明显，这里面最重要的是得到数学模型，得到数学模型的主要方法是抽象，通过抽象得到数学模型，要分两个层次。第一个层次是用抽象的方法得到模型的“构件”。第二个层次是根据一些公式、定律或问题中的变化规律建立一个具体的数学模型。例如：在中世纪，印度著名数学家婆什迦罗在其著作中提出的关于勾股定理的“荷花问题”：平平湖水清可鉴，荷花半尺出水面。忽来一阵狂风急，吹倒荷花平水齐。湖面之上不复见，入秋渔翁始发现。残花离根二尺远，试问水深尺若干？你看，这浓浓诗意。其中却蕴含着数学问题，此境一“抽象”便是这一幅模样：？2ABCDM这里，经历的第一层次地抽象是：“平平湖水”被“抽”成水平的“直线BC”“象”；湖底也被抽象成水平直线DM；婷婷玉立的荷花被抽象成垂直于BC的线段AD；“吹倒荷花平水齐”被抽象成线段DC；“残花离根二尺远”被抽象成线段BC。第二层次地抽象是：依据问题中反映出的空间位置关系把第一层次中得到的“构件”“拼”成一个整体，得到模型。接下来，利用数学知识（此题可用勾股定理的有关知识）求出此模型中的“？”，经过验证，从而解决实际问题。又如：八年级学生小明家刚买了电脑，这几天他很高兴。趁着愉快的心情又向爸爸提出装宽带的事情，爸爸叫小明去电信局打听一下，怎么个装法？小明兴致勃勃的来到电信局，看到侧面墙上这样一个表格：上 网 收 费 一 览 表月租费计费方式A无0.1元/分方式B20元0.05元/分小明看完表后，马上寻思着：“我得给爸爸来个精彩的回报，说不定爸爸一高兴，就装了。上网有两种方式，我应该选取哪种方式呢？比较出哪种方式省钱就可以了。我得用数学知识算一算。计费与上网时间有关，我设上网时间为x分，根据表格里的意思建立起数学模型，解出来就能回答爸爸了。（这就是数学意识。）”于是他回到家立即进行思考计算，过程如下：设上网时间为x分，则方式A收费为0.1x元，方式B收费为（0.05 x+20）元。（这里的0.1x、（0.05 x+20）就是模型要用的构件）假如方式A合算，有：0.1x0.05 x+20，解得：x400（把“方式A合算”抽象为不等式“0.1x0.05 x+20”）假如方式B合算，有：0.05 x+20400假如方式A、方式B的缴费一样，有0.1x=0.05 x+20，解得：x=400（把“方式A、方式B的缴费一样”抽象为方程“0.1x=0.05 x+20”）全家平均一天上网时间若为60分钟，一月按30天计就有1800分钟，方式A得缴费180元，方式B得缴费110元，选B。全家平均一天上网时间若为20分钟，一月按30天计就有600分钟，方式A得缴费60元，方式B得缴费50元，选B。全家平均一天上网时间若为10分钟，一月按30天计就有300分钟，方式A得缴费30元，方式B得缴费35元，选A。小明思考着：数学模型与这些都吻合，其实用“一次函数模型”也可以解决这个问题，这个爸爸不一定懂。接着，他高兴地向爸爸作精彩的回报去了建立数学模型是一种重要数学思想。至于培养学生的建模能力，我认为从以下几个方面进行：一、重视基础知识形成过程的教与学。二、加强对学生“数感”的培养。三、培养学生的“符号感”。四、多途径、多形式的培养学生的空间观念。五、在平常的教学中有意地渗透数学建模思想。从长远看、从提高学生数学素质看、从培养创新人才看、从今后的数学考核来看，数学建模必将成为考查学生学数学、用数学