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Householder变换 则 记 即 该变换将向量变成了以为法向量的平面的对称向量 Householder变换又称为反射变换或镜像变换 有明显的几何意义 在中 给定一个向量 令 表示 关于平面 以为法向量 的反射变换所得像 如图所示 定义设是一个单位向量 令 则称H是一个Householder矩阵或Householder变换 性质5 1 1设H是一个Householder矩阵 则 1 H是Hermite矩阵 2 H是酉矩阵 3 H是对合矩阵 4 H是自逆矩阵 5 diag I H 也是一个Householder矩阵 6 detH 1 其中为实数 定理设是一个单位向量 则对于任意的 当时 取单位向量使 存在Householder矩阵H 使得 证明当x 0时 任取单位向量 则 则 所以 当时 取 由于 推论1对于任意的 存在Householder矩阵H 使 其中为实数 推论2对于任意的 存在Householder矩阵H 上述结论表明 可以利用Householder变换将任意向量化为与第一自然基向量平行的向量 共线 其中 使得 得 例2用Householder变换将向量化为与平行的向量 因此 解由于 为了使 为实数 取 令 则 也可取或 说明 2020 4 5 1 Givens矩阵和Givens变换 从上图中我们可以看出旋转变
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