信号与系统-11.19第八章 离散系统的z域分析

第八章,1,第八章 离散系统的Z 域分析,第八章,2,1) 双边Z变换：,2) 单边Z变换：,f(k):原序列F(z):象函数,第八章,3,Z变换的收敛域,左边序列,收敛域在圆内,双边序列，收敛域由圆环组成。,右边序列的收敛域,左边序列的收敛域,双边序列的收敛域,右边序列,收敛域在圆外,第八章,4,常用信号的Z变换,单位序列 (k),单边指数序列 akU(k),左序列 -akU(-k-1),单位阶跃序列 U(k),复指数序列,正弦函数 sinkU(k),余弦函数 coskU(k),第八章,5,Z变换的基本性质,方法：1.幂级数展开法 2.部分分式展开法 3.围线积分法留数法,Z反变换,z变换的基本形式：,第八章,6, 84 离散系统z域分析,、应用z变换求解差分方程,零输入响应z域求解,（1）对差分方程进行z变换（利用移序性质）：,（2）由z域方程求出响应,（3）求反变换，得差分方程时域解,第八章,7,一、应用z变化求解差分方程,2、零状态响应Z域求解：,3全响应z域求解,第八章,8,线性时不变系统数学模型为：y(k)-5y(k-1)+6y(k-2)=f(k) ， 且K0，y(k）=0，f(k)=4kU(k)。求y(k)。,解：,例 3：,解：,例 2：,第八章,9,关于初始值的概念,例：差分方程为,解：零输入响应：,零状态响应：,全响应为,令 k =0 时，y(0)=2，而yx(0)=1，yf(0)=1,两个初始值的概念不同： yx(0)为未加激励时的初始值。是系统的初始储能。 yf(0)是由f(k)引起的，与系统的初始状态无关。 y(0)=yx(0)+yf(0)为系统响应的初始值， 既有初始储能又有f(k)的贡献。,第八章,10,一、应用z变换求解差分方程,例4、,解二：按Z变换公式求解,解一：零输入响应按时域方法求，零状态响应按系统函数求解。,第八章,11,解：,由系统框图，列出系统的差分方程,（1）零状态响应yf(t)：,例 4 解 法 一,第八章,12,例 4,（2）零输入响应yx(t)：,特征方程：,特征根 z1-1，z2-2,代入原方程，得,由已知y(0)=y(1)=0迭代求y(-1)、y(-2),(3)全响应：,解 法 一,y(0)=y(1)=0,第八章,13,例 4,解 法 二,按Z变换公式求解,差分方程z变换,用y(0)=y(1)=0递推出y(-1)=-1/2，y(-2)=5/4，代入上式，有,第八章,14,y(-1)=-1/2，y(-2)=5/4,第八章,15,8-5 Z域系统的系统函数H(z),定义,物理意义,H(z)是离散时间系统单位序列响应h(k)的z变换,即，激励为zk时，H(z)为系统零状态响应的加权函数。,（3） 系统z域数学模型，取决于系统自身结构和参数。,第八章,16,系统函数的求法,3、已知系统传输算子H(E)：,2、由单位序列响应 求,1、定义求,4、零状态下差分方程求H(z),差分方程两边取单边z变换，且k0时，y(k)f(k)0；,5模拟框图、信号流图,得到z域模拟框图或信号流图，由梅森公式求得H(z)。,例1,例2,例3,第八章,17,零状态差分方程求H(z),解：,对差分方程两边取单边z变换，且k0时，y(k)f(k)0，则有,解：,解：,返回,第八章,18,系统函数的应用,1. 求系统的单位序列响应h(k)，即 h(k)=Z -1H(z) 。2. 求系统的零状态响应 yf(k)，即 yf(k)=Z -1H(z)F(z) 。3. 求系统的零输入响应 yx(k)， 即根据H(z)的极点和零输入初始条件可求得系统的零输入响应。4. 由H(z)可直接写出系统的差分方程。也可画出系统模拟图或信号流图。,5求系统频率特性H(jw)：,6. 求系统正弦稳态响应：,条件：H(z)收敛域含单位圆，即：,7系统零极点分析； 8. 判断系统稳定性； 9. 系统模拟仿真。,返回,系统模拟,第八章,19,解：,F(z),Y(z),1/z,1/z,1/4,y(k)=0.25y(k-2)+f(k-1),Z变换,Y(z)=0.25z-2Y (z)+z-1F(z),（2）,（3）,（4）,f(k)=(0.5)kU(k),返回,第八章,20,例 5,返回,已知系统框图，求H(z)和h(k)。,解：,设中间序列w(k)，,w(k),z变换：,1个 环路：L=-0.3Z-12个前向通路：P1=1，1=1 ； P2=4Z-1，2=1,第八章,21,例 6,返回,已知系统框图。（1）求H(z)和系统差分方程； （2）求激励f(k)=10cos(628Tk+ 30o),T=10-3 s时系统正弦稳态响应。,解：,系统差分方程,（2）激励f(k)=10cos(628Tk+ +30o),T=10-3 s，628T=0.628rad=36o，,系统正弦稳态响应为 y(k)=17.25cos(628Tk + 7o),第八章,22,系统模拟,例7：对于离散线性因果系统的差分方程,画出实现该系统的模拟图：(1)直接形式；(2)级联形式；(3)并联形式。,系统函数为：,第八章,23,直接形式的模拟图,返回,第八章,24,级联形式的模拟图,返回,第八章,25,并联形式的模拟图,第八章,26,一、系统函数的零点和极点系统函数一般是一个实系数有理分式，即,其中： zi 称为系统函数的零点；pj 称为系统函数的极点。,86 系统函数H(z)的零、极点分析,例1：,极点：,零点：,极点决定系统的固有频率或自然频率。 零、极点决定于系统时域特性。,第八章,27,零极点图：,例：,（2）,研究系统零极点意义： 1.可预测系统的时域特性； 2. 确定系统函数H(z); 3.描述系统的频率特性； 4. 说明系统正弦稳态特性； 5.研究系统的稳定性。,练习：H(z)的零极点分布如图示，且H(0)=4，求H(z)。,在z平面上，画出H(z)的零极点图：极点用表示，零点用。表示。,第八章,28,二、零点与极点分布与系统的时域特性,单极点：,返回,第八章,29,极点对h(k)的影响,（2）,单位圆内极点,单位圆外极点,单位圆的单极点：有界稳态分量,单位圆重极点,极点决定h(k)的性质，零点只影响h(k) 幅度与相位。,稳定工作系统,系统稳定的条件：H(z)极点全部位于z平面单位圆内。,第八章,30,频率特性的几何确定法,极点指向单位圆的矢量；,零点指向单位圆的矢量；,当T从02（ejT逆时针方向旋转一周）时，,H(ejT)的幅值和相位也随之变化。,幅频特性，是周期函数，偶函数；,相频特性，是周期函数，奇函数。, 在Z平面零、极点图上用矢量作图法可分析系统的频率特性。,离散系统频响特性矢量作图,第八章,31,例 2,求离散系统的频率特性，系统函数为,解：极点：p1=0.5，零点：z1= -1,低通滤波器,第八章,32,例 3,求离散系统的频率特性，系统函数为,解：极点：p1=-0.5，零点：z1= 0,高通滤波器,数字高通滤波特性,第八章,33,四H(z)与系统正弦稳态响应,系统函数H(z)的收敛域包括z平面单位圆,激励信号为,系统的正弦稳态响应,例4：,解：,第八章,34,例4：,第八章,35,一、定义,若一个系统对于有界激励信号产生有界的响应，则该系统是稳定的。即：,二、稳定性准则（充要条件）,可见，系统稳定性取决于系统本身的结构和参数，是系统自身性质之一。系统是否稳定与激励信号无关。,其中：Mf ， My为有限正数,其中：M为有限正数,即：系统的单位序列响应绝对可积，则系统稳定。,8-7 离散系统的稳定性,因果系统,第八章,36,三、稳定性判断,1、极点判断：,（1） H(z)极点全部位于z平面单位圆内： 系统稳定（2）含有单位圆单极点，其余位于单位圆内：系统临界稳定（3）含有单位圆外或单位圆上重极点： 系统不稳定,由系统极点判断,例1：,例2:,A满足什么条件，系统稳定？,稳定条件：-3/4 A 3/4,(系统稳定),第八章,37,例 3,离散时间系统差分方程,求（1）系统函数H(z)，并说明它的收敛域及系统的稳定性； （2）求单位序列响应h(k)； （3）激励f(k)为单位阶跃序列时，求零状态响应yf(k)。,解：,(1) 差分方程两边取z变换：,系统函数,H(z)极点均位于单位圆内,系统是稳定的因果系统,第八章,38,例 3,求：（3）激励f(k)为单位阶跃序列时，求零状态响应yf(k)。,（3） f(k)=U(k),解：,第八章,39,朱里准则,线性非时变离散系统是稳定因果系统的充分必要条件是，其系统函数H(z)的极点都位于单位圆的内部。,朱里提出了用特征多项式检验的方法，先介绍朱里表。,为要判别系统是否稳定，就要判别系统函数 的特征方程 的根的绝对值是否小于1。,第八章,40,朱里列表,设,返回,第八章,41,朱里准则,设朱里准则：D(z)的所有根都在单位圆内的充分和必要条件是,Jury阵列奇数行首列元素大于该行末项元素绝对值时，D(z)=0的根全位于单位圆内。,