三垂线定理逆定理证明和应用求二面角PPT课件

性质 判定定理 性质 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 三垂线定理 1 三垂线定理解题的关键 找三垂 怎么找 一找直线和平面垂直 二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直 注意 由一垂 二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件 解题回顾 2 三垂线定理包含几种垂直关系 线射垂直 线面垂直 线斜垂直 直线AP和平面 垂直 平面内的直线a和平面一条斜线的射影AO垂直 平面内的直线a和平面的一条斜线OP垂直 3 线射垂直 线斜垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直 三垂线定理的逆定理 4 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线的射影垂直 三垂线定理的逆定理 5 例1 PA 正方形ABCD所在平面 O为对角线BD的中点 求证 PO BD 证明 ABCD为正方形O为BD的中点 AO BD 由三垂线定理 二 三垂线定理的应用 应用1 证明线线垂直 6 例3 如图 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 连结BD1 AC CB1 B1A 求证 BD1 平面AB1C BD1 AC BD1 平面AB1C 证明 连结BD 连结A1B 三垂线定理 ABCD是正方形 AC BD 又DD1 平面ABCD BD是斜线BD1在平面ABCD上的射影 而A1B是BD1在平面ABB1A1内的射影 BD1 AB1 7 例2 已知 在正方体AC1中 求证 A1C B1D1 A1C BC1 B 8 Ex 1 P是 ABC所在平面外一点 若P点到 ABC各顶点的距离都相等 则P点在平面ABC内的射影是 ABC的 A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 2 P是 ABC所在平面外一点 若P点到 ABC各边的距离都相等 且P点在平面ABC内的射影在 ABC的内部 则射影是 ABC的 A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 3 P是 ABC所在平面外一点 连结PA PB PC 若PA BC PB AC 则P点在平面ABC内的射影是 ABC的 A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 射影定位 三棱锥定位 A B D 9 用三垂线定理及逆定理求二面角 10 1 三垂线定理及逆定理 A O a 定理 平面内一条直线 如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直 那么这条直线就和这条斜线垂直 b 三垂线定理及逆定理包含四线一面以后称这个平面为基面 一 复习导入 逆定理 平面内一条直线 如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直 那么这条直线就和这条斜线垂直 11 2 什么是二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 P A B 3 作二面角的平面角主要有哪几种方法 定义法 a b 垂面法 A H B 三垂线法 以后我们还将学习 投影法 空间向量法 和 异面直线距离法 等方法 今天我们主要学习用三垂线定理求二面角的大小 12 二 新课学习实例分析 例1 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 2 BC BB1 1 E为D1C1的中点 求二面角E BD C的大小 思路分析 定基面 平面BCD 定垂线 过E作EF CD于F F 找斜线or射影 作FG BD于G G 解 过E作EF CD于F 过F作FG BD EGF为二面角E BD C的平面角 BC 1 CD 2 而EF 1 在 EFG中 所求二面角大小为 ABCD A1B1C1D1是长方体 EF CD EF 平面BCD 且F为CD中点 又 FG BD EG BD 于G 连结EG 则EG BD M 射影or斜线自现连结EG 小结 垂面内 垂线在哪儿 13 取AB的中点为E 连PE OE O为AC中点 ABC 90 OE BC且OEBC 例2 如图 三棱锥P ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt ABC斜边AC的中点O 若PB AB 1 BC 求二面角P AB C的正切值 PEO为二面角P AB C的平面角 OE AB 因此PE AB 解 实例分析 E 在Rt PBE中 BE PB 1 PE 在Rt POE中 OE PO 所求的二面角P AB C的正切值为 小结 一定 二定 三找 自现 L随便 垂线在 14 课堂练习 练习1 如图 M是正方体ABCD A1B1C1D1的棱AB的中点 求二面角A1 MC A的大小 N H 思路分析 找基面 找基面的垂线 AA1 作平面角 作AH CM交CM的延长线于H 平面ABCD 解 作AH CM交CM的延长线于H 连结A1H A1A 平面AC AH是A1H在平面AC内的射影 A1H CM A1HA为二面角A1 CM A的平面角 设正方体的棱长为1 M是AB的中点 且AM CD 则在直角 AMN中 AM 0 5 AN 1 MN 连结A1H 二面角A1 CM A的大小为 15 练习2 2012南宁市第1次适应测试题 如图 在多面体ABCDE中 DB 平面ABC AE DB 且 ABC是边长为2的等边三角形 AE 1 CD与平面ABDE所成角的正弦值为 1 在线段DC上是否存在一点F 使得EF 平面DBC 若存在 求线段DF的长度 若不存在 说明理由 2 求二面角D EC B的平面角的余弦值 课堂练习 解答过程 略 16 课堂练习 练习3 考越试卷2 在如图所示的空间几何体中 平面ACD 平面ABC AB BC CA DA DC BE 2 BE和平面ABC所成的角为60度 且点E在平面ABC上的射影落在 ABC的平分线上 第 2 问思路分析 定基面 找基面的垂线 平面ABC 取AC的中点O 连结DO BO 过点E作EF BO 垂足为F 找射影 过点F作FG BC 垂足为G 解答过程 略 斜线自现 连结EG 1 求证 DE 平面ABC 2 求二面角E BC A的余弦值 17 三 课时小结 求二面角的大小关键是选取恰当的位置作出二面角的平面角 而用三垂线定理求作二面角的平面角是最常用和最有效的方法之一 要求切实掌握 让我们再来回味用三垂线定理作二面角的平面角的步骤 1 一定基面 二定垂线 三找斜线或射影 射影或斜线自现 L随便 2 垂线在垂面内 18 四 课后作业 2 已知 ABC AB 10 BC 6 P是平面ABC外一点 且PA PB PC AC 8 求二面角P AC B的平面角的正切值 3 已知C是