数学建模——存储模型

1 存储模型 摘要 本文建立的是在产品需求稳定不变 生产准备费和产品贮存费为常数 生 产能力无限的条件下的存贮模型 在不允许缺货和允许缺货的这两种情况下 为了简化模型的建立 我们采用了连续的变量来更加合理地来描述问题 模型 的求解是一个以每天的平均费用作为目标函数来求解的优化模型 本文主要是 通过数学中的微积分知识 借助 Matlab 程序实现 来求目标函数的极值问题 从而求得总费用最小的方案 首先 在模型一中我们提出了不允许缺货的优化模型 即综合考虑在产品 需求稳定不变 生产准备费和产品贮存费为常数 生产能力无限 不允许缺货 以及确定生产周期和产量的情况下 使总费用最小的模型 这个模型中 通过 对得到的目标函数进行分析求解 可以得出经济订货批量公式 EQQ 公式 验证了模型一的准确性 其次 模型二中考虑当缺货的损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮 存费时 提出了允许缺货的贮存模型 根据贮存量函数和周期之间的关系 得 到适用于模型二的目标函数 此外 在模型二的求解中 当函数中的变量都各 自趋于某一定值时 可以近似认为不允许缺货模型是缺货模型的特例 总而言之 本文中的存贮模型是在总费用中增加购买货物本身的费用时 重新确定最优订货周期和订货批量的优化模型 并且证明了在不允许缺货模型 和允许缺货模型中结果都与原来的一样 充分考虑了模型的优化 关键词 不允许缺货 允许缺货 订货周期 订货批量 matlab 程序 2 一 问题重述 在我们的周边有一家配件厂 据我们得知 该厂为装配线生产若干种部件 时因更换要付生产准备费 与生产数量无关 同一部件的产量大于需求时因积 压资金 占用仓库要付贮存费 现已知某一部件的日需求量为 100 件 生产准 备费 5000 元 贮存费每日每件 1 元 如果生产能力远大于需求 试求在以下两 种情况下来安排该产品的生产计划 即多少天生产一次 称为生产周期 每次 产量多少 可使总费用最小 1 不允许出现缺货 2 允许出现缺货 二 问题分析 在第 1 问时 我们不如先来试算一下以下几种情况的结果 若每天生产一次 每次 100 件 则我们可知 此时无贮存费 生产准备费 5000 元 每天费用为 5000 元 若 10 天生产一次 每次 1000 件 则我们可知 此时贮存费为 900 800 100 4500 元 生产准备费 5000 元 总计 9500 元 平均每天费用 为 950 元 若 50 天生产一次 每次 5000 件 则我们可知 此时贮存费为 4900 4800 100 122500 元 生产准备费 5000 元 总计 127500 元 平均每 天费用为 2550 元 从以上的计算看 生产周期短 产量少 会使贮存费小 准备费大 而周期长 产量多 会使贮存费大 准备费小 所以必然存在一个最佳的周期 使总费用 最小 我们可知 这应该算是一个优化模型我们应先建立一个不允许缺货的存 贮模型 即在产品需求稳定不变 生产准备费和产品贮存费为常数 生产能力 无限 不允许缺货下的确定生产周期和常量 使总费用最小的模型 而在第 2 问中 需改进一下第一问的条件 在短时间可以缺货的情况下 虽然这会造成一定的损失 但如果损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮 存费的话 我们可优化一下第一个模型 建立一个更全面的模型 3 三 模型假设 为了处理的方便 考虑连续模型 即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量 根据问题性质 我们作如下假设 1 产品每天的需求量为常数 r 2 每次生产准备费为 c1 每天每件产品贮存费为 c2 3 生产能力为无限大 相对于需求量 当贮存量降到零时 Q 件产品立即生 产出来供给需求 4 在第 1 问中 不允许缺货 5 在第 2 问中 允许缺货 每天每件产品缺货损失费为 c3 但缺货数量需 在下次生产 或订货 事补足 四 符号说明 符号意义 r 产品每天的需求量 c1 每次生产准备费 c2 每天每件产品贮存费 q t 相应时间 t 下的贮存量 Q 每次的产量 T 生产周期 C 每天平均最小费用 4 五 模型的建立与求解 5 1 模型一的建立 不允许缺货的存贮模型 先考察这样的问题 配件厂为装配线生产若干部件 轮换生产不同的部件时 因更换设备要付生产准备费 与生产数量无关 同一部件的产量大与需求时因积 压资金 占用仓库要付贮存费 将贮存量表示为时间 的函数 生产件 贮存量 t q t0t Q 0 qQ 以需求率 递减 直到 如图 1示 显然有 q tr 0q T 3 1 Qrt q Q r A O T t 图 1 不允许缺货模型的贮存量 q t 一个周期内的贮存费 其中积分恰等于图中三角形 A 的面积 2 0 r cq t dt 2 QT 1 因为一个周期的准备费是 再注意到 1 式 得到一周期的总费用为 1 c 2 2 1212 22Ccc QTcc rT 于是每天的平均费用是 5 3 12 2C TC Tc Tc rT 3 式即为这个优化模型的目标函数 5 2 模型一的求解 求使 3 最小 容易得到T 4 1 2 2c T c r 代入 1 式得到 5 1 2 2c r Q c 由 3 式算出最小的总费用为 6 1 2 2Cc c r 4 5 式是经济学中著名的经济订货批量公式 EOQ 公式 4 由 4 5 式可以看到 当准备费增加时 生产周期和产量都变大 当准 1 c 备费增加时 生产周期和产量都变小 当需求量 增加时 生产周期变小而产 2 cr 量变大 这些定性的结果都是符合常识的 得到的模型用于计算开始的问题 以代入 1 212 25000 1 100Cc c rccr 4 6 式可得天 元 这里得到的费用与前面计算的 95010T 1000T C 元有微小的差别 是因为假设函数为连续函数时 多计算了 1 2 0 100 100 ct dt 5 3 模型一的结果分析 讨论参数 有微小变化时对生产周期的影响 1 c 2 cr 用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度 对的敏感程度记为 T 1 c 1 S T c 7 1 1 111 cT TdT S T c c cdc T 由 4 式容易得到 作类似的定义可得的 1 1 2S T c 2 1 2S T c 6 即增加了 1 增加了 0 5 而或 增加了 1 减少 0 5 1 2S T r 1 cT 2 crT 的微小变化对生产周期的影响是很小的 12 c c rT 5 4 模型二的建立 允许缺货的存贮模型 在某些情况下用户允许短时间的缺货 虽然这会造成一定的损失 但是如 果损失费不超过不允许缺货的准备费和贮存费的话 允许缺货就应该是可以采 取的策略 因贮存量不足造成缺货时 可认为贮存量函数为负值 如图 2 周期 q t 2 仍记作 Q 是周期初的贮存量 当时 于是有T 1 tT 0q t Q r 1 T 8 在到的这段缺货时段内需求率 不变 按原斜率继续下降 由于规定缺 1 TTr q t 货量补足 所以在时数量为的产品立刻到达 使下周期的贮存量恢复到tT R Q q Q r R A O B T t 1 T 7 图 2 允许缺货模型的贮存量 q t 与建立不允许缺货模型时类似 一个周期内的贮存费时乘以图 2中三角形 2 c 2 A 的面积 缺货损失费时乘以图 2 中三角形 B 的面积 计算这两块面积 并加 3 c 上准备费 得到一周的总费用为 1 c 2 12131 2 2Ccc QTc r TT 9 利用 8 式将模型的目标函数 每天的平均费用 记作和的二元函数TQ 10 22 312 22 c rTQcc Q C T Q TrTrT 5 5 模型二的求解 利用微分法求和使最小 令 可得 为TQ C T Q0 C T 0 C Q 了与不允许徐缺货模型相区别 最优解记作 T Q 231 23 2c cc T c rc 31 223 2cc r Q ccc 11 注意到每周期的供货量 有RrT 231 23 2ccc r R cc 12 记 23 3 cc c 13 与不允许缺货模型的结果 4 5 式比较不难得到 14 TT Q Q RQ 由 13 式 1 故式 14 给出 即允许缺货时 TT QQ RQ 8 周期及供货量应增加 周期初的贮存量减少 缺货损失费越大 相对于贮存 3 c 费 越小 越接近 越接近 当时 于是 2 c T T Q RQ 3 c 1 这个结果合理么 考虑的意义 由此不允许缺TT QQ RQ 3 c 货模型可视为允许缺货模型的特例 六 模型评价与推广 本文中所建立的模型是从工厂原料需求的实际出发建立的最优规划模型 在需求量稳定的前提下讨论了两个简单的存贮模型 不允许缺货模型和允许缺 货模型 前者适用于一旦出现缺货会造成重大损失的情况 如炼铁厂对原料的 需求 后者适用于像商店购货之类的情形 缺货造成的损失可以允许和估计 问题一中提出了不允许缺货的优化模型 即综合考虑在产品需求稳定不变 生产准备费和产品贮存费为常数 生产能力无限 不允许缺货以及确定生产周 期和产量的情况下 使总费用最小的模型 问题二则考虑当在某些情况下用户 允许短时间的缺货 虽然这会造成一定的损失 但是如果损失费不超过不允许 缺货的准备费和贮存费的话 允许缺货所对应的数学模型 模型的扩展性良好 能