商业数据的参数的区间估计PPT课件

第7章参数的区间估计 内容摘要 1 区间估计的概念和原理2 对总体均值的区间估计3 对总体比例的区间估计4 对总体方差的区间估计5 计算样本容量 引例 为了估计目前北京市场二手房交易的平均价格 制定相应的营销策略 某房地产中介公司在2005年第四季度的二手房交易中 随机抽取40个交易作为样本 得到二手房交易价格如下表所示 单位 万元 根据上述数据如何估计总体的平均价格 如果需要进一步推断房屋款项在43万元以上的交易占全部交易的比例 应当如何分析呢 统计方法 统计方法 统计描述 统计推断 参数估计 假设检验 点估计 区间估计 区间估计过程 均值 是未知的 总体 随机样本 我有95 的把握认为 在40和50之间 均值 45 区间估计初步 置信区间 样本统计量 置信下界 置信上界 总体参数落在某区间内的概率 1 未知总体参数落在区间内的概率2 表示为 1 置信水平 是参数不落在区间内的概率3 通常取值99 95 90 即 0 01 0 05 0 10 置信水平 置信区间 90 样本 95 样本 99 样本 影响区间宽度的因素 区间的宽度影响因素 1 数据离散度 2 样本容量n3 置信水平 1 区间估计的步骤 以总体均值的区间估计为例 1 确定置信水平 2 根据置信水平 查标准正态分布表确定其值 3 实际抽样 并计算样本的均值和抽样误差 4 确定置信区间 区间估计的内容 区间估计 总体均值的区间估计 总体比例的区间估计 总体方差的区间估计 两个总体均值之差 单一总体 单一总体均值的区间估计 X已知或大样本 1 假设已知总体标准差总体正态分布如果不是正态 可被正态分布逼近 样本n 30 2 置信区间 举例1 沿用引例 假定房地产中介公司从上季度的二手房交易记录中得到以下信息 交易价格的标准差为15万元 于是我们假定总体标准差 15 试在95 的置信水平下估计二手房平均价格的置信区间 解答 已知n 40 15 计算得到样本均值 由1 0 95 查标准正态分布概率表得 于是在95 的置信水平下的置信区间为 即 40 83 50 13 结果表明 在95 的置信水平下 二手房交易价格的置信区间为40 83万元 50 13万元 单一总体均值的区间估计 X未知且小样本 1 假设总体标准差未知总体服从正态分布2 用t分布3 置信区间 Z t t分布 Student stDistribution 0 t df 5 标准正态分布 t 自由度df 11 自由度 Degreeoffreedom 1 当样本统计量被计算出以后可以自由改变的观测值数目2 举例3个数之和是6X1 1 或其他数 X2 2 或其他数 X3 3 不能改变 Sum 6自由度df n 1 2 举例2 沿用引例 假定该房地产公司在某日随机抽取16位二手房购买者 得到二手房交易价格如下表所示 万元 根据以往交易情况得知 二手房交易价格服从正态分布 但总体方差未知 试在95 的置信水平下估计二手房交易平均价格的置信区间 解答 已知n 16 计算得到样本均值 样本标准差s 14 175 由1 0 95 查表得 于是在95 的置信水平下的置信区间为 即 35 923 51 027 结果表明 在95 的置信水平下 二手房价格的置信区间为35 923万元 51 027万元 即该公司可以有95 的把握认为 二手房交易价格介于35 923万元到51 027万元之间 单一总体均值的区间估计总结 区间估计的内容 区间估计 总体均值的区间估计 总体比例的区间估计 总体方差的区间估计 两个总体均值之差 单一总体 两个总体均值之差的区间估计 总体方差为已知 独立样本 Independentsample 两个样本是从两个总体中独立地抽取的 即一个样本中的元素与另一个样本中的元素相互独立 1 大样本条件下 1 在两个总体的方差 12和 22均已知的情况下 两个总体均值之差的置信区间为 总体方差未知 1 大样本条件下 2 在两个总体的方差 12和 22均未知的情况下 可用两个样本的方差s12和s22代替 这时 两个总体均值之差的置信区间为 举例3 沿用引例 从2006年初开始 北京二手房交易价格急剧攀升 为对比2006年第一季度与2005年第四季度二手房平均价格的差异 该房地产中介公司从2006年第一季度的交易中随机抽取36个 得到二手房交易价格如下表所示 单位 万元 举例3 将以上数据和引例中2005年第四季度二手房交易价格进行整理 得到根据以上数据 试以95 置信水平估计2006年第一季度与2005年第四季度的二手房交易平均价格差值的置信区间 解答 由于两个样本相互独立 且均为大样本 因此两个样本的均值之差服从正态分布 在95 置信水平下做出区间估计如下 即 16 45 0 35 结果表明 有95 的把握认为 总体平均价格的差异介于 16 45万元 0 35万元之间 即2006年第一季度比2005年第四季度的二手房平均交易价格显著上升 小样本条件下区间估计 2 小样本条件下 1 当两个总体的方差均已知时 可用式 6 4 建立两个总体均值之差的置信区间 2 当两个总体的方差 12和 22均未知 且 12 22时 可用两个样本的方差s12和s22计算总体方差的合并估计量sp2 这时 两个样本均值之差经标准化后服从自由度为的t分布 两个总体均值之差的置信区间为 举例4 沿用引例 为对比北京市不同地区二手房交易价格的差异 该房地产中介公司从中关村和望京地区两个营业部2006年第一季度的二手房交易中各抽取8个 得到二手房交易价格如下表所示 假定两个地区的二手房交易价格服从正态分布 且方差相等 试以95 置信水平估计2006年第一季度中关村和望京地区的二手房平均价格差值的置信区间 解答 已知n 16 总体方差未知 计算得由1 0 95 8 8 2 14查表得于是在95 置信水平下的置信区间为 解答 即 2 041 35 591 结果表明 有95 的把握认为 总体平均交易价格的差异介于 2 041万元到35 591万元之间 本例中 所求置信区间包含0 说明我们没有足够的理由认为2006年第一季度中关村地区和望京地区的二手房交易平均价格存在显著差异 2 小样本条件下 3 当两个总体的方差 12和 22均未知 且 12 22时 如果两个总体都服从正态分布且两个样本的容量相等n1 n2 则可用下列公式建立两个总体均值之差的置信区间 2 小样本条件下 3 当两个总体的方差 12和 22均未知 且 12 22时 如果两个样本的容量不相等n1 n2 则两个样本均值之差经标准化后近似服从自由度为d的t分布 两个总体均值之差的置信区间为 其中 两个总体均值之差的区间估计 配对样本 Matchedsample 即一个样本中的数据与另一个样本中的数据相对应 1 大样本条件下 两个总体均值之差的置信区间为 2 小样本条件下 两个总体均值之差的置信区间为 其中 d 为各差值的均值 当总体标准差未知时 可以用样本差值的标准差替代 举例5 沿用引例 为比较分析北京市同一地区不同年份二手房价格的差异 该房地产中介公司从中关村地区2005年第四季度的二手房交易中 抽取了8个交易 并根据2006年当月市场行情 分别对这8个房源进行重新估价 得到二手房价格如下表所示 单位 万元 假定二手房价格服从正态分布 且方差相等 试以95 置信水平估计中关村地区2006年第一季度和2005年第四季度的二手房平均价格差值的置信区间 解答 已知n 8 总体方差未知 计算得 由1 0 95 查表得于是按照式 6 11 在95 置信水平下的置信区间为 即 10 172 6 604 结果表明 有95 的把握认为 总体平均价格的差异介于 10 17万元 6 60万元之间 即认为中关村地区2006年第一季度比2005年第四季度的二手房平均价格有显著提高 区间估计的内容 区间估计 总体均值的区间估计 总体比例的区间估计 总体方差的区间估计 两个总体比例之差 单一总体 单一总体比例的区间估计 1 假设总体服从二项分布可以用正态分布近似估计np 5且n 1 p 52 置信区间估计 两个总体比例之差的区间估计 1 假设总体服从二项分布可以用正态分布近似估计np1 5且n 1 p1 5 np2 5且n 1 p2 52 置信区间估计 举例6 根据引例以及例3的数据 整理得出2006年第一季度与2005年第四季度交易价格在43万元以上的二手房交易数量及所占比例 试在95 置信水平下估计这两个时期 交易价格在43万元以上的二手房交易所占比例的差值的置信区间 整理数据如下 解答 已知在95 置信水平下的置信区间为 即 38 5 4 62 结果表明 有95 的把握认为 两个年份价格在43万元以上的二手房交易所占比例的差异介于 38 50 到4 62 之间 本例中 所求置信区间包含0 说明我们没有足够的理由认为2006年第一季度与2005年第四季度价格在43万元以上的二手房交易所占比例存在显著差异 区间估计的内容 区间估计 总体均值的区间估计 总体比例的区间估计 总体方差的区间估计 总体方差的区间估计 1 假设总体服从正态分布2 用分布3 置信区间 举例7 沿用引例 假定二手房的交易价格服从正态分布 试在95 的置信水平下估计二手房交易价格方差的置信区间 解答 计算得由a 0 05在95 置信水平下的置信区间为 即 191 99 466 3 相应地 总体标准差的置信区间为 13 86 21 59 结果表明 有95 的把握认为 2005年第四季度二手房交易价格的标准差介于13 86万元到21 59万元之间 样本容量的确定 假定E Error 是在一定置信水平下