矩阵相似的性质与应用的研究.doc

矩阵相似的性质与应用的研究1 引言矩阵相似的理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学中的难点之一，特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题，在各个版本的数学类图书中，往往将这两个问题紧凑的联系在一起。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。由于矩阵相似的应用范围相当广泛。本文主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究，也使这部分内容能够相互融合起来，更有利于学习者的掌握和应用。2 矩阵相似的定义与基本性质2.1矩阵相似的定义令为非奇异矩阵，考察矩阵的线性变换 令线性变换的特征值为，对应的特征向量为，即 将式代入上式，即有或令或，则式可以写作 比较和两式可知，矩阵A和具有相同的特征值，并且矩阵B的特征向量是矩阵的特征向量的线性变换，即。由于矩阵和的特征值相同，特征向量存在线性变换的关系，所以称这两个矩阵“相似”。于是：设 、都是阶方阵，若有可逆方阵，使，则称是 的相似矩阵。或者说矩阵与相似。对进行运算 称为对进行相似变换。可逆矩阵称为把变成的相似变换阵。2.2矩阵相似的一些基本性质： 自反性：。 对称性：则。传递性：及可得：。如果阶矩阵,相似，则它们有相同的特征值。但逆命题不成立。相似矩阵另外的一些特性： 1)相似矩阵有相同的秩。 2)相似矩阵的行列式相等。3)相似矩阵或都可逆，或都不可逆。当它们可逆时，它们的逆也相似。4)则，、（若，均可逆）、从而，有相同的特征值。3 相似对角矩阵的有关性质3.1矩阵可相似对角化的引入与定义设是复数域上的维线性空间，是的一个线性变换。又与是的两组基，从第一组基到第二组基的过渡矩阵是。则线性变换在这两组基下的矩阵与相似，即 我们自然会问：矩阵可否相似与一个对角形矩阵？换言之，是否可以适当的选取第二组基，使得线性变换在这组基下的矩阵是个对角矩阵呢？我们逐步解决这个问题。首先设想矩阵能相似与一个对角矩阵，即设 (1)因而有 (2)若把写成分块矩阵 ，这里 代表的个列向量。应用矩阵乘法规则，容易验证，故由(2)式可得 (3)或 。这说明，若能够与对角矩阵相似，则可逆矩阵的每个列向量（非零向量）都满足(3)式。简言之，对于阶矩阵，维列向量，并且存在个线性无关的特征向量相应的特征值分别为即有取最终可得到 即与对角形矩阵相似。3.2矩阵可相似对角化的性质（1）如果两个矩阵和都可以相似同一个对角矩阵，那么。（2）如果阶矩阵的每个重特征根，有则与对角矩阵相似，否则不相似，其证明如下：证明：设阶矩阵的互异特征根为，其重数分别为，则有 （必有个特征根），而由式得到。即齐次线性方程组的基础解系有个解向量。由式知道有个线性无关的特征向量，故可得到与对角矩阵相似。（3）阶矩阵可相似对角化的充分必要条件是具有个线性无关的特征向量。（4）数域上的级矩阵可相似对角化的充分必要条件是对每个特征值均有几个重数等于代数重数。（5）数域上的级矩阵可相似对角化的充分必要条件是的最小多项式是上互素的一次因式的乘积。 定理：级矩阵可相似对角化的充分必要条件是：其中，,，是的所有互不相同的特征根。 证明：必要性 若可相似对角化，则，又由，故有 充分性：若，则有个线性无关的特征向量，故可相似对角化。3.3相似矩阵与若尔当标准形 虽然非单纯矩阵不能相似于对角阵，但它能够相似于一个形式上比对角矩阵稍微复杂的若尔当标准形。由于若尔当标准形的独特结构揭示了两个矩阵相似的本质关系，故在数值计算和理论推导中经常采用。利用它不仅容易求出矩阵的乘幂，还可以讨论矩阵函数和矩阵级数，求解矩阵微分方程。 定义：形如 的方阵称为阶若尔当块。其中可以是实数，也可以是复数。 定理：矩阵的充要条件是他们相应的特征矩阵。 每个阶复矩阵都与一个若尔当标准形相似，且这个若尔当标准形在不计其中若尔当块的排列次序时，完全有矩阵唯一决定。 复矩阵可对角化的充要条件是的特征矩阵的初等因子全为一次式。4 矩阵相似的应用4.1矩阵相似在代数方面的应用.例1.某实验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及时间至年终考核有成为熟练工。设第年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和，记成向量。（1） 求与的关系式并写成矩阵形式:=;（2） 验证，是的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；（3） 当时，求。解：（1）按题意有化简得对其用矩阵表示即为 =，于是（2） 令，则由知，线性无关。因。故为的特征向量，且相应的特征值。因，故为的特征向量，且乡音的特征值为。（3） 由于有=A=。 由，有。于是有 又，故=。因此有=例2 著名的Fibonacci数列0,1,1,2,3,5,8,13,利用矩阵特征值、对角化相似解决这个问题，并求解：这个数列的递推关系为 (1)初始条件为令因为，所以 (2)取 ，则(2)式成为 (3)由(3)式得出 (4)于是，欲求Fibonacci数列的通项公式，只要计算，我们利用的相似简化来计算。的特征多项式为，它的两个根：，是的特征值因此可对角化解齐次线性方程组得到它的一个基础解系同理可得的一个基础解系是令 ，则 于是 (5)从(4)式及初始条件得 (6)比较(6)式两边的第2个分量得 (7)这就是Fibonacci数列的通项公式。那么接下来就容易算出： 4.2相似矩阵与变系数线性方程间的关系为求变系数方程组的解，其中，是连续函数矩阵： (1)定义：设是函数矩阵。若存在非奇异常数矩阵，使得，则称和相似。当然在变换下，方程组（1）可以化为方程组 （2）其中，。只要求出方程组（2）的解，即可求出方程组（1）的解。反之亦然，即方程组（1）与方程组（2）等价的。引理 设、均为函数矩阵，若和相似，则与相似，其中为单位矩阵，为的函数。4.3相似矩阵与微分方程间的关系 对于一阶齐次线性微分方程组其中是自变量的函数，。设 ， 则上述方程组写成矩阵形式为如果此矩阵可以与一个对角矩阵相似，即那么必然存在一个可逆矩阵使得故可以得到 即 那么原来的齐次微分方程可以简化为如下形式：而现在求解问题就简单明了了。定义：设是阶常系数矩阵，如果对任意的，初值问题的解满足则称微分方程组的解是渐进稳定的。对于任意的，上述初值问题的解渐进稳定的充分必要条件是矩阵的相似对角矩阵的对角线元素值都有负实部。 现在我们举一个实际的例子对上面所研究的问题加以理解与应用。例如：解线性微分方程组解：方程组右边的系数矩阵为令，则方程组改写为 ，所以对于阶方阵的特征矩阵由此必然存在一个非奇异矩阵若尔当矩阵，使得现在求非奇异矩阵，设。由于，分别为单特征值和二重特征值，所以有因此可知和为对应于两个相异特征值2和1的特征向量，切 ， 而是广义特征向量，故非奇异矩阵为： 现在我们可以得到 故可以做变换，则由可以得到 即 那么上面的方程的坐标写法为， ， 显然可以直接解得 ， 那么也就可以得到 在由，即得 式中为任意常数。4.4相似矩阵与控制系统的稳定性关于动态系统稳定性的精确定义，最早是由李雅普若夫（Lyapunov）提出的，现简述如下：已知系统在自由运动时，齐次状态方程一般形式为系统处于平衡状态时，。若扰动使系统的平衡状态受到破坏，在时，产生初始状态，则后，系统的运动会使状态随时间变化。若果对应于无论多么小的包含的圆或球域，总存在一个包含的圆或球域，在初始状态不超出的条件下，当时，的运动轨迹始终在的范围内，则称系统的平衡状态是稳定的。用数学关系表示就是，若系统满足 则系统的平衡状态就是稳定的，其中 为欧几里的范数。在保证稳定的前提下，当无限增长时，若还存在 即系统状态最终将回到原有的平衡状态，则称平衡状态是渐进稳定的。如果对于无论多么小的在范围内的初始状态，当后的轨迹将最终超越的范围之外。则称平衡状态是不稳定的。现在对于连续时间线性定常系统的齐次状态方程设矩阵非齐异，系统的平衡状态为。由于扰动产生初始状态，则系统的运动轨迹为，如果对于任意初始状态，由它所引起的响应满足 则按照李雅普诺夫定义，称系统是渐进稳定的。对于系统，如果采用由系数矩阵的特征向量构成的变换矩阵对系统做线性变换，即令，则有 由线性代数理论可知，或者为对角线矩阵或者为若尔当标准型矩阵。其对角线元素为的特征值，即特征方程 的根。 现在我们可以得到一个结论：一个连续线性定常系统，渐进稳定的充分必要条件是：它的系统矩阵特征值全部都具有负实部。例如：判断系统的稳定性。 解：由于特征方程为系统的特征值为，因此系统是渐进稳定的。又由于 传递函数的极点，因此系统是稳定的。5 结束语本文通过对矩阵相似性质与应用问题的深入探讨，我获益非浅，一方面对于矩阵相似的定义以及相关理论的熟练掌握。特别是将矩阵相似与可对角化矩阵这两个问题紧凑的联系在一起。将矩阵问题应用定义定理转化为与一个相似对角型矩阵或者是若尔当标准型进而使问题研究简化。 由于矩阵相似的性质特性决定其应用范围相当广泛。比如其在微分方程、自动控制理论基础等领域的应用，使其与相似矩阵的概念和性质能够相互融会贯通起来。提高对相似矩阵深入的研究。参考文献1 蓝以中。高等代数简明教程（上册）.北京：北京大学出版社，2003.22 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，王萼芳, 石生明修订. 高等代数（第三版）. 北京：高等教育出版社，2003.93 万勇，李兵。线性代数.上海：复旦大学出版社，2008.54 同济大学应用数学系主编.高等数学（下册）.北京：高等教育出版社，2002.75 陈志杰,陈咸平, 瞿森荣等编.高等代数与解析几何习题精解.北京：科学出版社, 2002. 26 刘丁酉. 高等代数习题精解. 合肥:中国科学技术出版社, 2004. 97 杨奇, 田代军, 韩维信. 线性代数与解析几何. 天津: 天津大学出版社, 2002, 108 戴华.矩阵论.南京：南京航空航天大学出版社M.2001.89许以超。线性代数与矩阵论M.北京：高等教育出版社，199210同济大学数学教研室编.线性代数（第三版）M.北京：高等教育出版社，199911 Da