北京理工大学统计学大全PPT课件

考前答疑安排 5月28日1号楼A201教师休息室上午 8 30 12 00 答疑教师 房永飞 王岩华下午 1 30 4 00答疑教师 卢筠 王洁明 1 第一章古典概型和概率空间 1 条件概率和乘法公式 P AB P B P A B 2 事件的独立性 对任意的事件A B 若P AB P A P B 则称事件A B是相互独立的 2 3 全概率公式和Bayes公式 3 离散型随机变量连续型随机变量概率分布函数随机变量函数的分布 第二章随机变量及其分布 4 1 离散型随机变量的概率分布 5 2 几种常用的离散型随机变量 1 两点分布 Bernoulli分布 2 二项分布 Binomial分布 3 泊松分布 Poisson分布 4 几何分布 Geometric分布 6 分布函数 分布列 3 分布列与分布函数的关系图示如下 7 4 离散型随机变量函数的分布 设X是离散型随机变量 其分布列为 Y是X的函数 则Y也是离散型随机变量 它的取值为 或 8 设X是随机变量 如果存在非负函数 使得对任何满足的 有 则称X是连续型随机变量 称是X的概率密度函数 简称为概率密度或密度 1 连续型随机变量的概率分布 9 2 几种常用的连续型随机变量 1 均匀分布 Uniform分布 2 指数分布 Exponential分布 3 正态分布 高斯分布 10 重要结论 若 则 1 3 2 11 3 连续型随机变量的分布函数 1 如果X是连续型随机变量 有概率密度则 并且在的连续点有 12 4 连续型随机变量函数的分布 1 先求Y g X 的分布函数 2 利用Y g X 的分布函数与密度函数的关系 求Y g X 的密度函数 13 设X是一个取值于区间 a b 具有概率密度f x 的连续型随机变量 又设y g x 处处可导 且对于任意x 恒有或恒有 则Y g X 是一个连续型随机变量 它的概率密度为 定理 14 其中 x h y 是y g x 的反函数 定理5 1 续 15 补充定理 16 第3章随机向量及其独立性 联合分布边缘分布随机变量的独立性随机向量函数的概率分布 17 1 二维离散型随机向量 X Y 的分布律 18 联合分布律的性质 19 2 边缘分布列 20 3 离散型随机变量的独立性 21 1 连续型随机向量联合概率密度 22 联合概率密度的性质 23 2 联合分布与联合密度 连续型随机变量 X Y 其概率密度与分布函数的关系如下 24 同理 Y的边缘密度为 X的边缘密度为 3 边缘密度 25 4 连续型随机变量的独立性 26 1 二维均匀分布2 二维正态分布 五 两个常用的分布 下面介绍两个常用的二维随机变量 27 均匀分布 设D为平面上的区域 面积 若 X Y 的联合密度为 则称 X Y 在D上服从均匀分布 28 二维正态分布 29 30 一个重要的结论 即二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布 31 5 随机向量的函数的分布 设 X Y 是二维随机变量 z x y 是一个已知的二元函数 如果当 X Y 取值为 x y 时 随机变量Z取值为z x y 则称Z是二维随机变量的函数 记作Z X Y 问题 已知 X Y 的分布 求Z X Y 的分布 32 一 离散型随机向量函数的分布 二 连续型随机变量函数的概率分布 1 已知 X Y f x y 求Z X Y 的概率分布 2 若Z为连续型随机变量 则在f z 的连续点处 33 推论设 X Y 关于X Y的边缘密度分别为fX x fY y 若X和Y独立 则 Z X Y的概率密度的一般公式 34 极大极小值的分布 设X Y是两个相互独立的随机变量 它们的分布函数分别为FX x 和FY y 求M max X Y 及N min X Y 的分布函数 35 M max X Y FM z P M z P max X Y z P X z Y z P X z P Y z FX z FY z 36 类似地 可得N min X Y 的分布函数是 1 P X z Y z FN z P N z P min X Y z 1 P min X Y z 1 P X z P Y z 1 1 FX z 1 FY z 37 第四章数学期望和方差 38 定义1 1 设离散型随机变量X的概率分布为 若无穷级数 绝对收敛 则称其和为随机变量X的数学期望或均值 记作E X 39 定义1 2 设X为连续型随机变量 其密度函数为 若积分 绝对收敛 则称此积分为随机变量X的数学期望或均值 记作E X 40 设X X1 Xn 为离散型随机向量 概率分布为 41 设X X1 Xn 为连续型随机向量 联合密度函数为 42 Var X E X E X 2 43 性质2 Var b X Var X 特别地 若X C C为常数 则Var C 0 Var aX b a2Var X 性质3 若a b为常数 则 性质1 若b为常数 随机变量X的方差存在 则bX的方差存在 且Var bX b2Var X 44 若随机变量X Y的方差都存在 则X Y的方差存在 且 性质5 性质4 Var X Y Var X Var Y 2cov X Y 若X Y独立 Var X Y Var X Var Y 45 A 协方差函数和相关系数 协方差 相关系数 46 协方差的性质 当且仅当 时 等式成立 Cauchy Schwarz不等式 47 48 相关系数的性质 48 49 X Y不相关 注 X与Y不相关仅仅是不线性相关 可以非线性相关 49 50 X Y相互独立 X Y不相关 若X Y服从二维正态分布 X Y相互独立 X Y不相关 50 第五章极限定理 强大数律中心极限定理 51 52 中心极限定理 53 点估计和矩估计最大似然估计抽样分布及其上分位数正态总体的区间估计 第七章参数估计 54 参数估计 点估计 区间估计 点估计 估计未知参数的值 区间估计 根据样本构造出适当的区间 使他以一定的概率包含未知参数或未知参数的已知函数的真值 55 记总体k阶矩为 样本k阶矩为 用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就称为矩估计法 1 矩估计法 56 矩估计的一般步骤 设总体分布含有m个未知参数 1 m 1 根据未知参数的个数求总体的各阶矩 57 2 解方程组 即从方程组中解出未知参数 3 用Ai代替上述方程组中的 i 1 2 m 58 4 若估计的是参数的函数 59 最大似然估计法的基本思想 根据样本观测值 选择参数p的估计 使得样本在该样本值附近出现的可能性最大 2 最大似然估计法 60 求最大似然估计 MLE 的一般步骤是 1 由总体分布导出样本的联合分布列 或联合密度 2 把样本联合分布列 或联合密度 中自变量看成已知常数 而把参数看作自变量 得到似然函数L 3 求似然函数的最大值点 常转化为求对数似然函数的最大值点 即的MLE 61 离散型样本的似然函数 连续型样本的似然函数 62 点估计的无偏性 注 样本均值与样本方差S2分别是总体均值 和总体方差 2的无偏估计量 63 设X1 X2 Xn为来自总体X F x 的一个样本 是未知参数 若对于给定的 0 1 存在两个统计量 使得对任意的 满足 区间估计 64 则称随机区间为参数 的置信水平 confidencelevel 为1 的置信区间 confidenceinterval 置信水平又称为置信度 置信区间的左端点又称为置信下界 置信区间的右端点又称为置信上界 65 正态总体参数的置信区间 66