2019-2020学年重庆市沙坪坝区南开中学校高二上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年重庆市沙坪坝区南开中学校高二上学期期中数学试题一、单选题1已知，则动点P的轨迹是（ ）A双曲线B双曲线左边一支C一条射线D双曲线右边一支【答案】D【解析】根据双曲线的定义直接得到结果.【详解】且 动点的轨迹为双曲线的右边一支故选：【点睛】本题考查双曲线定义的理解，易错点是忽略轨迹为双曲线的一支的问题，造成求解错误.2抛物线y4x2的焦点坐标是（）A（0，1）B（1，0）CD【答案】C【解析】将抛物线方程化为标准形式，即可得到焦点坐标.【详解】抛物线的标准方程为，即，开口向上，焦点在轴的正半轴上，故焦点坐标为.故选：C.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，把抛物线方程化为标准形式是解题的关键，属于基础题.3命题“”的否定形式是（ ）A，使得B，使得C，使得D，使得【答案】B【解析】根据全称量词命题的否定原理可直接得到结果.【详解】根据含全称量词命题的否定原理可知原命题的否定为：，使得故选：【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.4圆锥曲线的离心率，则m的值为（ ）AB4C或4D-2或4【答案】C【解析】分别在、和三种情况下，根据椭圆和双曲线离心率的求法构造方程求得结果.【详解】若，则，解得：若，则，解得：若，则，解得：（舍）综上所述：或故选：【点睛】本题考查根据离心率求解参数值的问题，易错点是忽略对于曲线类型的讨论，即曲线为焦点在轴或轴的椭圆、或曲线为双曲线.5已知P为以F为左焦点的椭圆上一点，M为线段PF中点，若（其中O为坐标原点），则（ ）A1B2C3D1或3【答案】C【解析】根据三角形中位线性质可求得，利用椭圆定义可求得结果.【详解】设椭圆右焦点为分别为中点 由椭圆定义可知： 故选：【点睛】本题考查椭圆焦半径的求解问题，关键是能够熟练应用椭圆的定义来进行求解.6直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则m的范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】将直线方程与圆的方程联立，根据交点位置可得，由此可解不等式求得结果.【详解】设直线与交于，则，联立，消去得：，解得： 的取值范围为故选：【点睛】本题考查根据直线与圆的交点个数及位置确定参数范围的问题，关键是能够通过直线与圆方程联立，根据交点位置确定根与系数关系式所满足的不等式.7抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A，B两点，若为等边三角形，则该双曲线渐近线方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】准线方程和双曲线方程联立可求得交点的横坐标，根据等边三角形高与底边的比例关系可构造方程求得，得到双曲线方程，进而求得结果.【详解】由抛物线方程知：，准线为由得：为等边三角形 ，解得：双曲线方程为 渐近线方程为故选：【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解问题，涉及到利用抛物线方程求解交点坐标和准线方程；关键是能够利用等边三角形边与高之间的比例关系构造方程.8已知双曲线的左右焦点分别为、动点A在双曲线左支上，点B为圆上一动点，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据双曲线定义将所求距离之和转化为；由三角形两边之差小于第三边可知当三点共线时；进一步根据两边之和大于第三边可得当三点共线时，由此可知；利用两点间距离公式求得，进而得到结果.【详解】由题意得：，圆心，半径由双曲线定义知： （当且仅当三点共线且在线段上时取等号）又（当且仅当三点共线且在线段上时取等号）故选：【点睛】本题考查双曲线中的距离之和的最值的求解问题，关键是能够利用双曲线定义将问题转化为到另一个焦点距离最值的问题，进而利用三角形三边关系确定最值取得的点，考查了学生对于距离进行转化的能力.9有下列几个命题：“若p，则q”的否命题是“若，则”；p是q的必要条件，r是q的充分不必要条件，则p是r的必要不充分条件；若“”为真命题，则命题p，q中至多有一个为真命题；过点的直线和圆相切的充要条件是直线斜率为.其中为真命题的有（ ）ABCD【答案】B【解析】由否命题的定义可知正确；由推出关系可知正确；由非命题和且命题的真假性可确定真假性，得到正确；由斜率不存在直线也为切线可知充要条件不成立，错误.【详解】由否命题定义可知正确；， ，是的必要不充分条件，正确；为真 为假 至少有一个假命题即至多有一个真命题，正确；当过点直线斜率不存在时，即直线方程为，此时直线与圆相切中所说充要条件不成立，错误.故选：【点睛】本题考查命题与简易逻辑部分的相关命题的判定，涉及到四种命题的形式、充分条件与必要条件的判断、非命题与且命题真假性的判断等知识，属于综合应用类问题.10设直线与抛物线相交于M、N两点，抛物线的焦点为F，若，则k的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】由直线恒过抛物线焦点可知共线，由，结合焦半径公式得到之间关系；直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理即可求得.【详解】由抛物线方程得：恒过定点 恒过焦点，即共线设， 联立消去得：，解得：或（舍） ，解得：故选：【点睛】本题考查抛物线焦点分弦成比例相关问题的求解，关键是能够通过比例关系得到两交点横坐标之间的关系，进而结合韦达定理求得交点坐标.11已知双曲线，若在双曲线C的渐近线上存在点P使，则双曲线C离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】设与双曲线右支交于，结合双曲线定义可证得，由此可构造不等式求得的取值范围.【详解】设为渐近线上一点，满足，与双曲线右支交于 即 ，又 故选：【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解问题，关键是能够结合双曲线的定义证得双曲线渐近线上的点到两焦点的距离之和小于.12已知斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB中点M纵坐标为，点在椭圆上，若的平分线交线段AB于点N，则的值MN为（ ）ABCD【答案】C【解析】利用点差法可求得坐标，从而得到直线方程；将方程与椭圆联立求得两点坐标，根据两点连线斜率公式求得，由互为相反数知斜率不存在，由此得到点坐标；利用两点间距离公式求得，进而得到结果.【详解】设，其中，两式作差整理可得：解得： 设直线方程为，即代入椭圆方程整理得：，解得：， 直线斜率不存在，方程为 ， 故选：【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到点差法的应用、直线与椭圆交点坐标的求解、直线斜率的求解等知识；关键是能够明确当与弦中点有关的问题时，常用点差法来得到中点坐标与斜率之间的关系.二、填空题13直线的倾斜角为_.【答案】【解析】将一般式方程整理为斜截式方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系求得倾斜角.【详解】由得： 倾斜角故答案为：【点睛】本题考查直线倾斜角的求解问题，关键是能够通过直线方程整理得到直线斜率.14直线与圆相交于M，N两点，若，则实数k的取值范围是_.【答案】【解析】由圆的方程可得圆心和半径，利用垂径定理构造不等式，解不等式求得结果.【详解】由圆的方程知：圆心，半径圆心到直线的距离 即实数的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查直线被圆截得弦长的问题，关键是能够熟练应用垂径定理，将直线被圆截得的弦长表示为.15过点的双曲线的左右焦点为，过作轴的垂线与相交于两点，与轴相交于.若，则双曲线的方程为_.【答案】【解析】根据垂直关系可得，根据数量积的坐标运算可构造关于的齐次方程求得离心率，即可得到关系；利用双曲线过点，可构造方程组求得结果.【详解】令，代入双曲线方程得：，为中点 为中位线 ， ，即 ，解得：或（舍），即又 ， 双曲线的方程为：故答案为：【点睛】本题考查直线与双曲线综合应用问题，关键是能够根据已知中的垂直关系得到两向量的数量积为零，进而通过坐标运算构造方程求得离心率，即之间的关系.16已知抛物线，过点的直线和抛物线交于两点，且有，为抛物线上异于的一点，若的重心恰为抛物线焦点，则的值为_.【答案】4【解析】将直线方程与抛物线方程联立得到韦达定理的形式，将韦达定理结论代入，可整理求得，由此可得到中点坐标；根据重心的性质可知，由此构造方程求得结果.【详解】设，与抛物线方程联立得：设，则， ， 中点设，抛物线焦点的重心恰为抛物线焦点 即，即，解得：的值为故答案为：【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到韦达定理的应用、三角形重心的性质应用等知识；关键是能够将直线与抛物线联立，得到韦达定理的形式，通过韦达定理的结论求得所给直线的斜率.三、解答题17已知表示焦点在y轴上的椭圆；表示双曲线.（1）试写出p的一个必要不充分条件；（2）若为假命题，且为真命题，求实数m的取值范围.【答案】（1）（答案不唯一）；（2）.【解析】（1）根据焦点在轴椭圆标准方程的特征可得不等式求得范围；由必要不充分条件的推出关系可知所求条件为以为真子集的区间，由此得到结果；（2）根据椭圆与双曲线的标准方程特征求得分别为真命题时对应的范围；由复合命题真假性知一真一假，由此讨论两种情况得到结果.【详解】（1）若为真，则有，解得：故成立的一个必要不充分条件为以为真子集的区间一个必要不充分条件为（2）若为真，则有，解得：由为假，且为真可知一真一假若真假，则有，解得：若假真，则有，解得：综上所述，【点睛】本题考查必要不充分条件的求解、根据复合命题真假性求解参数范围的问题；涉及到曲线表示椭圆和双曲线的基本特征；关键是能够通过复合命题的真假性确定两个命题的真假性.18设直线l的方程为.（1）若直线l与直线平行，求实数a的值；（2）设直线l与圆相交于A、B两点，当弦长取得最小值时，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由两直线平行可构造方程求得，验证排除重合的情况即可得到结果；（2）由垂径定理可知若最小，则圆心到直线的距离最大；根据直线过定点可得时距离最大，由此可得直线的斜率，从而得到直线方程.【详解】（1） ，解得：或当时，满足题意，当时，此时两直线重合，不满足题意.综上所述：（2）圆C的方程可化为： 圆心，半径要使弦长最小，则圆心到直线的距离最大由题可知：直线过定点当且仅当时距离最大，此时的斜率为故直线的方程为：，即【点睛】本题考查直线与圆部分知识的综合应用问题，涉及到根据两条直线平行求解直线方程、直线被圆截得弦长的相关问题的求解；关键是能够明确直线被圆截得弦长等于，由此确定弦长的最值与圆心到直线距离的关系.19已知双曲线的离心率为，点是双曲线的一个顶点.（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点作倾斜角为直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点求AB的长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由离心率和顶点可得到关于的方程，再结合即可求得标准方程；（2）将直线方程代入双曲线方程得到韦达定理的形式，利用弦长公式求得结果即可.【详解】（1）双曲线的离心率为，点是双曲线的一个顶点，解得： 双曲线的方程为（2）双曲线的右焦点为 直线l的方程为联立得：设，则，【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解、直线被双曲线截得弦长的求解问题；考查了双曲线的几何性质、弦长公式的相关知识，属于基础应用问题.20已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为、，过且垂直于x轴的直线交椭圆C于点D，.（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线l交椭圆C于A、B两点，若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由离心率、半通径长和椭圆可构造方程组求得，从而得到所求方程；（2）当与轴重合时显然不合题意；当与轴不重合时，将直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理的形式；结合焦点分弦所成比例可构造关于的方程组，求得；由，结合韦达定理可求得结果.【详解】（1）由题意得：，解得：椭圆的方程为（2）由（1）知：当和轴重合时，则共线，不满足题意当和轴不重合时，设：联立消去整理得：设，则，由可得：由消去可解得：【点睛】本题考查椭圆方程的求解、椭圆内三角形面积的求解问题，涉及到焦点分弦成比例的问题；关键是能够通过韦达定理形式与向量坐标运算构造出方程组，求得变量，从而将所求三角形面积利用韦达定理的形式表示出来，代入的值即可求得结果.21设抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，.（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）将直线方程与抛物线方程联立得到，根据椭圆焦点弦长公式构造等量关系，代入可得关于直线斜率的方程，解方程求得，从而得到所求直线方程；（2）由圆心在直线的垂直平分线上、圆心到抛物线准线的距离等于半径可构造方程组求得圆心坐标和半径，进而得到所求圆的方程.【详解】（1）由题意得：，的方程为由，得，则设 ，解得：（舍去）或的方程为（2）由（1）得：的中点坐标为的垂直平分线方程为，即设所求圆的圆心坐标为则，解得：或所求圆的半径或所求圆的方程为或【点睛】本题考查根据椭圆焦点弦长求解参数值、圆的标准方程的求解问题；已知两点及圆的切线求解圆的方程时，通常采用待定系数法，利用圆心在两点连线的垂直平分线上、圆心到切线的距离等于半径来构造方程组求得结果.22如图所示，椭圆的右焦点为F，双曲线的渐近线分别为和，过点F作直线于点C，直线l与交于点P、与椭圆E从上到下依次交于点A，B已知直线的倾斜角为，双曲线的焦距为8.（1）求椭圆E的方程；（2）设，证明：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由