有趣的数学游戏--三阶幻方PPT课件

三阶幻方 风子编辑 1 2020 4 5 第一课基础部分 2 2020 4 5 幻方起源 大约两千多年前西汉时代 流传夏禹治水时 黄河中跃出一匹神马 马背上驮着一幅图 人称 河图 又洛水河中浮出一只神龟 龟背上有一张象征吉祥的图案称为 洛书 他们发现 这个图案每一列 每一行及对角线 加起来的数字和都是一样的 中国不仅拥有幻方的发明权 而且是对幻方进行深入研究的国家 公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3 10阶幻方 幻方的发展 经过国内外幻方数学家和爱好者的研究 幻方得到了快速的发展 从最初的三阶幻方发展到现在的高阶幻方 由和幻方发展到乘幻方 对平面幻方的构造 分为三种情况 N为奇数 N为4的倍数 N为其它偶数 4n 2的形式 清末民初数学家寿孝天 3 2020 4 5 三阶幻方 就是将9个自然数填在3 3 三行三列 的正方形内 使每一行 每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等 例1 p 45例1 将1 9这9个数填入上图 使它成为一个三阶幻方 动动手 p 45随堂1 4 2020 4 5 幻和与中央数 一个幻方的幻和 3 中央数 总和 3 例1 p 46例3 动动手 p 46随堂3 5 2020 4 5 已知三个数填写幻方 例1 p 47例4 动动手 p 47随堂4 6 2020 4 5 对九宫格每个格子进行编号为A I 设S A B C D E F G H I 即九个数的和 定义 幻和 A B C D E F G H I A D G B E H C F I A E I C E G 即每条横 竖 斜线上的三个数的和相等 为幻和 3 幻和 A B C D E F G H I S 即幻和是总和的1 3 D E F B E H A E I C E G 即4 幻和 A B C D E F G H I 3E 3 幻和 3E所以 3E 幻和 即E是幻和的1 3 是总和的1 9S A B C A E I A D G A B C D E F G H I 所以 2A F H同理可得 2G B F 2I B D 2C D H 7 2020 4 5 例 在下图空格上填上互不相等 且不大于15的自然数 使每行 每例 对角线上的和为30 为方便表述 对每个空格编号为A H 1 根据中心数是幻和的1 3 可得到E 102 根据幻和为30 可知C 30 10 8 123 根据A H B G D F 20 且每个数不大于15 则最小为5 符合条件的数对还有四对 5 15 6 14 7 13 9 11 只有一堆为偶数 4 选 6 14 放入任何格对中 因为偶数 偶数 偶数 偶数 但剩下的数都是奇数 所以不符合 5 选择包含最大数的一对 5 15 如果15与12在同一行或列 则这行或列的另一个数为3 小于5 所以 15不能与12在同一行或列 因此放在D格 对应的F格则为5 6 剩下的空格就很容易了 8 2020 4 5 2倍角格 不相邻的两个边格之和 13 19 2 16 三条直线上的数字的和 幻方所有数字之和 2个 19 13 幻和 一条直线上的三个数字之和所有数字之和 3 幻和所以 三条直线上的数字的和 幻方所有数字之和则 13 19 2 9 2020 4 5 原先每条边的和为 30 10 10 50新的填法每条边的和为 50 15 65总和减少 每边和增加 则应该把大数移到公共角的位置则有 30 10 30 7070 65 5所以 四个10各减5 合计正好减了20 10 2020 4 5 三组 22 26 30 为等差数列 所以先把中间数放中间 以中间格为中心 画四条直线 在一条对角线上放与中间格相同的数 另一条对角线上放两个不同的数 剩下四个位置只要保证同一行或列上没有重复的数字 11 2020 4 5 利用角格是不相邻的两个边数和的一半 可以得到右下角方格的数字 其次利用红线和相等关系 知道下中间的数为2 利用蓝线和相等 得到中右格数为4 利用幻和 3 中间数3 幻和 所有数 可知中间那个数为6 这样其他几个利用幻和可以得到了 12 2020 4 5 本题与上体方法一样 自己尝试下 13 2020 4 5 先在两条蓝线上确定左下角的数 1 10 2 5 在两条线段上的公共格不用考虑 再找有两个确定数的线段 通过未知角画出另外的线段 如图红线 则可知左中格为 2 10 5 4 右上格为 2 10 1 20 利用一条对角线上的三个数的积5 10 20 1000 可以得到其它几个数 14 2020 4 5 三个数相乘的幻方的属性 1 等差数列或者三组等差数列 找一个包含10的等差数列 如图 或者 1 2 4 5 10 20 25 50 100 2 角格的平方 不相邻的边格之积 15 2020 4 5 按三条红线排列三组等差或等比数列 再按红数字位置调整 上下对调 左右对调 16 2020 4 5 第二课拓展部分 17 2020 4 5 平面幻方的构造一 奇幻方 N为奇数时 将1放在第一行中间一列 从2开始直到n n止各数依次按下列规则存放 按45 方向行走 如向右上每一个数存放的行比前一个数的行数减1 列数加1 如果行列范围超出矩阵范围 则回绕 例如1在第1行 则2应放在最下一行 列数同样加1 如果按上面规则确定的位置上已有数 或上一个数是第1行第n列时 则把下一个数放在上一个数的下面 双偶幻方 N为4的倍数 采用对称元素交换法 1 把数1到n n按从上至下 从左到右顺序填入矩阵2 将方阵的所有4 4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对称交换 即a i j 与a n 1 i n 1 j 交换 所有其它位置上的数不变 或者将对角线不变 其它位置对称交换也可 以上方法只适合于n 4时 18 2020 4 5 平面幻方的构造二 单偶幻方 N为4m 2的偶数1 把大方阵分解为4个奇数 2m 1阶 子方阵 按上述奇数阶幻方给分解的4个子方阵对应赋值 由小到大依次为上左子阵 i 下右子 i v 上右子阵 i 2v 下左子阵 i 3v 即4个子方阵对应元素相差v 其中v n n 4四个子矩阵由小到大排列方式为 2 此时各列和与幻和相同 对角线 上三行与下三行之和不符合幻和要求 因此 只需在同列间交换数字 上述交换使行列及对角线上元素之和相等 19 2020 4 5 Merzirac法生成奇阶幻方 在第一行居中的方格内放1 依次向右上方填入2 3 4 如果右上方已有数字 则向下移一格继续填写 loubere法生成奇阶幻方 在居中的方格向上一格内放1 依次向右上方填入2 3 4 如果右上方已有数字 则向上移二格继续填写 20 2020 4 5 3 横补角 以中间行为基准 将突出的数字补回本行所缺的方格内 4 5补到1的前 10补到6前 16补到20后 21 22补到25后 从而重新得到一个n n方格 错位补角 1 对于所有的奇阶幻方 1 n n从小到大填入n n的方格中 以n 5时 1 25为例 2 横错位 将方格横向错位 每行错位数为n 行数 即第一行横向移动n 1位 第二行横向移动n 2位 直到形成一个左低右高的楼梯 21 2020 4 5 小结 错位补角可以先横后竖 也可以先竖后横 楼梯可以左低右高 也可以左高右低 只要保证横竖做出的楼梯方向相同 就能得到正确结果 一共可以求出4个答案