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文档简介

向量代数 向量 既有大小又有方向的量 向量表示 模长为1的向量 零向量 模长为0的向量 向量的模 向量的大小 单位向量 一 向量的概念 或 或 或 1 自由向量 不考虑起点位置的向量 相等向量 大小相等且方向相同的向量 负向量 大小相等但方向相反的向量 向径 2 1 加法 平行四边形法则 特殊地 若 分为同向和反向 平行四边形法则有时也称为三角形法则 二 向量的加减法 3 向量的加法符合下列运算规律 1 交换律 2 结合律 3 2 减法 4 三 向量与数的乘法 5 数与向量的乘积符合下列运算规律 1 结合律 2 分配律 两个向量的平行关系 6 证 充分性显然 必要性 两式相减 得 7 按照向量与数的乘积的规定 上式表明 一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量 8 例1化简 解 9 例2试用向量方法证明 对角线互相平分的四边形必是平行四边形 证 结论得证 10 例3 用向量的方法证明梯形两腰中点的连线平行于底边且等于两底边之和的一半 证 11 例4 证 由题设 存在 使 若不然 则 与题设矛盾 故 12 四 向量在坐标轴上的分向量与向量 的坐标 这六个平面与x y z轴分别相交于 13 14 称有向线段 为向量 有向线段 为向量 有向线段 为向量 依次记作 即 15 由图上可以看出 而 称为基本单位向量 16 向量在三个坐标轴上的分向量 向量的分解式 向量在三个坐标轴上的投影 称为向量的坐标 向量可用它的坐标表示为 向量的坐标表示式 17 特殊地 称为向径 向量的加减法 向量与数的乘法运算的坐标表达式 18 19 解 由题意知 20 非零向量的方向角 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角 五 向量的模与方向余弦的坐标表示式 21 由图分析可知 向量的方向余弦 方向余弦通常用来表示向量的方向 向量模长的坐标表示式 22 当时 向量方向余弦的坐标表示式 23 方向余弦的特征 特殊地 单位向量的方向余弦为 24 解 所求向量有两个 一个与同向 一个反向 或 25 解 26 27 解 28 六 小结 1 向量的概念 注意与标量的区别 2 向量的加减法 平行四边形法则 3 向量与数的乘法 注意数乘后的方向 4 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 注意分向量与向量的坐标的区别 5 向量的模与方向余弦的坐标表示式 29 思考题1 已知平行四边形ABCD的对角线
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