中考数学复习第四章图形的认识4.5特殊的平行四边形（讲解部分）检测

第四章 图形的认识 特殊的平行四边形 考点一 矩形 矩形的定义 有一个角是 直角 的平行四边形叫做矩形 矩形的性质 矩形的四个角都是 直角 矩形的对角线 相等且互相平分 矩形既是轴对称图形 又是中心对称图形 矩形具有平行四边形的所有性质 矩形的判定 有一个角是直角的 平行四边形 叫做矩形 对角线 相等 的平行四边形是矩形 有三个角是直角的 四边形 是矩形 考点二 菱形 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 菱形的性质 菱形的四条边都相等 菱形的两条对角线 互相垂直平分 并且每一条对角 线平分一组对角 菱形是轴对称图形 也是 中心对称 图形 菱形的判定 一组 邻边 相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的 平行四边形 是菱形 四条边都相等的 四边形 是菱形 菱形的面积 设一个菱形的面积为 两条对角线的长分别为 和 则 考点三 正方形 正方形的定义 有一组邻边相等且一个角是直角的 平行四边形 叫做正 方形 正方形的性质 边 两组对边分别平行 四条边都相等 相邻两边互相 垂直 角 四个角都是 对角线 对角线互相垂直 对角线相等且互相平分 对称性 既是中心对称图形 又是轴对称图形 正方形的判定 一组 邻边相等 的矩形是正方形 有一个角是直角的 菱形 是正方形 对角线 互相垂直平分 且相等的四边形是正方形 四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形 方法一 矩形 菱形性质的应用 矩形 菱形的性质是求角度 线段长度和验证两角是否相 等 两直线位置关系的常用知识 由菱形的对角线互相垂直平分 可以联想到直角三角形 四边形面积等知识 把握几种特殊的平行四边形之间的关系是正确 快速判定 四边形类型的关键 平行四边形 一个角是直角 矩形 一组邻边相等 正方形 一组邻边相等 菱形 一个角是直角 例 北京 分 如图 在四边形 中 为一条对角线 为 的中点 连接 求证 四边形 为菱形 连接 若 平分 求 的长 解析 证明 为 的中点 四边形 为平行四边形 又 在 中 为 的中点 为菱形 设 与 交于点 如图 平分 由 可知 为等边三角形 在 中 变式训练 山东潍坊 分 如图 在菱形 中 过点 作 于点 年中考 年模拟 于点 如图 连接 分别交 于点 求证 如图 将 以点 为旋转中心旋转 其两边 分别与直线 相交于点 连接 当 的面 积等于 时 求旋转角的大小并指明旋转方向 解析 证明 连接 设 交 于 在菱形 中 为等边三角形 分 为 的中点 分 同理可得 是线段 的三等分点 分 易得 分 当 以点 为旋转中心顺时针旋转时 由旋转的性质知 分 是等边三角形 则 由 得 分 当 以点 为旋转中心顺时针旋转 时 的面积是 分 同理可得 当 以点 为旋转中心逆时针旋转 时 的面积也是 综上所述 当 以点 为旋转中心顺时针或逆时针旋 转 时 的面积是 分 方法二 与特殊的平行四边形相关的动态几何问题 动点问题是数学研究的一个重点问题 其综合性很强 经常 与函数及面积问题联系在一起 此类问题要注意运动过程中动 点在不同线段上的不同运动方式 用含有变量的式子描述相关 的变量 线段的长度等 通过数量关系求解 必要时需分类 讨论 例 山东菏泽 正方形 的边长为 点 分别是线段 上的动点 连接 并延长 交边 于 过 作 垂足为 交边 于点 如图 若点 与点 重合 求证 如图 若点 从点 出发 以 的速度沿 向 点 运动 同时点 从点 出发 以 的速度沿 向点 运动 运动时间为 设 求 关于 的函数表达式 当 时 连接 求 的长 解析 证明 四边形 为正方形 即 在正方形 中 正方形 的边长为 点 从点 出发 以 的速度沿 向点 运动 运动时间为 在正方形 中 把 代入 得 即 在 中 根据勾股定理可得 变式训练 辽宁沈阳 分 四边形 是 边长为 的正方形 点 在边 所在直线上 连接 以 为 边 作正方形 点 点 在直线 的同侧 连接 如图 当点 与点 重合时 请直接 写出 的长 如图 当点 在线段 上时 第四章 图形的认识 求点 到直线 的距离 求 的长 当 时 请直接 写出此时 的长 图 图 备用图 解析 提示 连接 四边形 都是正方形 三点共线 在 中 过点 作 交 的延长线于点 四边形 是正方形 又 四边形 是正方形 又 即点 到直线 的距离为 延长 交 的延长线于点 四边形 为矩形 在 中 或 提示 当点 在线段 上时 如 中图 设 则 解得 均不符合题意 舍去