反函数·典型例题精析

2 4 反函數反函數 例題解析例題解析 例例 1 求下列函數的反函數 1 y x 2 yx2x3x 0 2 35 21 1 2 x x 3 y x0 4 y x 1 1x0 0 x1 1 1 2 x x 解解 1 y x y y 2y3 xy5 xy x 由 得 所求反函数为 35 21 1 2 3 2 35 21 5 32 5 32 3 2 x x x x y y y y 解解 2 y x 1 2 2 x 0 其值域為 y 2 由 得 即 反函数为 y x1 2 x0 x1x1 f x 1 x2 2 1 yy x 22 2 解解 3 y x0 0y1 yx f x 0 x1 1 它的值域为 由 得 反函数为 1 1 1 1 1 1 2 2 x x y y x x 解解 4 y 1x0 0y1f x x1 0 x1 y 0 x1 12 由 得值域 反函数 由 x x 1 得值域 反函数 故所求反函数为 1y0f x 1x0 y x1 0 x1 x 1x0 12 2 2 x 例例 2 求出下列函數的反函數 並畫出原函數和其反函數的圖像 1 y1 2 y3x2 x0 2 x 1 解解 1 已知函數的定義域是 x 1 值域為 y 1 由 得反函数 函数 与它的反函数 的图像如图 所示 y1y x1 1 x1 y1y x1 1241 2 2 x x 1 1 解解 2 由 y 3x2 2 x 0 得值域 y 2 反函数 f x x2 1 x2 3 它們的圖像如圖 2 4 2 所示 例例3 3 已知函数 f x xaa 311 3 x xa 1 求它的反函數 2 求使 f 1 x f x 的實數 a 的值 解解 1 yxa y xa 3x1 y3 x1ayy3 设 这里 31x xa 若 则 这与已知 矛盾 即反函数 y3aa xf x 1 1 3 1 3 1 3 1 3 ay y ax x 2 f x f x x 1 若 即 对定义域内一切 的值恒成立 311 3 x xa ax x 令 x 0 a 3 或解或解 由 f x f 1 x 那麼函數 f x 與 f 1 x 的定義域和值域相同 定義 域是 x x a x R 值域 y y y 3 y R a 3 即 a 3 例例4 4 已知函数 中 均不为零 yf x abcd axb cxd 試求 a b c d 滿足什麼條件時 它的反函數仍是自身 解解 f x bcad0f x x 1 常数函数没有反函数 又 要使 对定义域内一切 值恒成立 a c bcad c cxd dxb cxa dxb cxa axb cxd 令 x 0 得 a d 即 a d 0 事實上 當 a d 0 時 必有 f 1 x f x 因此所求的條件是 bc ad 0 且 a d 0 例例 5 設點 M 1 2 既在函數 f x ax2 b x 0 的圖像上 又在它的 反函數圖像上 1 求 f 1 x 2 證明 f 1 x 在其定義域內是減函數 解解 证证 1 2ab 14ab a b f x x x0 2 yx x0 f x x 2 21 由 得 由 得反函数 1 3 7 3 1 3 7 3 1 3 7 3 73 7 3 x 设 即 故在 上是减函数 xx73x73x0 f x f x f x 1212 1 1 1 2 1 7 3 733 7 3 12 xxx 例例6 6 解解法法 一一 若函数 求的值 先求函数 的反函数 于是 f x f 2 f x f x f 2 53 2 x x x x x x 1 2 1 2 12 1 12 2 12 1 1 1 解法解法 二二 由函數 y f x 與其反函數 y f 1 x 之間的一一對應關 系 求的值 就是求 时对应的 的值 令 得 即 f 2 f x 2x2 x53 2f 2 53 2 1 1 x x 1 2 例例7 7 已知 且 设函数 且 证明 的图像关于直线 对称 aa0a1f x xx yf x yx R R x ax a 1 1 1 证证 ya0a1 ay1 xy1 ay10y a1a1 由 得 如果 则 得 这与已知 矛盾 x ax a a x ax 1 1 1 11 1 故 即证得 的反函数就是它本身 a