高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用课件

3 3 3导数的实际应用 1 会利用导数解决实际问题中的最优化问题 2 体会导数在解决实际问题中的作用 1 最优化问题在经济生活中 人们经常遇到最优化问题 例如 为使经营利润最大 生产效率最高 或为使用力最省 用料最少 消耗最省等等 需要寻求相应的最佳方案或最佳策略 这些都是最优化问题 导数是解决这类问题的方法之一 做一做 下列问题不是最优化问题的是 A 利润最大B 用料最省C 求导数D 用力最省答案 C 2 求实际问题的最大 小 值的步骤 1 建立实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 注明定义域 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 确定极值点 3 比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小 最大 小 者为实际问题的最大 小 值 名师点拨实际问题中的变量是有范围的 即应考虑实际问题的意义 注明定义域 利用导数解决实际问题时应注意什么 剖析 1 写出变量之间的函数关系y f x 后一定要写出定义域 2 求实际问题的最值 一定要从问题的实际意义去分析 不符合实际意义的极值点应舍去 3 在实际问题中 一般地 f x 0在x的取值范围内仅有一个解 即函数y f x 只有一个极值点 则该点处的值就是问题中所指的最值 题型实际问题中最值的求法 例1 某商场从生产厂家以每件20元的进价购进一批商品 若该商品的售价定为p元 则销售量Q 单位 件 与零售价p 单位 元 有如下关系 Q 8300 170p p2 问该商品零售价定为多少时利润最大 最大利润是多少 分析 建立销售利润关于零售价的函数 应用导数研究最值 解 设利润为L p 由题意可得L p p 20 Q p 20 8300 170p p2 p3 150p2 11700p 166000 p 0 L p 3p2 300p 11700 令L p 0 得p 30或p 130 舍去 则L 30 23000 当00 当p 30时 L p 0 当p 30时 L p 取得极大值 根据实际问题的意义知 L 30 就是最大值 即零售价定为每件30元时 利润最大 最大利润为23000元 反思根据课程标准的规定 有关函数最值的实际问题 一般指的是单峰函数 也就是说在实际问题中 如果遇到函数在一个区间内只有一个点使f x 0 且该函数在这点取得极大 小 值 那么不与区间端点的函数值比较 就可以知道这就是实际问题的最大 小 值 例2 将一段长为100cm的铁丝截成两段 一段弯成正方形 一段弯成圆 问怎样截能使正方形与圆的面积之和最小 分析 设其中一段长为xcm 则另一段长为 100 x cm 然后用x表示出正方形与圆的面积之和S 求出方程S 0的根 该根即为所求 反思在求最值时 往往需要建立函数关系式 若问题中给出的量较多时 一定要通过建立各个量之间的关系 通过消元法达到建立函数关系式的目的 解析 当x 400时 利润f x 80000 20000 100 x 当x 400时 f x 0 当300 x 400时 f x 0 当x 300时 利润为最大 答案 D 3把长为40cm的铁丝围成矩形 当长为cm 宽为cm时 矩形面积最大 答案 10104将长为52cm的铁丝剪成2段 各围成一个长与宽之比为2 1及3 2的矩形 则面积之和的最小值为cm2 解析 设剪成的2段中其中一段为xcm x 0 52 则另一段