高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数1课件3新人教A版

1 2任意角的三角函数1 2 1任意角的三角函数 一 1 任意角三角函数的定义 1 前提如图 设 是一个任意角 它的终边与单位圆交于点P x y 2 结论 叫做 的正弦 记作sin 即sin 叫做 的余弦 记作cos 即cos 叫做 的正切 记作tan 即tan x 0 y y x x 3 三角函数正弦 余弦 正切都是以角为自变量 以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数 将它们统称为三角函数 2 三角函数在各象限的符号 3 诱导公式 一 即终边相同的角的同一三角函数的值 sin cos tan 相等 1 判一判 正确的打 错误的打 1 三角函数可以看成是从角的集合到一个比值的集合的对应 2 sin cos tan 中可以将 与 sin cos tan 分开 3 同一个三角函数值能找到无数个角与之对应 解析 1 正确 它是一种函数 它满足函数的定义 2 错误 符号sin cos tan 是一个整体 不能分开 3 正确 因为终边相同的角的同一三角函数的值相等 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 已知角 的终边经过点则sin 的值为 2 cos6 tan6的符号为 填 正 负 或 不确定 3 计算5sin90 2cos0 3sin270 10cos180 解析 1 由三角函数定义知 sin 答案 2 因为所以6是第四象限角 所以cos6 0 tan6 0 则cos6 tan6 0 答案 负 3 原式 5 1 2 1 3 1 10 1 0 答案 0 要点探究 知识点1任意角三角函数的定义对任意角三角函数定义的三点说明 1 在任意角的三角函数的定义中 应该明确 是一个任意角 2 三角函数值是比值 是一个实数 这个实数的大小和P x y 在终边上的位置无关 而由角 的终边位置决定 3 要明确sin 是一个整体 不是sin与 的乘积 它是 正弦函数 的一个记号 就如f x 表示自变量为x的函数一样 离开自变量的 sin cos tan 等是没有意义的 知识拓展 任意角三角函数的另一种定义将角 的顶点放在坐标原点 始边与x轴的非负半轴重合 在角 的终边上任取一点P x y 与原点距离为r 得出 这种定义 取点不受单位圆限制 较为自由 微思考 的大小与点P在角的终边上的位置有关吗 提示 无关 只与角的大小有关 即时练 1 2014 衡水高一检测 已知角 的终边过点P 1 2 sin 的值为 2 角 的终边经过点P 0 b b 0 则cos 解析 1 选C 2 因为P 0 b 所以答案 0 知识点2三角函数在各象限的符号对正弦 余弦 正切函数值在各象限的符号的两点说明 1 由三角函数的定义知可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P x y 的坐标确定的 则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键 2 要熟记三角函数值在各象限的符号规律 三角函数值在各象限的符号规律可简记为 一全正 二正弦 三正切 四余弦 微思考 终边落在坐标轴上 正弦 余弦 正切的符号如何 提示 当终边落在x轴上时 正弦值与正切值为0 余弦值为1 x轴正半轴 或 1 x轴负半轴 当终边落在y轴上时 正弦值为1 y轴正半轴 或 1 y轴负半轴 余弦值为0 正切值不存在 即时练 若sin 0 sin 则 为第四象限角 故选D 知识点3诱导公式 一 对诱导公式 一 的三点说明 1 公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等 2 公式一的结构特征 左 右为同一三角函数 公式左边的角为 k 2 右边的角为 注意公式一中的条件k Z不可遗漏 3 公式一的作用 把求任意角的三角函数值转化为求0 2 或0 360 角的三角函数值 微思考 利用诱导公式 一 的关键是什么 提示 关键是利用终边相同的角表示为 k 360 k Z的形式 即时练 1 2014 石家庄高一检测 的值为 2 计算cos420 解析 1 选A 2 cos420 cos 360 60 cos60 答案 题型示范 类型一任意角三角函数的定义及应用 典例1 1 若 则sin cos tan 2 2014 临沂高一检测 已知角 的终边过点P 3a 4a a 0 求2sin cos 的值 解题探究 1 题 1 中的角 在第几象限 要求其三角函数值 首先需要确定什么 2 题 2 中已知角终边上一点如何求三角函数值 探究提示 1 终边在第四象限 要求其三角函数值 首先确定终边上一点的坐标 2 首先求出该点到原点的距离 然后用点的坐标及该点到原点距离的比来求三角函数值 自主解答 1 因为角的终边与单位圆交于所以tan 答案 2 r 5 a 若a 0 则r 5a 角 在第二象限 所以2sin cos 若a 0 则r 5a 角 在第四象限 所以2sin cos 方法技巧 由角 终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤 1 已知角 的终边在直线上时 常用的解题方法有以下两种 先利用直线与单位圆相交 求出交点坐标 然后再利用正 余弦函数的定义求出相应三角函数值 在 的终边上任选一点P x y P到原点的距离为r r 0 则已知 的终边求 的三角函数值时 用这几个公式更方便 2 当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时 要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论 变式训练 设点A x y 是30 角终边上异于原点的一点 则的值为 解析 根据三角函数的定义知答案 补偿训练 已知角 的终边过点P 3cos 4cos 其中 求sin cos tan 的值 解析 因为 所以cos 0 所以r 5 cos 5cos 于是sin cos tan 类型二三角函数在各象限的符号问题 典例2 1 若 是第二象限角 则点P sin cos 在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 2 判断下列各式的符号 tan191 cos191 sin2 cos3 tan4 解题探究 1 题 1 中 是第二象限角 则其正弦值和余弦值的符号各是什么 2 题 2 中为判断三角函数值的符号 应先判断什么 探究提示 1 若 是第二象限角 则其正弦值为正 余弦值为负 2 为判断三角函数值的符号 应先判断角所在的象限 自主解答 1 选D 因为 是第二象限角 所以sin 0 cos 0 所以点P在第四象限 2 因为191 是第三象限角 所以tan191 0 cos191 0 所以tan191 cos191 0 因为2是第二象限角 3是第二象限角 4是第三象限角 所以sin2 0 cos3 0 tan4 0 所以sin2 cos3 tan4 0 延伸探究 本题 1 中 如果点P sin cos 在第二象限 则 是第几象限角 解析 因为点P在第二象限 所以所以 为第四象限角 方法技巧 确定三角函数值在各象限内符号的方法 1 三角函数值的符号是根据三角函数的定义 由各象限内的点的坐标的符号得出的 2 正弦 余弦 正切函数的符号表示 第一象限全是正值 第二象限正弦是正值 第三象限正切是正值 第四象限余弦是正值 变式训练 若三角形的两内角 满足sin cos 0 则此三角形必为 A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 以上三种情况都有可能 解析 选B 三角形的两内角 的终边一定落在第一或第二象限或y轴的正半轴上 因为sin cos 0 所以sin 0 cos 0 所以角 为钝角 所以此三角形为钝角三角形 补偿训练 判断下列各式的符号 1 是第二象限角 sin cos 2 sin3 cos4 解析 1 因为 是第二象限角 所以sin 0 cos 0 cos4 0 因为所以所以sin3 cos4 0 类型三诱导公式 一 的简单应用 典例3 1 若750 角的终边上有一点 4 a 则a的值是 2 求下列各式的值 sin810 tan765 tan1125 cos360 解题探究 1 若750 写成k 360 0 90 的形式 则 应为多少 2 题 2 中若利用诱导公式 一 求解三角函数式的值 则首先应如何处理已知角 探究提示 1 750 360 2 30 30 2 先利用终边相同的角将各三角函数值中的角转化为0到2 范围内的角 自主解答 1 因为tan750 tan 360 2 30 所以答案 2 原式 sin 2 360 90 tan 2 360 45 tan 3 360 45 cos 0 360 sin90 tan45 tan45 cos0 4 方法技巧 公式一的应用策略 1 公式一可以统一写成f k 360 f k Z 或f k 2 f k Z 的形式 2 利用它可把任意角的三角函数值转化为0到2 角的三角函数值 既可把负角的三角函数化为0到2 角的三角函数 亦可把大于2 的角的三角函数化为0到2 间的三角函数 即对角实现大化小 负化正的转化 变式训练 求值 1 sin 1320 cos1110 cos 1020 sin750 tan495 2 解析 1 原式 sin 4 360 120 cos 3 360 30 cos 3 360 60 sin 2 360 30 tan 360 135 sin120 cos30 cos60 sin30 tan135 2 原式 补偿训练 tan1860 的值是 解析 tan1860 tan 10 180 60 tan60 答案 易错误区 对三角函数定义理解不准而致错 典例 2014 张家界高一检测 已知角 的终边过点P 3m m m 0 则sin 解析 由题意可得 O