高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性课件

3 3 1利用导数判断函数的单调性 1 通过函数的图象直观地了解函数的单调性与导数的关系 2 会利用导数求函数的单调区间 判断函数的单调性 用函数的导数判断函数单调性的法则设函数y f x 在区间 a b 内可导 1 如果在 a b 内 f x 0 则f x 在此区间是增函数 2 如果在 a b 内 f x 0 则f x 在此区间是减函数 名师点拨此法则只说明函数y f x 在某区间上f x 0 或 0 是函数f x 在该区间上为增 减 函数的充分条件 但并非必要条件 做一做1 若函数y f x 的导函数f x 在 a b 上恒大于0 则函数y f x 在 a b 上是函数 填 增 或 减 答案 增 做一做2 函数y f x 的导函数f x 0在 1 2 上恒成立 则区间 1 2 是函数y f x 的单调递区间 填 增 或 减 答案 减 利用求导的方法求函数的单调区间 判断函数的单调性需注意哪些问题 剖析 1 在利用导数讨论函数的单调区间时 首先要确定函数的定义域 在解决问题的过程中 只能在定义域内 通过讨论导数的符号 来判断函数的单调区间 2 在对函数划分区间时 除了必须注意确定使导数等于零的点外 还要注意在定义域内的不连续点和不可导点 题型一 题型二 题型三 函数的图象与导数的关系 例1 已知导函数f x 的下列信息 当10 当x 4或x 1时 f x 0 当x 4或x 1时 f x 0 试画出函数f x 图象的大致形状 分析 题中给出的信息是函数y f x 在实数集上的部分 根据导函数的正负 画出曲线的一个上升或下降的趋势即可 题型一 题型二 题型三 解 当10 可知f x 在区间 1 4 内是增函数 曲线应呈 上升 趋势 当x 4或x 1时 f x 0 可知f x 在区间 1 和 4 内是减函数 曲线应呈 下降 趋势 当x 4或x 1时 f x 0 这两点比较特殊 我们称它们为 临界点 综上 函数f x 图象的大致形状如图所示 反思本题考查函数单调性与导数的关系 知道导数在区间上的符号 正 负 可知函数在此区间上的单调性 进而可画出其大致图象 题型一 题型二 题型三 求函数的单调区间 例2 求下列函数的单调区间 1 f x x3 3x 3 分析 利用函数单调性的判定法则解题 解 1 f x 3x2 3 3 x2 1 3 x 1 x 1 令3 x 1 x 1 0 解得x 1或x 1 因此 f x 的单调递增区间为 1 和 1 令3 x 1 x 1 0 解得 1 x 1 因此 f x 的单调递减区间为 1 1 题型一 题型二 题型三 2 f x ex 1 xex x ex 1 x 1 令 ex 1 x 1 0 解得x0 因此 f x 的单调递增区间为 1 和 0 令 ex 1 x 1 0 解得 1 x 0 因此 f x 的单调递减区间为 1 0 反思求函数f x 单调区间的方法和步骤 确定函数的定义域 求导数f x 在函数定义域内解不等式f x 0和f x 0 确定f x 的单调区间 题型一 题型二 题型三 易错题型 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 1函数f x 的图象如图所示 则f x 的单调递增区间为 A a x1 B x2 b C a x1 x2 b D a x1 和 x2 b 答案 D2在区间 a b 内 f x 0是f x 在 a b 内是减函数的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件答案 A 3函数f x x3 3x2 9的单调递增区间为 答案 0 和 2 4若函数f x x3 ax2 4在区间 0 2 内单调递减 则实数a的取值范围为 解析 f x 3x2 2ax 由题意得3x2