高中数学第三章三角恒等变换3.1同角三角函数的基本关系课件

3 1同角三角函数的基本关系 知识提炼 同角三角函数的基本关系 sin2 cos2 1 即时小测 1 思考下列问题 1 同角三角函数的基本关系式对任意角 都成立吗 提示 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义 所以sin2 cos2 1对于任意角 R都成立 而 tan 并不是对任意角 R都成立 这时 k k Z 2 在利用平方关系求sin 或cos 时 其正负号应怎样确定 提示 其正负号是由角 所在的象限决定 2 已知则tan A 2B 2C D 解析 选B 因为所以 3 tan135 cos135 解析 原式 cos135 sin135 sin 180 45 sin45 答案 4 若sin tan 0 则cos 解析 因为sin tan 0 所以cos 0 所以答案 5 解析 因为所以答案 cos 知识探究 知识点同角三角函数基本关系观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 同角三角函数的基本关系是什么 它们成立的前提条件是什么 问题2 同角三角函数的基本关系有什么作用 总结提升 1 适用的前提条件必须在等式两边均有意义的前提下才能使用 如式子tan90 不成立 2 对 同角 的理解同角三角函数的基本关系式揭示了 同角不同名 的三角函数的运算规律 这里 同角 有两层含义 一是 角相同 如与 2 与2 都是同角 二是对 任意 一个角 在使函数有意义的前提下 关系式成立与角的表达形式无关 如 3 应用平方关系的注意点在应用平方关系求sin 或cos 时 其正负号是由角 所在的象限决定的 不可凭空想象 4 同角三角函数基本关系的常用等价变形 1 sin2 1 cos2 cos2 1 sin2 2 sin cos tan cos 题型探究 类型一利用同角基本关系式求值 典例 1 若tan 2 则的值为 A 0B C 1D 2 已知sin sin2 1 求3cos2 cos4 2sin 1的值 解题探究 1 典例1中如何将所求的式子转化为关于tan 的式子 提示 将分子 分母同时除以cos 2 典例2中由已知条件得出sin 与cos2 的关系是什么 提示 由sin sin2 1得sin 1 sin2 cos2 即sin cos2 解析 1 选B 分子 分母同时除以cos cos 0 得 2 由已知条件得sin 1 sin2 cos2 所以3cos2 cos4 2sin 1 3sin sin2 2sin 1 sin 1 cos2 1 sin 2 sin 2 方法技巧 关于sin cos 的齐次式的求值问题关于sin cos 的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin cos 的式子 且它们的次数之和相同 其求解策略为 可用原式的分子 分母的各项分别除以cosn n N 这样可以将原式化为关于tan 的表达式 再整体代入tan m的值 从而完成求值任务 变式训练 已知tan 且 是第三象限角 求sin cos 的值 解析 由又sin2 cos2 1 由 得cos2 cos2 1 即cos2 又 是第三象限角 所以 类型二三角函数式的化简 典例 1 函数f x A 在上是增加的B 在上是增加的 在上是减少的C 在上是减少的D 在上是减少的 在上是增加的2 化简 其中 为第四象限角 解题探究 1 典例1中研究函数f x 的单调性的关键是什么 提示 将f x 化简为tanx的形式 2 典例2中去掉根号的方法是什么 提示 根据平方关系去掉根号 解析 1 选D 在区间上 所以其在上递增 在上递减 2 因为 是第四象限角 所以cos 0 所以 延伸探究 1 变换条件 若将典例题2中的关于角 的题设条件改为sin tan 0 结果如何 解析 由于sin tan 0 则sin tan 异号 所以 是第二 三象限角 所以cos 0 所以 2 变换条件 若将典例2中 为第四象限角 的条件去掉 结果怎样 解析 方法技巧 三角函数式化简的三种常用技巧 1 化切为弦 即把正切函数都化为正 余弦函数 从而减少函数名称 达到化繁为简的目的 2 对于含有根号的 常把根号里面的部分化成完全平方式 然后去根号达到化简的目的 3 对于化简含高次的三角函数式 往往借助于因式分解 或构造sin2 cos2 1 以降低函数次数 达到化简的目的 补偿训练 1 化简 解题指南 把1 2sin10 cos10 配凑成 cos10 sin10 2即可开方 解析 答案 1 2 化简 cos4 sin2 1 cos2 解析 原式 cos4 sin2 cos2 sin2 cos2 cos2 sin2 sin2 cos2 sin2 1 类型三三角函数式的证明 典例 1 求证 sin4 cos4 2sin2 1 2 求证 sin 1 tan cos 解题探究 1 典例1中等式左边如何实现降幂 提示 因式分解后利用平方关系 2 典例2中左右两边的差异是什么 如何消除差异 提示 差异有两点 一是函数名称 二是式子的形式 可通过切化弦来消除差异 证明 1 左边 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 1 sin2 2sin2 1 右边 所以sin4 cos4 2sin2 1 2 左边 右边 原式得证 延伸探究 将典例题2中的式子改为 如何证明 证明 左边 右边 所以 方法技巧 1 利用同角关系证明三角恒等式常用的途径 1 由左边推至右边 或由右边推至左边 遵循的是化繁为简的原则 2 两边夹法 即左边 A 右边 A 则左边 右边 这里的A起着桥梁的作用 3 左边 右边 0 或 1 通过作差或作商 将原式转化为一个等价的 更便于证明的等式 2 证明过程中的三个注意 1 注意化繁为简 化切为弦 2 注意公式的变式运用 如1 2sin cos sin cos 2等 3 注意为分式运算时 要把握通分的时机 不要随意通分 争取在变式化简时往同分母的方向化简 变式训练 求证 解题指南 将等号右边式子的分子分母同乘以 tan sin 利用tan 和sin2 cos2 1向等号左边式子进行转化 也可利用tan 将等号左 右两边式子进行切化弦 结合sin2 cos2 1达到两边式子相等的目的 证明 右边 左边 原式得证 补偿训练 求证 证明 方法一 sin2 cos2 1 1 cos2 sin2 1 cos 1 cos sin sin 方法二 所以 易错案例已知三角函数值 求三角函数式的值 典例 2015 西安高一检测 若sinA 且A是三角形的一个内角 则 失误案例 错解分析 分析上面的解析过程 你知道错在哪里吗 提示 错误的根本原因是忽略讨论三角函数值的符号 实际上本题由sinA 及A是三角形的一个内角 说明A是锐角或钝角 那么cosA就有正 负之分 自我矫正 因为sinA 0 所以A为锐角或钝角 当A为锐角时 cosA 所