9. 数列单调性问题的研究.doc

.专题：数列单调性问题的研究一、问题提出问题1：若（其中为实常数），且数列为单调递增数列，则实数的取值范围为_.问题2：数列满足（为实常数），其中，且数列为单调递增数列，则实数的取值范围为_.问题3：通项公式为的数列，若满足，且对恒成立，则实数的取值范围是_.问题4：数列满足（），最小项为第_项；最大项为第_项问题5：数列满足（为实常数，），最大项为，最小项为，则实数的取值范围为_.问题6：数列的通项公式为，若对任意正整数，均成立，则实数的取值范围是_ 二、思考探究探究1：已知为两个正数，且，设，当且时，（1）证明：数列为单调递减数列；数列为单调递增数列（2）证明：探究2：数列an满足：a1 = 5，an+1an = ，数列bn的前n项和为Sn满足：Sn = 2(1bn)（1）证明：数列an+1an是一个等差数列，并求出数列an的通项公式；（2）求数列bn的通项公式，并求出数列anbn的最大项解：（1）令n = 1得a25 = ，解得a2 = 12，由已知得(an+1an)2 = 2(an+1an)15 (an+2an+1)2 = 2(an+2an+1)15 将得(an+2an)(an+22an+1an) = 2(an+2an)，由于数列an单调递增，所以an+2an0，于是an+22an+1an = 2，即(an+2an+1)(an+1an) = 2，所以an+1an是首项为7，公差为2的等差数列，于是an+1an = 72(n1) = 2n5，所以an = (anan-1)(an-1an-2)(a2a1)a1= (2n3)(2n1)75 = n(n4)（2）在 Sn = 2(1bn)中令n = 1得b1 = 2(1b1)，解得b1 = ，因为Sn = 2(1bn)，Sn+1 = 2(1bn+1)，相减得bn+1 = 2bn+12bn，即3bn+1 = 2bn，所以bn是首项和公比均为的等比数列，所以bn = ()n从而anbn = n(n4)()n设数列anbn的最大项为akbk，则有k(k4)()k(k1)(k5)()k+1，且k(k4)()k(k1)(k3)()k-1，所以k210，且k22k90，因为k是自然数，解得k = 4所以数列anbn的最大项为a4b4 = 探究3：已知数列an的首项a1a，Sn是数列an的前n项和，且满足：S3n2anS，an0，n2，nN*（1）若数列an是等差数列，求a的值；（2）确定a的取值集合M，使aM时，数列an是递增数列解：（1）在S3n2anS中分别令n2，n3，及a1a得(aa2)212a2a2，(aa2a3)227a3(aa2)2，因为an0，所以a2122a，a332a 因为数列an是等差数列，所以a1a32a2，即2(122a)a32a，解得a3经检验a3时，an3n，Sn，Sn1满足S3n2anS（2）由S3n2anS，得SS3n2an，即(SnSn1)(SnSn1)3n2an，即(SnSn1)an3n2an，因为an0，所以SnSn13n2，(n2)， 所以Sn1Sn3(n1)2，得an1an6n3，(n2) 所以an2an16n9，得an2an6，(n2)即数列a2，a4，a6，及数列a3，a5，a7，都是公差为6的等差数列， 因为a2122a，a332a所以an 要使数列an是递增数列，须有a1a2，且当n为大于或等于3的奇数时，anan1，且当n为偶数时，anan1，即a122a，3n2a63(n1)2a6(n为大于或等于3的奇数)，3n2a63(n1)2a6(n为偶数)，解得a所以M(，)，当aM时，数列an是递增数列 探究4：首项为正数的数列满足，若对一切都有，则的取值范围是_. 探究5：（1）已知数列满足，若数列单调递减，数列单调递增，则数列的通项公式为 .解：（ 说明：本答案也可以写成）方法一：先采用列举法得，然后从数字的变化上找规律，得，再利用累加法即可；方法二：因为，所以两式相加，得，而递减，所以，故；同理，由递增，得；又，所以，以下同上. （2）已知数列满足，若数列单调递减，数列单调递增，则数列的通项公式为 . 探究6：已知数列的通项公式为：，设数列满足, 且中不存在这样的项, 使得“与”同时成立（其中, ）, 试求实数的取值范围解：当时, ,所以 若,即,则,所以当时,是递增数列,故由题意得,即,解得 若,即,则当时,是递增数列,故由题意得,即,解得 若,即,则当时,是递减数列, 当时,是递增数列,则由题意,得,即,解得综上所述取值范围是或（可先借助数形结合观察充要条件，通过画图研究后得不能出现尖底形状）四、真题链接五、反馈检测1. 已知数列的通项公式为， 若对于一切的自然数，不等式恒成立,则实数的取值范围为_.解：令，恒成立； 数列对，上单调递增；由题意可知又； 2.（1）已知数列an的通项公式为annp，数列bn的通项公式为bn2n5设cn若在数列cn中，c8cn(nN*，n8)，则实数p的取值范围是 (12，17)（2）已知数列的通项公式为，数列的通项公式为. 设,若在数列中，若恒成立（），则在数列中的最大项是第_项. 3. 已知数列满足：，其首项，若数列为单调递增数列，则实数的取值范围是_.4. 已知数列满足：，（1）若，求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：解：（1）若时，所以，且两边取对数，得，化为，因为，数列是以为首项，为公比的等比数列所以，所以（2）由，得， 当时，由已知，所以与同号因为，且，所以恒成立，所以，所以因为，所以，所以5. 设数列的前项和为，且. （1）若是等差数列，求的通项公式；（2）若. 当时，试求； 若数列为递增数列，且，试求满足条件的所有正整数的值.解：（1）由等差数列求和公式， 2分，解得， ； 4分（说明：也可以设；或令，先求出首项与公差）（2）由， 得 ， 6分， . 8分（说明：用，利用分组方法求和，类似给分.）（3）设，由，得与， 10分又， 相减得，数列为递增数列，解得， 12分由， 14分，解得. 16分6. 已知数列满足（1）若是递增数列，且成等差数列，求的值；（2）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式解:(1) 因为数列为递增数列,所以,则,分别令 可得,因为成等差数列,所以 或, 当时,数列为常数数列不符合数列是递增数列,所以. (2)由题可得,因为是递增数列且 是递减数列,所以且,两不等式相加可得 , 又因为,所以,即, 同理可得且,所以, 则当时, 这个等式相加可得 . 当时, ,这个等式相加可得 ,当时,符合,故 综上.7. 已知数列中，对于任意，若对于任意正整数，在数列中恰有个出现，求 108. 若有穷数列各项均不相等，将它的项从大到小重新排序后项的序号构成的数列称为的“序数列”如数列：满足，则其序数列为1,3,2若数列的前项和为，的前项积为，且，记. （1）若，数列的项数为3，求的序数列；（2）若，有穷数列与项数均为，且它们有相同的序数列，已知的通项公式为，求的值.解：（1）因为，分别令，得，可求出：，又，所以所以的序数列为2，1，3. 6分（2）因为， 当时，易得，当时， 又因， 即，故数列的序数列为 9分由得， 时， 得， ，所以，所以是以为公差的等差数列，且首项为，所以，从而，易求得，所以，从而 13分所以要使数列的序数列为，只需，解得：，又因为，所以. 所以当有穷数列与有相同的序数列时，的值为11. 16分9已知数列的首项为1，其前n项和为，且，其中（1）证明：数列不是等差数列；（2）若数列为等比数列，设，且不等式 对任意的恒成立，求实数的取值范围解：（1）由，则，两式相减得，又，即，则时，假设是等差数列，则公差为，则，又由可得矛盾，故数列不是等差数列；（2）由（1）得若数列为等比数列，则，即，所以，则，又，即，因此为单调递减数列，则，由为单调递减数列，易知数列为单调递增数列，若恒成立，只要的最大项小于b即可，而当无限大时，无限接近，且，故10. 己知数列是公差不为零的等差数列，数列是等比数列（1）若（nN*），求证：为等比数列；（2）设（nN*），其中是公差为2的整数项数列，若，且当时，是递减数列，求数列的通项公式；（2）由题意得：对恒成立且对恒成立，5分 对恒成立 7分对恒成立 9分而或或. 10分11. 数列、由下列条件确定：，；当，与满足如下条件：当时，；当时，.（1）如果，试求，；（2）证明：数列为等比数列；（3）设()是满足的最大整数，证明：.解：（1），.4分（2）证明：当时，当时，；当时，.当时，都有，数列是以为首项，为公比的等比数列.10分（3）证明：由（2）可得，()，对于，都有,，.若，则，与是满足()的最大整数相矛盾，是满足的最小整数.，结论成立.16分12. 已知数列满足，是数列 的前项和（1）若数列为等差数列（）求数列的通项；（）若数列满足，数列满足，试比较数列 前项和与前项和的大小；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围解：(1)（）因为，所以，即，又，所以， 又因为数列成等差数列，所以，即，解得，所以； （）因为，所以，其前项和，又因为， 所以其前项和，所以， 当或时，；当或时，；当时， （2）由知，两式作差，得，所以,作差得， 所以，当时，；当时，；当时，；当时，；因为对任意，恒成立，所以且，所以，解得，故实数的取值范围为13. 设非常数数列an满足an+2，nN*，其中常数，均为非零实数，且 0.（1）证明：数列an为等差数列的充要条件是20；（2）已知1， a11，a2，求证：数列| an1an1| (nN*，n2)与数列n (nN*)中没有相同数值的项.解：（1）已知数列，.充分性：若，则有，得，所以为等差数列. 4分必要性：若为非常数等差数列，可令(k0). 代入，得.化简得，即. 因此，数列an为等差数列的充要条件是20. 8分（2）由已知得. 10分又因为，可知数列(nN*)为等比数列，所以 (nN*).从而有n2时， ，.于是由上述两式，得 （）. 12分由指数函数的单调性可知，对于任意n2，| an1an1|.所以，数列中项均小于等于.而对于任意的n1时，n1，所以数列n(nN*)中项均大于.因此，数列与数列n(nN*)中没有相同数值的项.14. 已知，都是各项不为零的数列，且满足，其中是数列的前项和， 是公差为的等差数列（1）若数列是常数列，求数列的通项公式； （2）若（是不为零的常数），求证：数列是等差数列；（3）若（为常数，），求证：对任意的，数列单调递减解：（1）因为，所以， 1分因为数列是各项不为零的常数列，所以，则由及得，当时，两式相减得， 3分当时，也满足，故 4分（2）因为，当时，两式相减得，即，即，又，所以，即， 6分所以当