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文档简介

第二节换元积分法 一 第一类换元法 通常一个函数的导数是容易求出的 但是要求一个函数的原函数是很困难的 直到现在只能求出绝少部分的原函数 为了求解原函数 现在介绍几种常用的积分方法 第一换元积分法也称为凑元法 定理1设u x 在区间 a b 上可导 g u 在 上有原函数G u 则不定积分存在 且 证明 用复合函数的求导法则 验证 第一换元积分法 凑元法 的关键是把f x dx凑成g x x dx如何凑 这是一个技巧性很强的工作 要求我们熟练掌握基本积分公式 在解题前需要一些三角函数的恒等变换 分子分母的有理化 分子加减某项等方法 但不同的方法得到积分的结果往往不相同 我们可通过求导可知道它们是否同一被积函数 凑 的方法 通常把较复杂的函数看成g x 例1 例2 的积分 对于形如 当m n中有一个为奇数时 总可以用这个方法处理 例3 例4 例5 1 关于自变量是线性形式 例如 2 被积函数可写成 常见的凑元法有以下几种情况 的形式 例如 3 被积函数可写成f xn xn 1的形式 例如 4 被积函数可写成g xn x2n 1的形式 例如 5 被积函数可写成f sinx cosx或f cosx sinx的形式 例如 6 被积函数可写成 7 利用三角函数公式 常用的三角形式 倍角公式 积化和差公式 的形式 例如 此外 常用的三角公式还有sec2x 1 tg2x等例如 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例12 例13 例14 例15 例16 二 第二换元法 定理设x t 是单调 可导的函数 并且 t 0 又设f t t 具有原函数 t 则有换元公式 成立 其中 是x t 的反函数 证明 公式成立是有条件的 1 等号右边的不定积分或原函数要存在 且容易积分 2 求出后要用反函数代回原变量 单调性是保证反函数的存在 常用的变量代换有下列四种类型 利用三角函数进行代换 可以使被积函数简单 当被积函数含有平方和或平方差的二次根式时 根据恰当的三角恒等式作三角代换 例如对 1 三角代换 例1求 解 例2求 解 例3求 把x a及x a的结合起来 我们得到 从上面的例子可看出 可作代换x asint化去根式 如果被积函数含有 可作代换x atant化去根式 如果被积函数含有 如果被积函数含有 可作代换x asect化去根式 但具体解题时要分析被积函数的具体情况 选取尽可能简捷的代换 例如 当被积函数是三角有理式时 作 万能 代换 将被积函数有理化 例4求 还有一部分采用反三角函数代换 例如 例5求 2 根式代换 目的是将无理数变成有理数 便于积分 例6 求 3 倒数代换 应用双曲代换 例7求 4 双曲代换 当被积函数含有根号 时有类似的结果 综合得到 下面的积分在今后的计算中常会遇到 我们可把
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